2022-2023学年江西省抚州市资溪县高一年级下册学期5月期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省抚州市资溪县高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用并集定义即可求得.【详解】，则故选：C2．下列各角中，与角终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据终边相同的角相差的整数倍可得结果.【详解】因为，所以角与角的终边相同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同.故选：B3．已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解.【详解】因为是第一象限角，所以，，所以，，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，综上所述，第一、三象限角.故选：B.4．在中，若，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到或，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得，即，在中，，则，所以或，故，或，故三角形为等腰或直角三角形，故选：C.5．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由诱导公式化简，再根据商数公式弦化切即可得答案.【详解】.故选：B.6．已知函数的最小正周期为，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由周期性得，再由对称性与单调性判断，【详解】因为的最小正周期为，所以，所以，令得，即在上单调递增，令得，即在上单调递减，因为，而，，，

所以由三角函数性质得故选：D.7．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.【详解】由题意，，则，即，设与的夹角为，则在方向的投影，，则；故选：C.8．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可根据函数是偶函数得出，通过计算得出，然后通过转化得出，通过图像变换得出，最后根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，，解得，，则，则，向左平移个单位长度后，得到，向上平移个单位长度，得到，当时，，结合正弦函数对称性易知，在有两个不相等实根，则且，此时，实数的取值范围是，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.二、多选题9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

）A．B．若为斜三角形，则C．若，则是锐角三角形D．若，则一定是等边三角形【答案】ABD【分析】由正弦定理和比例性质可以判断A，D选项，根据诱导公式及两角和公式判断B选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断C选项，【详解】对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；对于B，由题意，，则，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确．故选:ABD．10．已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为C．存在，使得D．的最大值为【答案】AD【分析】若，可求得,即，从而可得的值，故A正确；若在上的投影模为，且，则或，故B不正确；对化简运算即可计算得当向量与的夹角为时，结合角的范围可判断C；可得的最大值为，故D正确.【详解】若，则，则，可知，再由，解得，故A正确；若在上的投影向量的模为，且，则或，故B不正确；若，若，则，即，此时，但，所以不成立，C错误；，因为，则当时，的最大值为，故D正确，故选:AD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于较难题.11．已知函数，下列结论中正确的是（

）A．若ω=3，则函数f(x)的最小正周期为B．若，则函数为偶函数C．若，函数在区间上单调递增，则ω的取值范围为D．若存在，使得，则ω的值为2【答案】BD【分析】对于A，根据周期函数公式，即可计算，对于B，根据函数奇偶性即可判断，对于C，根据，得到，即可求解.对于D，根据范围，求得，即可得ω的值.【详解】对于A选项，若，则故A选项不正确；对于B选项，若，则，可知函数f(x)为偶函数，故B选项正确；对于C选项，若，若，则，又函数在区间上单调递增，所以，解得：.故C错误.对于D选项，因为，所以最小正周期所以所以解得，故D选项正确.故选：BD.12．若，则下列说法错误的是（

）A．的最小正周期是B．的对称轴方程为（）C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（）D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则【答案】ACD【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误；B选项，利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确；C选项，首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解，数形结合得到，无解，C错误；D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.【详解】，.，.对于A，，为的周期，A错误；对于B，的对称轴方程为（）.（）.即（）.B正确.对于C，对，有，∵在上单调递增，，（，2），等价于有两个解，当时，，显然无解，不妨设，画出在的的图象，如图所示：.或.无解.故C错误；对于D，的根为与交点横坐标.有奇数个交点，，且，，，，，，，，，D错误.故选：ACD.【点睛】方法点睛：较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解.三、填空题13．若，则.【答案】/【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.【详解】.故答案为：.14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则．【答案】【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.【详解】，由正弦定理得，因为，所以，故，由于，故，则.故答案为：15．函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】由题意转化为与的交点个数问题，画出图象，数形结合求出m的取值范围.【详解】函数，的零点个数就是函数的图象与直线的交点个数，作出，的图象，如图由图象可知或时，函数的图象与直线有两个交点，故当函数恰有两个零点时，实数m的取值范围是.故答案为：16．已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则.【答案】6【分析】由已知有为△的旁心且，法一：作于点，可得，再由，即可求值.法二：应用特殊处理，假设△为等边三角形，根据已知条件易得且，再由，即可求值.【详解】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线，又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，，法一：作于点，则，如下图示，所以，又，所以.法二：不妨设△为等边三角形，即，则，所以，故，而，所以.故答案为：6【点睛】关键点点睛：作于点，利用向量加法的几何意义，结合数量积的运算律求值.四、解答题17．已知，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将所求式子分子分母同时除以化弦为切即可求解；（2）分子分母同时除以化弦为切即可求解.【详解】（1）.（2）.18．设，，向量，，，且，．(1)求；(2)求向量与夹角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解，的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可；（2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角．【详解】（1）向量，，，且，，可得且，解得，，即，，则，则；（2）因为，，所以，，设向量与夹角为，则，故，即向量与夹角为．19．在中，，，的对边分别为，，，已知.(1)求证：；(2)若，求边的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，移项后平方消元，求出再应用同角三角函数关系求出即可；（2）因为再应用余弦定理结合基本不等式求出的最小值.【详解】（1）依题意,否则，则，矛盾，由得，即得故，整理得，从而又因为可得，从而.（2）由，由（1）可得故为锐角，，故，从而当且仅当时取等号，的最小值为.20．如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.(1)求B，C两点间的距离；(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）【答案】(1)60海里(2)方向是南偏东，需要的时间为小时.【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案；（2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行.【详解】（1）依题意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求两点间的距离为60海里.（2）依题意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到达C处需要的时间为小时，在中，由余弦定理得,因为，所以，所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒21．已知函数．(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)若，且，求的值．【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间为(2)【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，化简得到，利用最小正周期的公式和三角函数的性质，即可求解；（2）由，求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：由，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以的单调递减区间为.（2）解：由，可得，可得，因为，可得，所以，解得.22．已知．(1)当时，求的值；(2)若的最小值为，求实数的值；(3)是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，的取值范围为【分析】（1）先化简，再代入进行求解；（2