第3章经典方程的建立和定解条件

在讨论数学物理方程的解法以前，我们首先要弄清楚数学物理方程所研究的问题应该怎样提，为此，我们从两方面来讨论，一方面要将一个具体的物理、力学等自然科学问题化为数学问题，即建立描述某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程；另一方面要把一个特定的物理现象本身所具有的具体条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和边界条件，两者合称为定解条件.定解条件提出具体的物理问题，泛定方程提供解决问题的依据，作为一个整体称之为定解问题.第3章经典方程的建立和定解条件经典方程的导出步骤：确定出所要研究的是哪一个物理量2.用数学的“微元法”从所研究的系统中分割出一小部分，再根据相应的物理（力学）规律分析邻近部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次要因素，即高等数学中的抓主部，略去高阶无穷小），这种相互作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量3.把这种关系用数学算式（方程）表达出来，经化简整理就是所需求的数学物理方程.3．1经典方程的建立1.弦的微小横振动考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.

（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

注意：

物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．

根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描述为

（9.1.1）

作用于小段的纵向合力应该为零：

(9.1.2)仅考虑微小的横振动，

夹角为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有注意到:故由图9.11得这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为因此在微小横振动条件下，可得出

，弦中张力不随而变，

可记为

故有

(9.1.5)变化量可以取得很小，根据微分知识有下式成立

这样，段的运动方程(9.1.5)就成为

(9.1.6)即为

（9.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．

其中讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：

（9.1.8）

称式（9.1.8）为弦的自由振动方程(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(9.1.8)应该改写为

(9.1.9)式中称为力密度

，为时刻作用于处单位质量上的横向外力式（9.1.9）称为弦的受迫振动方程.9.2数学建模－热传导方程类型的建立9.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立

1.热传导方程

推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：热传导的傅里叶定律：

时间内，通过面积元流入小体积元的热量与沿面积元外法线方向的温度变化率

成正比也与和成正比，即：

（9.2.1）

式中是导热系数

图9.8取直角坐标系Oxyz,如图9.8表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度在dt时间内通过ABCD面流入的热量为同样，在时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为在t到时间内，小体积元的温度变化是如果用和分别表示物体的密度和比热，则根据能量守恒定律得热平衡方程或写成

(9.2.2)

2.扩散方程

(9.2.3)

其中将一维推广到三维，即得到

(9.2.4)上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式.若外界有扩散源，且扩散源的强度为这时，扩散方程应为

（9.2.5）

从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述.9.3数学建模——稳定场方程类型的建立9.3.1数学建模——稳定场方程类型的建立

1静电场的电势方程

直角坐标系中泊松方程为

(9.3.1)若空间中无电荷，即电荷密度，上式成为

(9.3.2)称这个方程为拉普拉斯方程.2.稳定温