基于傅立叶导热定律的热子气方程的近似解

基于傅立叶导热定律的热子气方程的近似解

1热质输运的物理模型物质的势能（颗粒无规操作动能）是物质能量的形状之一。相应地考虑物质的发热质量，并将其视为热态空气的质量。物体导热过程中的热量输运对应着热质量(热子气质量)的输运。与对流输运不同,热质的输运是属于分子输运或扩散输运。它可以用热子气的宏观速度(漂移速度)来描述。描述物体的机械运动,我们需要有物体的质量、运动速度和加速度等物理量以及牛顿运动定律。与此类似,为了能够描述和研究热子气的宏观运动,需要建立热子气运动的速度和加速度等物理量。为了能确定热子气运动状态的变化与施加在热子气之上的非平衡作用力之间的关系,我们需要建立热质运动定律。2热子气的构成物体导热中的热流密度q通常可以写成如下形式:ρcvT即单位体积中气体的内能,单位是J/m3;Vh=ui+vj+wk是热量输运的速度,即热子气的宏观速度,单位为m/s。单位体积热子气的质量可称为热子气密度:单位时间内通过单位面积的热质为:因此,热子气的质量守恒方程为:3热质运动定律设物质中体积为V的热子气的质量为Mh,热子气具有宏观运动速度Vh,在外力(例如热质压力梯度)作用下该热子气的运动状态必然发生变化。类似于牛顿运动定律,我们可建立热质运动定律:其中Ph是热子气的动量。单位体积热子气的动量为ρhVh,所以体积为V的热子气的动量为:质量为Mh的热子气微元体受到的各种作用力的合力为:我们有热子气(热质)运动定律:其中符号D表示全微分。应注意的是它只适用于微元体。其物理意义是,单位热质所受的非平衡外力与其动量的变化率成正比。热子气运动定律(8)的欧拉描述为:其中Ph是热子气的压力。式(9)就是热子气运动方程或热子气动量方程。4热子气的“粘度”流体的输运性质之一是粘性系数,气体的动理论的分析表明:理想气体的热粘性系数表征的是分子无规运动导致动量传递的能力,所以也称其为动量传递系数。流体的粘性起着阻碍流体之间或流体与固壁之间的相对运动的作用,从而在具有不同运动速度的流体元之间形成了粘性应力。与此类似,热子的无规运动导致了热质(热量)动量的传递,因此热子气作为一种流体,也具有“粘性”,称其为热质粘性,并可用热质粘性系数来表征热质(热量)动量传递的能力。所以类似于牛顿粘性定律,我们可以有热质粘性定律,即热子气元体之间的粘性应力与速度梯度成正比:其中μh是热质粘性系数,因为热子气是一种特殊的流体,粘性应力将不仅是速度梯度的函数,所以引入待定参数A。由于热子气是一种可压缩流体,所以可以借用可压缩流体应力和应变的本征关系,建立热子气有粘流动的动量方程(相当于Navier-Stokes方程):对动量方程(11)两边均点乘速度矢量,经过相应的矢量运算得到有粘流动的热子气能量守恒方程:其中各项相应的物理意义为:等式左边是单位时间单位体积内热子气动能的变化;等式右边第一项是热子气的流动功;第二项是热子气的压缩功;第三项是热子气的剪切功;而等式右边的最后一项则是热子气的变形功,即是热质能的耗散。其中热子气的剪切功Wτ和Φτ分别为:5傅立叶导热定律傅立叶导热定律是指在具有不均匀温度场的物体中,各点热流密度与其所在处的温度梯度方向相反,数量上成正比,其比例系数为导热系数傅立叶导热定律的物理意义通常被理解为:温度梯度是驱动力,热流密度则是被驱动的热量流。在不可逆过程热力学中把前者称之为热力学力,后者称之为热力学流。在有关输运现象的文献中常把傅立叶导热定律和牛顿粘性定律进行类比。牛顿粘性定律描述的是流体的本构关系,而傅立叶导热定律描述的则是流和温度梯度的关系,在下面的分析中可以看到它们的物理意义有本质上的不同。我们先讨论最简单的一维稳态等截面的导热问题。此时热子气温度T、密度ρh、以及热子气流速u都只是坐标轴x的函数,而温度梯度和热流密度则保持不变。引入热子气密度这个物理量后,傅立叶定律式(14a)可改写为现在再来看热子气运动方程(11),对于稳态、一维、等截面流动问题,时间项为零,且wh=0,vh=0,uh/0。除了τxx≠0,其它应力分量均为零。在大多数情况下uh很小,式(11)左侧的惯性力也很小而可以被忽略,所以式(11)可简化为:由(15)并结合(14b)可求得:其中μh=3k/4cv,。反代入(10)式,得到了热子气的粘性应力:这样,我们基于傅立叶定律以及忽略惯性力的热子气守恒方程,求得了上述热子气粘性力的表达式。与此同时,从式(15)可以看到傅立叶导热定律是反映了热子气压力与粘性力的平衡,是热子气动量方程在忽略惯性力条件下的一种近似。对于一维稳态等截面导热问题,当热流密度足够大时,即当热子气流动动量变化足够大而不能被忽略时,热子气的动量方程可以从式(11)而得方程左边就是热子气的惯性力。现在来分析在什么条件下可以忽略热子气惯性力。令χ代表惯性力与粘性力的比若硅中的导热过程在温度T=300K水平上,热流密度q=104J/·m2时,χ≈1×10-15可见惯性力完全可以忽略,傅立叶导热定律具有足够的精确度,而当热流密度q=1011J/s·m2时,χ≈0.2～0.3。此时,傅立叶导热定律不再能描述热流与温度梯度的关系,必须作修正。因此,当导热过程中热流密度很大或温度很低(不考虑量子效应),即热子气的惯性力与粘性力是同一量级时,傅立叶定律不再适用。6傅立叶导热定律的传统观点(1)在热质和热子气概念基础上,建立了热子气的质量、动量和能量守恒方程;(2)基于傅立