第三章平稳随机信号的线性模型

第三章平稳随机信号的线性模型

主要研究平稳随机信号经过线性系统的统计模型及平稳时间序列的几种基本的线性模型。3.1随机信号通过线性系统

3.1.1基本概念连续时间系统

离散时间系统

描述一个线性系统特征的基本工具是单位冲击函数，或传递函数，或频率响应函数。连续时间系统：1.h(t)—单位冲击响应2.H(s)—传递函数，

h(t)的拉氏变换

3.H(w)—频率响应（幅度、相位）,h(t)的傅立叶变换

离散时间系统：1.h(n)—单位取样响应2.H(z)—传递函数，

h(n)的z变换

3.—频率响应,h(n)的傅立叶变换

3.1.2线性系统输入输出信号之间数字特征的关系一、二阶统计特性：均值、相关函数、互相关函数、功率谱等的相互关系

1.连续时间系统

（1）均值

设平稳随机输入信号x(t)的均值为mx，输出y(t)的均值为my

其中与t无关的常数（2）自相关函数

（3）功率谱密度

对做傅立叶变换，得：（4）互相关函数

证：（5）互谱密度

对做傅立叶变换，得：从输入、输出信号的互相关函数、互谱关系中包含了系统的频率特性的全部信息。（6）自协方差函数

（7）互协方差函数

例4-1已知x(t)是零均值的白噪声，其功率谱为。如下图所示，求

CR解：

一、二阶统计特性：均值、相关函数、互相关函数、功率谱等的相互关系

2.离散时间线性系统

（1）均值

（2）均方值

（3）功率谱

（4）自相关函数

（5）互相关函数

（6）互谱密度

3.2离散时间序列的ARMA模型3.2.1谱因子分解只要是ω的连续函数，则有称为功率谱的谱分解。证明如下：设为宽平稳随机信号X(n)的自相关函数，功率谱为且为ω的连续函数。由维纳—辛钦定理，有：设在包含单位圆的圆环域内解析，意味着及其导数连续可微，则有罗伦级数展开：c(k)实际上就是的倒谱（引自语音信号处理的倒谱分析）进一步单位圆上取值有频谱：由于为正实数，必为实数。则有，即共轭对称。又有：则进一步有：有能进行这样分解的随机信号（过程）称为规则过程，可有如下性质：1）任何规则过程都可看作是因果稳定滤波器。

在方差为的白噪声u(n)激励下的输出。——称为随机过程的新息表示。反之:2）逆滤波器1/H(z)是一个白化滤波器。即X(n)通过1/H(n)的滤波器输出便是的白噪声。这种白噪声过程（白化过程）又称为新息过程。下图分别为随机过程的新息表示和随机过程的白化过程（新息过程）。3）由于u(n)和x(n)是一对可逆变换，两者可相互导出，它们会有相同的信息。随机信号的新息表示随机信号的白化3.2离散时间序列的ARMA模型3.2.2离散时间随机序列的线性模型1.ARMA模型（AutoRegressiveMovingAverage）时间序列x(n)，其中(p,q)阶ARMA模型的数字表达式如下：

即：u(n)为零均值的高斯白噪声，分布

即：电路原理图如下：由一白噪声u(n)通过线性系统得到随机序列x(n)

3.2.2离散时间随机序列的线性模型2.AR模型（AutoRegressive）即：即的ARMA

电路原理图如下：3.2.2离散时间随机序列的线性模型3.MA模型即的ARMA

3.2.3ARMA模型的传递函数即对ARMA(p,q)作z变换

式中

有传递函数对AR(p)模型——全极点模型:对MA(q)模型——全零点模型:对H(z)做逆变换，得冲击响应h(n):称h(n)为格林函数，记为G(n)或Gn由于信号为因果信号。故Gn取值n=0,1,2,…例4-2对ARMA(1,1):求格林函数Gn解：方法一，由有：令：由等式两边同次的系数相等，可导出：所以有：解：方法二：3.2.4ARMA系统的稳定性1.格林函数及其性质(2)若有

则称系统是渐进稳定的.(3)若存在两个常数C1>0，C2>0，对所有G(i)

，有显然：（3）成立，则（2）也成立；（2）成立，则（1）也成立。反之不成立。(1)若存在常数C>0，有

则此ARMA系统是稳定的.则称系统是一致渐进稳定的.例3-3对ARMA(1,1)模型，所以当时，ARMA(1,1)是渐进稳定的。2.对一般情况ARMA(p,q)可由G(z)从z域分析，即由A(z)因式分解可得：稳定临界稳定3.3ARMA模型的数字特征3.3.1互相关函数证：

只有K<n时，G(n-k)才不为0，所以有

3.3.2自相关函数1、ARMA的自相关函数由格林函数

代入上式(△式)由于i<0时，G(i)=0，所以：

（1）当m>q时，上式第二项为0

（2）当0≤m≤q时，——ARMA模型的Yule-Walker方程（尤拉-沃克方程）2、AR模型的自相关函数相比ARMA模型中的前向部分(△式第二项)，q=0

则有：由于m>0，G(-m)=0,所以只有一项G(0)=1：所以有：——AR模型的尤拉-沃克方程：写成矩阵形式：其中利用了性质：3、MA模型的自相关函数因为i<0和i>q时,所以有：MA模型的尤拉-沃克方程模型已知时，可根据尤拉-沃克方程组求出随机时间序列的自相关函数；模型未知时，可由观察数据估计自相关函数，再由尤拉-沃克方程组求模型参数，进一步对模型做z域变换可得功率谱估计。研究ARMA、AR、MA模型自相关函数的意义是：例3-3求AR(1)模型的自相关函数:解：由尤拉-沃克方程可知有：令：由等式两边同次的系数相等，可导出：所以有：3.3.3功率谱密度所以系统的输入为强度为的信号，

则输出实际上为系统的冲激响应乘，其功率谱为——为的有理函数

例4-6求AR(2)模型的功率谱:解：3.4ARMA、AR

、MA模型之间的关系一个无限阶的AR模型可以表示任意阶MA，ARMA模型一个无限阶的MA模型可以表示任意阶AR，ARMA模型1、Wold分解定理任何广义平稳随机过程都可以分解为完全随机的分量和一个完全确定分量之和（卡尔曼滤波就是一例）

表示信号为完全随机的白噪声，其自相关函数为冲激函数表示信号当前值可由无限个过去值表示由分解定理可以有这样的推论：任意

或

序列均可用无限阶的

唯一来表示从前面格林函数讨论举例4-2（书上例4-4，例4-5）可知ARMA

、AR序列均可用格林函数表示为：例4-7（书上4-15）AR(1)模型…………依次迭代加入得一个序列—确知加随机例4-8（书上4-16）序列2.柯尔莫可洛夫定理（）

任何ARMA或MA序列都可以用无限阶的AR序列来表示用表示解：H(z)=(ARMA)AR()：=令H(z)==次幂次幂…………例4-9（书上例4-17）次幂

X(n)+x(n-1)+x(n-2)………=u(n)ARMA（1，1）即可表示为AR()模型（序列）例4-10（书例4-18）用AR()表示MA（1）解：MA(1)：H（Z）=1+AR()为上式

令H(z)=（）（）=1，由上题易知道=0得

==

……………….=即X(n)x(n-1)x(n-2)………+x(n-m)=u(n)AR()模型（序列）3.5一类非平稳随机序列信号模型—ARIMA模型

ARIMA——AutoregressiveIntegratedMovingAverage

随机序列{x(n)}并不是平稳的。但如果对其进行有限次差分处理，其所得的差分序列{s(n)}可近似看做平稳，可用平稳序列信号模型描述。——这种非平稳随机序列的模型称为ARIMA模型。例如：下列序列信号模型u(n)-白噪声（4.5.1)由于模型Z变换后，其系数多项式的根z1=1,z2=1/2,有一个根在单位圆上，故其均方值DX不满足小于。不满足平稳性，为非平稳序列，若将（4.5.1)做差分处理（4.5.2)令则上式可写为（4.5.3)（4.5.1)便是一阶平稳AR（1）模型，推广到一般情形。设{X(n)}为一非平稳随机序列，其一次，二次…(d-1)次的差分，，非平稳，但=s(n).n>0{s(n)}是平稳的ARMA（p,q),即(4.5.4)则称为{x(n)}的d阶求和ARMA（p,q)模型记作ARIMA（p,d,q).3.6谐波过程（谐波模型）在阵列处理等应用中，信号含有周期分量，常用谐波过程表示1）随机相位正弦信号是一个宽平稳谐波过程它的自相序列为其功率谱为2）若幅度A也是随机变量，且与不相关，则即形式与上相同，只是用E{A2}代替A2

3）多个随机相位正弦信号相加，可得高阶谐波过程且各随机变量和Al不相关，则4）对负数信号.一阶形式为L个不相关复谐波过程相加有其自相关序列为功率谱为例题例1已知信号样值为，用Burg算法求二阶格型预测误差滤波器的各级反射系数K1和K2。例2有一基于MMSE准则的格型滤波器，已知其各级反射系数为，试求AR(2)的参

数a21和a22，以及AR(2)的两个极点位置，并判断

AR(2)的因果稳定性。例3已知某序列满足AR(1)模型，模型参数为

a1=-0.2，又设白噪声过程均值为0，方差，求：

(1)x(n)的自相关序列