广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高一上学期分班测试数学试题A（解析版）

2024年高一新生分班考试数学试卷A满分：120分，考试时间：120分钟考试说明：请考生用黑色水性笔将答案写在在答题卡上.一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1.下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】AD不是中心对称图形，B不是轴对称图形，C满足要求.【详解】AD选项，只是轴对称图形，不是中心对称图形，AD错误；B选项，只是中心对称图形，不是轴对称图形，B错误；C选项，既是轴对称图形也是中心对称图形，C正确故选：C2.的相反数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用相反数的定义即可得到答案.【详解】的相反数是.故选：B.3.2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为（）A.光年 B.光年 C.光年 D.光年【答案】C【解析】【分析】1亿光年为光年，结合科学记数法的定义得到答案.【详解】1亿光年为光年，故.50亿光年用科学记数法表示为光年.故选：C4.在下列事件中，必然事件是（）A.掷一次骰子，向上一面的点数是3B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D.任意画一个三角形，其内角和是180°【答案】D【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【详解】必然事件就是在一定条件下一定发生的事件，只有D选项符合，ABC选项中的事件都是随机事件.故选：D.5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A．根据同类项的定义判断即可；B．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；C．根据同底数幂的除法运算法则计算即可；D．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．【详解】解：与不是同类项，无法合并，∴A不正确，不符合题意；，∴B不正确；，∴C不正确，不符合题意．，∴D正确，符合题意；故选：D．6.如图，，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的度数，然后根据，即可得出答案.【详解】，，则，.故选：C.7.在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平移的性质及可求解.【详解】将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是，故选：D8.如图，直线，，，则的度数是（）A.60° B.70° C.80° D.90°【答案】B【解析】【分析】利用平行线的性质可知，，然后利用三角形内角的关系求解即可.【详解】用平行线性质可知，,在中，因为，所以因为，所以因为所以故选：B9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分交CD于点M.若，则DM的长度为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明；设，将、和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于的方程并求解即可．【详解】四边形是正方形，，，在和中，，，；平分，，在和中，，，；四边形是正方形，，，设，则，，，在中，根据勾股定理，得，即，解得，即．故选：D．10.某品牌新能源汽车2020年销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．【详解】由题意得：.

故选：D．11.已知抛物线的图像如图所示则下列结论正确的是（）A. B. C. D.（m为任意实数）【答案】D【解析】【分析】由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D．【详解】抛物线开口往下，，抛物线与y轴交于正半轴，抛物线的与x轴的交点是：和1,0，∴对称轴为，，，，故选项A错误．∵，∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）．，，∴，故选项C错误．抛物线对称轴为直线，且开口向下，当时，函数值最大为，当时，，，，故选项D正确．故选：D．12.如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为BC的中点，则；④．其中一定正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合三角形内心的性质逐一分析判断即可.【详解】对于①，因为点E是的内心，所以，故①正确；对于②，如图，连接，因为点E是的内心，所以，所以，所以，所以；故②正确；对于③，因为点E是的内心，所以平分，又因为因为点G为BC的中点，所以为的边的中线，所以，所以，故③正确；对于④，因为点E是内心，所以，因为，所以，所以，所以，故④正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：掌握圆的性质和三角形内心的定义是解决本题的关键.二.填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）13.若分式的值为0，则实数x的值为_______.【答案】1【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值。【详解】分式的值为0，则有，解得.故答案为：1.14.在“庆五四•展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80.这组数据的中位数是_________.【答案】79【解析】【分析】由中位数定义求出中位数.【详解】这组数据从小到大排列为77，77，79，79，80，80，80.最中间的那个数是79，即这组数据的中位数为79．故答案为：7915.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______.【答案】1【解析】【分析】直接利用判别式计算即可.【详解】由题意可知，所以.故答案为：116.点关于原点的对称点的坐标为_____________.【答案】【解析】【分析】关于原点对称的两点横纵坐标均互为相反数.【详解】点关于原点对称点的坐标为.故答案为：17.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）.那么大汶河此河段的宽AB为_________米.（参考数据：）【答案】74【解析】【分析】根据题干条件，要求，求出和即可，分别在两个直角三角形中去求即可．【详解】如图，由题知，，，，，在，，，，在中，，，．故答案为：74．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE.若，的面积是4.5，则k的值为_______.【答案】6【解析】【分析】过点B分别作于点M，轴于点N，可得，设点，由，得两点坐标，由直线BD和直线AB的函数表达式，得两点坐标，利用，求出，可求k的值.【详解】如图，过点B分别作于点M，轴于点N.设点，则.由轴，轴，∴，则有，又∴，，即∴，，，∴点，点，由点的坐标，得直线BD的函数表达式为，∴点，由点的坐标，得直线AB的函数表达式为，∴点，∴，∵，∴，∴.故答案为：6.三.解答题（共8小题，满分72分）19.计算：.【答案】4【解析】【分析】结合二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及0次幂的运算，对原式进行化简.【详解】.20.解方程：.【答案】【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再经过检验，得到分式方程的根.【详解】方程两边同乘以得，，去括号得，移项，合并同类项得将代入得，，故为原分式方程的解.21.线段AB上有一点C，.（1）如图1，若，点D是AB的中点，求CD的长；（2）在图2中完成以下作图：延长AB到点E，使得；再延长BA到点F，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（3）在（2）问的作图条件下，求线段EF的长.【答案】（1）（2）作图见解析（3）【解析】【分析】（1）根据中点的定义求得，再根据，得，再由即可求解；（2）将线段两端延长，在延长线上截取，即可；（3）由，，得，即可求解．【小问1详解】，点是的中点，，，，，；【小问2详解】如图2所示，将线段两端延长，在延长线上截取，即为所求；【小问3详解】，，．22.某校老师为了了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：优秀：B：良好：C：合格.请根据图中信息，解答下列问题：（1）求全班学生的人数；（2）在扇形统计图中，a＝，b＝，C类的圆心角度数为；（3）老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出这2名同学全是B类学生的概率.【答案】（1）40人；（2）15，60，；（3）【解析】【分析】（1）由类人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去、的人数求得类人数，由乘以类所占比例得类的圆心角度数，用的人数除以总人数可得对应百分比；（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【小问1详解】全班学生总人数为：（人【小问2详解】类人数为：（人，类百分比为，；类百分比为，；类的圆心角为.【小问3详解】列表如下：由表可知，共有12种等可能结果，其中全是类学生的有2种结果，（全是类学生）．23.如图，AB为⊙O的直径，交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使，连接EF.（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若且，求⊙O的半径.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等，证明即可推出结论；（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．【小问1详解】证明：如图，连接，，，，，，，，即，，是半径，为的切线；【小问2详解】设的半径，则，，在中，由勾股定理得，，，解得，或（舍去），的半径为3．24.春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是m2，花卉B的种植面积是m2，花卉C的种植面积是m2；（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值.【答案】（1）；；（2）（3）168000元【解析】【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；（2）根据，两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根据花卉与的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设，，三种花卉的总产值之和百元，得到关于的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．【小问1详解】设育苗区的边长为且，又活动区的边长为，则花卉的面积为：，花卉的面积为：，花卉的面积为：.【小问2详解】，花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，，两种花卉的总产值分别为百元和百元，，两种花卉的总产值相等，，，解方程得（舍去）或，当育苗区的边长为时，，两种花卉的总产值相等；【小问3详解】花卉与的种植面积之和为：，，即，设，，三种花卉的总产值之和百元，，，当时，随的增加而减小，当时，最大，且（百元），故，，三种花卉的总产值之和的最大值168000元．25.如图，在菱形ABCD中，，，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD.（1）求DE的长；（结果保留根号）（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，.①求证：；②求DF的长.（提示：过点E作于点H.）【答案】（1）（2）①证明见解析，②1【解析】【分析】（1）只要证明是等边的高即可求DE的长；（2）①由，