数学物理方程-2

数学物理方法理学院冯国峰第2章分离变量法分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。第2章分离变量法第1节有界弦的自由振动第2节有限长杆上的热传导问题第3节二维拉普拉斯方程的边值问题第4节非齐次方程的求解问题第5节非齐次边界条件的处理第6节固有值与固有函数第2章分离变量法[例]求解下列问题第2-1节有界弦的自由振动问题：研究一根长为l，两端（）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题式中，均为已知函数。第2-1节有界弦的自由振动

这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。第2-1节有界弦的自由振动从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个单音总可以表示成的形式，这种形式的特点是：二元函数是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。第2-1节有界弦的自由振动第2-1节有界弦的自由振动第2-1节有界弦的自由振动

若对于的某些值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种的取值为该问题的固有值（或特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题（或固有值问题）。第2-1节有界弦的自由振动（1）当时，方程没有非平凡解。（2）当时，方程也没有非平凡解。（3）当时，方程有如下形式的通解：第2-1节有界弦的自由振动

称为固有值问题的一系列固有值，相应的非零解为对应的固有函数。第2-1节有界弦的自由振动将固有值代入方程中，有可得其通解为第2-1节有界弦的自由振动这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解式中，是任意常数。第2-1节有界弦的自由振动由于初始条件式中的与是任意给定的，一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。第2-1节有界弦的自由振动为了选取，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令，由初始条件得第2-1节有界弦的自由振动傅里叶级数（补充）：（1）设是周期为的周期函数，则其中第2-1节有界弦的自由振动傅里叶级数（补充）：（2）设是周期为的周期函数，则其中第2-1节有界弦的自由振动（3）当为奇函数时，为奇函数，为偶函数。正弦级数为第2-1节有界弦的自由振动（4）当为偶函数时，为偶函数，为奇函数。余弦级数为第2-1节有界弦的自由振动和分别是函数、在区间上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即第2-1节有界弦的自由振动取级数的一般项，并作如下变形：式中，最大振幅相位频率第2-1节有界弦的自由振动表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。第2-1节有界弦的自由振动这种振动波还有一个特点，即在范围内有个点在整个过程中始终保持不动，即在的那些点，这样的点在物理上称为的节点。这说明的振动是在上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波称为驻波。另外，驻波还在另外的一些点处振幅达到最大值，这样的点叫做腹点。第2-1节有界弦的自由振动

是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随n而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为驻波法。第2-2节有限长杆上的热传导问题[问题]设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为和，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布为，求杆上的温度变化规律，即求解下列问题。第2-2节有限长杆上的热传导问题使用分离变量法求解：第2-2节有限长杆上的热传导问题该边值问题的固有值为：固有函数为：第2-2节有限长杆上的热传导问题则定解问题的解为由初始条件得第2-2节有限长杆上的热传导问题

当边界条件的类型发生改变后，一个或两个为第二类齐次的或第三类齐次的，这种定解问题的求解方法不变，可是求出的固有值与固有函数会发生改变。

第2-2节有限长杆上的热传导问题[问题]下面考虑杆的两端处绝热，初始温度分布为，并且无热源的有限长杆的热传导问题，它归结为求解式中为给定的已知函数。第2-2节有限长杆上的热传导问题使用分离变量法求解：第2-2节有限长杆上的热传导问题（1）当时，方程没有非平凡解。（2）当时，方程有解（常数）。（3）当时，方程有如下形式的通解：第2-2节有限长杆上的热传导问题该边值问题的固有值为：固有函数为：第2-2节有限长杆上的热传导问题则定解问题的解为由初始条件得第3节二维拉普拉斯方程的边值问题（一）矩形区域上的拉普拉斯边值问题一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，四周边界温度已知，具体为：板的两边（）始终保持零度，另外两边（）的温度分别为和，求薄板内稳恒状态下的温度分布规律。第3节二维拉普拉斯方程的边值问题矩形区域上的拉普拉斯方程边值问题：第3节二维拉普拉斯方程的边值问题设第3节二维拉普拉斯方程的边值问题固有值为固有函数为

第3节二维拉普拉斯方程的边值问题原定解问题的解：由边界条件得：第3节二维拉普拉斯方程的边值问题应用傅里叶系数公式得：第3节二维拉普拉斯方程的边值问题

当矩形区域的两组对边的边界条件都是齐次时，方程只有零解，这从物理模型上分析也是显然的。若两组边界条件都是非齐次的，则无法直接应用分离变量法。此时，可以根据叠加原理，将其分解为两个各含有一组对边是齐次边界条件的边值问题，再利用分离变量的方法分别求解。第3节二维拉普拉斯方程的边值问题[问题]一个半径为的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温度已知，求达到稳恒状态时圆盘的温度分布规律。由于稳恒状态下温度满足拉普拉斯方程，并且区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程采用极坐标形式将是方便的，用来表示圆板内点的温度，则区域的边界是圆周，所以边界条件可以表示为式中为圆周边界上的已知温度，且。第3节二维拉普拉斯方程的边值问题令，则第3节二维拉普拉斯方程的边值问题第3节二维拉普拉斯方程的边值问题这样所述问题可以表示为下列定解问题：周期性边界条件：有界性条件：第3节二维拉普拉斯方程的边值问题设泛定方程的解为第3节二维拉普拉斯方程的边值问题（1）当时，方程的通解为式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。（2）当时，的解为原定解问题的解为第3节二维拉普拉斯方程的边值问题（3）当时，方程的通解为固有值为相应的固有函数为和，在这里，一个固有值对应多个线性无关的固有函数。欧拉（Euler）方程它的通解为第3节二维拉普拉斯方程的边值问题补充：欧拉方程的解法：令，有，则代入欧拉方程中，得到有通解第3节二维拉普拉斯方程的边值问题原定解问题的一些列特解式中第2-4节非齐次方程的求解问题（一）有界弦的强迫振动问题齐次边界条件与零初始条件的强迫振动问题，即一根弦在两端固定、初始无变化的情况下，受外力作用所产生的振动现象。定解问题归纳为：第2-4节非齐次方程的求解问题根据物理规律，外力只影响振动的振幅，而不改变振动的频率，因此我们可以采用类似于线性非齐次常微