等腰三角形的判定导学案

等腰三角形的判定导学案教学目标：1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图.教学重、难点：理解和运用等腰三角形的判定定理教学过程：一、问题导入：问题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等．结论：这两条边所对的角相等．二、课本精讲：思考性质定理证明方法是什么？作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等．问题一个三角形满足什么条件是等腰三角形？思考1如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？这两个角所对的边相等．思考2这个命题的题设和结论又分别是什么呢？如何证明这个命题？题设：一个三角形有两个角相等．结论：这两个角所对的边相等．问题类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？已知：如图，在△ABC

中，∠B

=∠C.求证：AB=AC．教师：你还有其他证明方法吗？

思考能作底边BC

上的中线吗？

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：∵在△ABC

中，∠B

=∠C，∴AB

=AC．思考与等腰三角形性质进行比较看有什么区别？例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：∠CAE

是△ABC

的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB

=AC.例2已知等腰三角形底边长为a

，底边上的高的长为h

，求作这个等腰三角形.作法：（1）作线段AB

=a；（2）作线段AB

的垂直平分线MN，与AB

相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC

=h；（4）连接AC，BC，则△ABC

就是所求作的等腰三角形.三、巩固提高：教科书79页练习1、2、3、4四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．五、课后作业：教科书习题13.3第2、5题．

课后反思：

等腰三角形的判定导学案（2课时，单元-课时教学设计）一、内容和内容解析

1.内容

等腰三角形的性质和判定.

本单元教学需两课时，第1课时主要学习等腰三角形的性质，第2课时重点研究等腰三角形的判定。

2.内容解析

（1）内容的本质

本节课的内容是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十三章第三节“等腰三角形”，是在学生学习了三角形的相关知识（根据边的位置关系特殊化研究过直角三角形）、全等三角形和轴对称知识的基础上进一步研究的另一类特殊三角形.类比直角三角形，通过三角形边的大小关系特殊化引入等腰三角形这一类图形，它的研究再一次呈现图形特例研究的典范，为后续学习平行四边形等内容提供了“一般观念”的示范作用.对于直角三角形是按照“定义—性质—判定”的思路进行研究的.等腰三角形亦是如此.采用“属+种差”的方式加以定义，定义中反映了两边相等这一等腰三角形的充要条件，它反映了其基本要素（边）大小的特殊关系.等腰三角形的性质反映了其基本要素（角），以及相关要素(三线)之间特殊的不变关系.因为等腰三角形是反映空间对称性最基本的平面封闭图形，所以也用到了轴对称的思想.

（2）内容蕴含的数学思想方法

本单元教材中用轴对称思想研究等腰三角形的性质，即通过直观观察发现等腰三角形的轴对称性，进一步发现角和“三线”的性质.在轴对称性直观感知经验的支撑下想到证明性质中作辅助线的方法，在证明等腰三角形性质猜想的基础上，进一步证明了它是轴对称图形.等腰三角形的判定则是寻找能推出两边相等的最少充分条件.类比直角三角形中两锐角关系的研究，通过交换性质定理的题设和结论提出判定的猜想，再进行演绎推理证明猜想.在研究过程中用到了推理的思想，具体体现在类比、归纳和演绎思想上.

（3）知识的上下位关系

学生学习本单元的知识基础有：三角形和三角形全等的判定方法，轴对称的图形的性质和线段垂直平分想的性质．通过对等腰三角形的学习，可以获得几何图形研究的一般步骤，一般思路和一般方法，对后续进一步研究其他类型的几何图形具有奠基作用.

（4）内容的育人价值

在等腰三角形的性质和判定学习过程中，让学生经历初中几何图形研究的基本套路，体会几何研究思想的一致性和方法的普适性.在应用等腰三角形性质与判定知识解决求角度和证明线段相等的过程中，经历几何图形的观察/实验/探究/归纳/推理/证明的认识图形的全过程，培养学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．通过本单元基础知识和基本技能的学习，让学生积累几何图形学习基本经验，掌握几何图形学习基本方法，发展数学核心素养.

3．教学重点

探索并证明等腰三角形的性质定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理。二、目标与目标解析

1.单元目标

（1）了解等腰三角形的定义.

（2）探索并证明等腰三角形的性质.探索并掌握等腰三角形的判定。

（3）在经理猜想-探究-证明-归纳等腰三角形的性质和判定的过程中，体会推理的思想，具体体现在类比、归纳和演绎思想。

（4）进一步感受几何知识内在的系统性，初步体会几何研究的一般思路与方法，为进一步学习其他几何图形积累经验.

2.目标解析

达成目标（1）的标志：能用文字语言、图形语言、符号语言来描述等腰三角形的定义，知道等腰三角形的研究是以定义为出发点的.

达成目标（2）的标志：能根据等腰三角形的轴对称性发现其性质，能利用全等证明这两个性质及轴对称性，能用文字语言和符号语言准确表述性质的含义.能交换性质定理的题设和结论提出等腰三角形的判定猜想，能利用全等证明判定猜想，能用文字语言和符号语言准确表述判定定理的含义.

达成目标（3）的标志：能根据等腰三角形的性质及其判定惊醒简单的推理和应用。

达成目标（4）的标志：能根据等腰三角形的研究思路独立探究等边三角形的相关内容。三、学生学情分析

1．问题诊断

等腰三角形对于初二的学生来说，是既熟悉又陌生的。在小学就已经学习过等腰三角形的相关概念，能够从展示的图片中抽象出等腰三角形，回忆等腰三角形的概念，但对于它的性质却是陌生的。通过“生产工具”这一实例引入课题，让学生产生新鲜感和陌生感，从而激发学生的探索欲望和学习兴趣。

在性质的学习过程中，学生通过折纸能直观感受到两底角的相等关系，但是完成证明有一定困难，主要表现在，添加辅助线的经验不足。学生刚进入初二，才学习了全等三角形，对几何证明有一定认识，但对于辅助线的认识是有欠缺的。例如在证明“等边对等角”时，学生认为这个结论很自然，对为什么要作底边上的中线感到迷茫。通过实践，特别是对折痕作用的分析，引导学生发现辅助线的添加方法，并理解其合理性，进而完成证明。

学生由于认知经验不足，对等腰三角形性质2的理解容易出现错误，需要引导学生将性质2分解为三个结论并逐一证明，以此加深学生对性质2的理解。

2．教学难点

本单元的教学难点是：等腰三角形性质证明时辅助线的添加，等腰三角形性质与判定的区别。四、教学策略分析

按照“问题解决”为线索进行教学设计。引入“生产工具”，提出问题，引导学生深入思考。通过折纸、剪纸等活动，引导学生分析问题，让学生在层层释疑的过程和观念中学习新知识，体会研究几何问题的基本策略、基本方法和基本过程，进而解决问题，应用已有知识，完成证明，得到等腰三角形的性质。最后，回到课前问题，加以解决，实现性质的应用，同时让学生感受到数学来源于生活，强化学生的应用意识。五、课时教学设计13.3.1等腰三角形（第1课时）

（一）课时教学内容

利用轴对称探索等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一），并利用全等三角形的知识进行推理论证。（二）课时教学目标

1．课时目标1．目标1）观察归纳等腰三角形的性质，体会归纳猜想思想和研究问题的基本策略。（2）推理论证等腰三角形的性质，体会转化、推理等研究几何问题的基本方法。（3）会用性质解决简单的问题。2．目标解析达成目标（1）的标志是，能从动手操作的过程中概括出性质，体会归纳猜想的基本策略。达成目标（2）的标志是，利用构建全等三角形，推理证明（等边对等角、三线合一）。达成目标（3）的标志是，会用性质解决简单的问题（三）课时教学重点本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形的性质。（四）课时教学难点本节课的教学难点：性质1证明中辅助线的添加和对性质2的理解。（五）教学过程设计1.引言问题1：通过类比角的研究过程，我们研究了三角形，我们研究了关于三角形的哪些知识呢？是按怎样的路径展开研究的？师生活动：前两章我们一直在研究三角形的相关知识，我们研究过它的组成要素——边、角，以及相关要素——高、中线、角平分线之间的关系，还研究了两个三角形的特殊关系——全等.全等三角形的研究都是从性质和判定两个角度入手的.【设计意图】教师引导学生回忆并归纳出研究一个几何图形的“一般套路”，确定研究路径：定义、表示—性质—特例.问题2：像研究直线的特殊位置关系“垂直”和“平行”一样，三角形也有特殊的情况需要研究，是什么呢？师生活动：对几何对象的研究按照从一般到特殊的思路进行，引导学生将三角形特殊化，归纳出通过边的特殊化得到等腰三角形（特例是等边三角形），通过一个内角取特殊值得到直角三角形.接下来我们就来研究一类特殊的三角形——等腰三角形.【设计意图】对于一类数学对象，“特殊化”是发现问题和提出问题的重要方法，以三角形研究知识发展的逻辑及现实情境为线索，确定了研究对象——等腰三角形.2.自主探究、构建新知问题3：你认为可以研究等腰三角形的哪些问题呢？按怎样的路径展开研究？师生活动：一起回忆几何图形的研究思路，等腰三角形是特殊的三角形，研究的内容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性质，以及“特例”的判定；从而构建等腰三角形的研究路径：定义—性质—判定.教师介入：“本节课我们重点学习等腰三角形的性质。”【设计意图】通过类比构建等腰三角形的研究路径，用相似的路径研究不同的问题。追问：在前面的学习中我们已经学习了等腰三角形，你能说出图中等腰三角形的腰、底边、顶角、底角.师生活动：教师提出问题，学生回答，并互补充。【设计意图】通过复习，使学生明确等腰三角形的相关概念。

3.操作实验，观察归纳问题4.探究如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC

有什么特点？师生活动：教师引导学生进行操作，得出三角形是等腰三角形。问题5：等腰三角形的性质是研究什么内容？师生活动：师生共同归纳得出性质是从定义出发，推出等腰三角形的组成要素——边和角的关系，以及相关要素——高、中线、角平分线之间的位置关系、大小关系.【设计意图】“几何要素之间确定的位置关系、大小关系就是几何图形的性质”这个一般观念，对于发现和提出性质的猜想具有指导意义，使研究更具有方向性.问题6：从剪或折的过程中可以看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？由此你能得到什么结论？追问1.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.追问2由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.追问3最初各自所得三角形大小不同，形状各异，小组比较一下，是否得出相同的结论。追问4.在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？

师生活动：学生按照要求折纸，然后再剪图放图，比较图，小组交流，概括结论。教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形中你发现的结论:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.4.分类归纳，合情猜想，问题6：结合上述观察得出的结论，从等腰三角形“角”的角度去思考，猜想一下，等腰三角形有什么性质呢？师生活动：通过思考，得出猜想1：等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).问题7：结合上述观察得出的结论，从等腰三角形的“相关要素——高、中线、角平分线之间的位置关系、大小关系”的角度去思考，猜想一下，等腰三角形有什么性质呢？师生活动：通过小组活动，从位置关系得出“等腰三角形的高、中线、角平分线”重合；从大小关系得出“等腰三角形的高、中线、角平分线”相等。最后，学生在教师引导下，归纳得出“猜想2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为：三线合一).”【设计意图】：让学生通过动手操作，猜测、验证等腰三角形的性质，加强学生的感性认识，体会由特殊到一般的数学思想。5.推理论证，演绎证明问题8、利用折纸的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？师生活动：教师引导学生分析命题的已知和求证。并结合折叠的操作过程，得到启发，可以利用三角形全等证明这些结论，得出结论，利用三角形的底边BC的中线构建全等形。学生口述证明过程，教师出示证明过程。追问１.我们通过折叠知道这条线既是中线，又是高线，角平分线，你能分别用这两条辅助线来完成证明吗？师生活动：两名学生在黑板上用不同的方法板书，其它学生随意选取一种证明。师指出，在不同的辅助线作法中，由辅助线带来的条件是不同的。并给出性质1的符号语言格式，归纳等腰三角形常用的辅助线作法。并强调又多了一个证明角相等的方法。

问题8、如何证明性质2呢？师生活动：师引导学生说出性质2的3种命题形式：（1）等腰三角形的顶角平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高.（2）等腰三角形的底边上的中线,既是顶角平分线，又是底边上的高.

(3)等腰三角形的底边上的高，既是顶角平分线，又底边上的中线.师生活动：让学生对等腰三角形的底边上的中线,既是顶角平分线，又是底边上的高进行说理证明。

教师给出三个命题的符号语言表达形式。

追问：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？

【设计意图】：1规范学生的证明格式。2.体会一题多解带来的体验。例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.师生活动：师引导学生分析，1、图中有哪几个等腰三角形？2、有哪些相等的角？3、∠BDC与∠A有什么关系？4、设∠A为x,则∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC=2x得出题中的数量关系。一名学生在黑板上写过程，其他学生在练习本上完成证明。10分【设计意图】:1.体会角平分线性质在解决实际问题中的作用，等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.2.在解题过程中,体会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.4、运用等腰三角形的性质，解决简单问题练习1、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°,则∠B=

°2.等腰三角形的一个角是110°，它的底角的度数是（

）A．30°

B．35°

C．60°

D．85°3.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（

）A．80°B．20°

C．20°或80°D．50°或80°综合应用4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度