数学建模基本概念

数学建模

实际问题中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现，终身的受益和无穷的乐趣是属于你的！11999年9月我校由徐州煤炭建筑工程学校更名为徐州建筑职业技术学院2000年9月我校首次参加全国大学生数学建模竞赛（专科组）获得江苏赛区一等奖一个（两个队参赛）2001年9月获得全国二等奖一个（四个队参赛）该队获得奖金3000元2第一章数学模型基本概念

§1引言一、《数学建模》课程的重要性1、科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用；2、《数学建模》课程建设在全国各大专院校蓬勃开展；3、数学建模教育有利于学生解决实际问题的综合能力的提高；4、我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都可用简捷数学方法完美的解决。3几个简单的实际问题。问题１已知甲桶中放有10000个蓝色的玻璃球，乙桶中放有10000个红色的玻璃球。任取甲桶中100个球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100个球放入甲桶中，如此重复3次，问甲桶中的红球多还是乙桶中的蓝球多怎样用数学方法解决问题1？4解：设甲桶中有x个红球;乙桶中有y个蓝球因为对蓝球来说，甲桶中的蓝球数加上乙桶中的蓝球数等于10000,所以10000-x+y=10000x=y故甲桶中红球与乙桶中蓝球一样多。56解法一：

将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运动，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿同一路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。

怎样用数学方法解决？7解法二：

以时间t为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标，从山下到山顶的总路程为d；

8第一天的行程可设为x=F(t)，则F(t)是单调增加的连续函数，且F(8)=0,F(17)=d；

第二天的行程可设为x=G(t)，则G(t)是单调减少的连续函数，且G(8)=d,G(17)=0.在t时刻:

9在坐标系中分别作曲线x=F(t)及x=G(t)，如下图：

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严格的数学论证：令H(t)=F(t)-G(t)由F(t)、G(t)在区间[8,17]上连续，所以H(t)在区间[8,17]上连续，又H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0

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由零点定理知在区间[8,17]内至少存在一点使即这人两天在同一时刻经过路途中的同一地点。

这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻

使得路程相等，

12思考题：

1、若下山时，这人下午3点就到达山下旅店，结论是否成立？2、若此人10点下山，下午3点到达旅店，结论是否成立？13问题３

在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知。现工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如何测量出这三根电线的电阻？电阻是怎样测量的？14「方法」不妨用a、b、c及a*、b*、c*分别表示三根电线的底端和顶端，并用aa*、bb*、cc*分别表示三根电线,假设x,y,z分别是aa*,bb*,cc*的电阻，这是三个未知数。电表不能直接测量出这三个未知数。然而我们可以把a*和b*连接起来，在a和b处测量得电阻x+y为l；然后将b*和c*联接起来，在b和c处测量得y+z为m，联接c*和a*可测得x+z为n。

15这样得三元一次方程组

由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根电线的电阻。16说明：

此问题的难点也是可贵之处是用方程“观点”、“立场”去分析，用活的数学思想使实际问题转到新创设的情景中去。17问题４气象预报问题

问题：在气象台A的正西方向300km处有一台风中心，它以40km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距其中心250km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象台所在地区将遭受台风的影响？持续时间多长？18

现此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象预报，建立解析几何模型加以探讨。

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以气象台A为坐标原点建立平面直角坐标系，设台风中心为B,如下图:20由题意：

B点的坐标为(-300,0)，单位为km，台风中心的运动轨迹为直线BC,这里的∠CBA=；

当台风中心在运动过程中处于以A为园心半径为250km的园内（即MN上）时，气象台A所在地区将遭受台风的影响。21

因为圆的方程为

直线BC的方程为其中参数t为时间（单位为h）。当台风中心处于园内时，有解得2.0≤t≤8.6（精确到0.1）222324

几道国际、全国大学生数学建模竞赛试题问题1：锁具装箱某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数，相邻两槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。25从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情形下，不可能互开。26原来，销售部门在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售，团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题：

1）每一批锁具有多少个，装多少箱。

2）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，（仍是60个锁具一箱），如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。27

3）采取你提出的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。

4）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。28问题2：排名问题

一些大学校长为难的是，具有优秀班级（简称ABC）大学中各学生的给分情况。通常，ABC班级中学生分数都给得高（现给定平均分数为），因此很难区分出优秀学生和中等学生。一项丰厚的奖学金只能奖给大学中总人数的10%，并且是最优秀的学生。所以需要班级学生总排名情况。29

院长认为应将各班的每一学生同本班其它学生进行比较，并通过比较结果而得出最终排名情况。比如，如果一个班中所有学生均为A，则得A的同学只能列为“一般”，而如果一个班中只有一个学生得A，则这个学生被列为“超出一般”，将多个班级所得的信息综合起来，则有可能将所有同学以百分数的形式列出（一等10%，其次10%，等等）。30问题：1．假设成绩以A+，A-，B+，B-，……的等级形式给出，院长的设想能否实现？2．假设成绩以A，B，C……的等级形式给出，院长的设想能否实现？3．能否有其他排名的方法？4．类似问题是如果只有一个班，则你的算法是否稳定？数据集：各组应设计出数据集来检验和证明其算法，并且要给出算法适用范围？31§2数学模型基本概念

一、模型什么叫模型？模型就是对现实原型的一种抽象或模仿。模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型的一种近似。如地球这个模型，就是对地球这一原型的本质和特征的一种近似和集中反映；一个人的塑像就是这个人的一个模型。32模型的含义非常广泛，如自然科学和工程技术中的一切概念、公式、定律、理论，社会科学中的学说、原理、政策，甚至小说、美术、表格、语言等都是某种现实原型的一种模型。如：牛顿第二定律就是“物体在力作用下，其运动规律”这个原型的一种模型（数学模型）。“吃饭”这句话就是人往嘴里送东西到达充饥的动作的抽象，如此等等都可看作是模型。33二、数学模型的几个简单例子

341、冷却问题将温度为T。=150℃的物体放在温度为24℃的空气中冷却，经10分钟后，物体温度降为T=100℃，问t=20分钟时，物体的温度是多少？35牛顿冷却定律：物体在空气中的冷却速度与该物体温度和空气温度之差成正比36解：设物体的温度T随时间t的变化规律为T=T(t)则由冷却定律及条件可得：其中K>0为比例常数，负号表示温度是下降的，这就是所要建立的数学模型。37由于这个模型是一阶线性微分方程，很容易求出其特解为由T(10)=100,可定出K≈0.05当t=20时38

思考题：估计凶杀的作案时间某天晚上11:00时，在一住宅内发现一受害者的尸体，法医于11:35分赶到现场，立刻测量死者的体温为30.8℃，一小时后再次测量体温为29.1℃，法医还注意到当时室温为28℃，试估计受害者的死亡时间。392、七桥问题

18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来

1).能否不重复的一次走完七座桥？2).能否不重复的一次走完七座桥又回到原地？40〔欧拉方法〕岛A、B和陆地C、D无非都是桥的联结点，因此不妨把A、B、C、D看成4个点，把七桥看成联结这些点的七条线，如图。

41这样当然不改变问题的实质，于是一人能否不重复一次通过七座桥的问题等价于其网络图能否一笔画成的问题（这是思维的飞跃），此网络图就是七桥问题的数学模型。欧拉证明了七桥问题是无解的，并给出了一般结论：1)联接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画。2)联接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一个陆地。42

3)每个陆地都联接有偶数个桥是，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。

说明：

(1)数学模型不一定都是数学表达式，如七桥问题的数学模型是一个网络图。43(2)欧拉解决七桥问题时，超出了过去解决问题所用数学方法的范畴，充分发挥自己的想象力，用了完全崭新的思想方法（可称为几何模拟方法），从而使问题解