第八章分离变量法-数学物理方法

第八章分离变数法（傅立叶级数法）1、两个变数的齐次微分方程、齐次边界条件的分离变量的求解方法2、两个变数的非齐次微分方程、齐次边界条件的傅立叶级数的求解方法3、非齐次边界条件的处理方法4、三维泊松方程的特解求解方法重点§8、1齐次方程的分离变数解法、线性定解问题的叠加性质L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来非齐次方程L[u]=f(x,y,z,t)齐次方程L[u]=01.算符2.性质则其组合u2是齐次方程的解L[u2]=0L[u1]=f1)分别是齐次方程的

2)是非齐次方程的解则是非齐次方程的解:3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。二、分离变数法解齐次偏微分方程的基本思路：1、两个变数方程的求解方法则1、设解的形式解的形式为u(x,y)=X(x)T(t)带入方程中，得出两个常微分方程：2、分离变量分离过程：l-==)()()()(2xXxXtTatTxxtt代入边界条件：

3、本征值问题：本征值方程由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：当x=0，l时X=0,l时无意义,则不能无意义,则不能=0x=0,l时则有则必有所以n=1,2,3……又因为所以有特征解：4、通解：5、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：

则有

把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：6、物理意义：（1）、u(x,y)=T(t)X(x)是形式解un是驻波

波腹——振动总是最大点，波节——振幅总是为零点（2）、u

n(x,t)特解称为本征振动模式它与初始条件无关。称固有振动模式（4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）7、分离变量法概要：（1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解例1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。边界条件：初始条件：(2)分离变数：(3)、求解本征值问题：X=0,l时x=0,l时则有则必有（k=0,1,2……）故有：本征解（4）、通解中常数确定分离变量法也适用于Laplace方程例2解若λ>0，例3带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱

“无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场。+++++++++++________解如图选择坐标系，电荷具有面对称性,形成的电场也具有面对称性.在圆柱外,电势满足Laplace

方程.yx设导体上的电势为0,有下列边界条件:+++++++++++________yx定解问题为:1)形式解2)代入方程分离变量3)求解本征值问题得本征值和本征函数:径向方程为:解为3)通解为4)代入边界条件确定系数由(1)和(2)得:代入给出符合题意的解:说明该方法只适应于齐次偏微分方程，齐次边界条件的定解问题，对于齐次方程非齐次边界条件不适合。

k=1,2,3…

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3…

§8、2非齐次振动方程和输送方程基本思路：对于定解问题：、傅立叶级数法（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：(2)、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式（3）、构成满足边界条件、给出需待定的级数解：（4）、将级数解带入偏微分方程中，且将展为同样级数形式f(x,t)、

其中代入方程例1

求解定解问题：（以一维弦振动为例）二、应用举例：（2）、考虑齐次方程和齐次边界条件下的级数形式（3）、代入非齐次方程中，有：n=1二阶常系数非齐次线性微分方程则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如

的特解，其中

是与

同次（m次）的多项式，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解

而k按不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0，1或2。（4）、将级数解u(x,y)代入初始条件作傅立叶展开有：代入可得其解1、例2解：2、5、将系数代入u(x,t),得解：4、例3

分布方程非齐次方程、齐次边界条件的定解问题的一般处理方法定解问题：三、冲量定理法1、冲量定理法的基本思想定解问题1）持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；定解问题中，持续力是作用时间0--t表为瞬时力的叠加2）持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。是时刻有瞬时力引起的位移。代入泛定方程，有由于瞬时力是作用在时间段上，从时间上，瞬时力没有起作用，仍然是静止的，所以有瞬时力引起的位移所满足的方程瞬时力引起的位移满足的初始条件由于瞬时力作用时间极短，作用结束后弦线来不及振动，所以由冲量定理判断其作用后的速度，考虑单位长度的弦：将考虑时刻以后的定解问题，瞬时力还没有来得及起作用，则：将时间间隔取为单位时间，且将，则该定解问题可以用分离变量方法求解。例1解§8、3非齐次边界条件的处理