数字图像处理第三章

通常，图象处理在以下三个域中进行：空域处理：利用某种方法直接对数字图象中的象素进行修改。频域处理：将空域图象经过傅立叶变换，使其成为“频域图象”，而后对其各个频率成分进行处理；处理完成后，将“频域图象”图象经过傅立叶反变换为空域图象。其它域处理：空域图象经过某种变换，使其成为“对应域图象”，而后进行相应处理；处理完成后，将“对应域图象”图象经过对应反变换为空域图象。第三章图像变换

图象变换可以看成是一幅图象经过一个系统变换生成的结果：

f(x,y)→h(x,y)→g(x,y)如果系统h(x,y)满足一定的条件：齐次性、可加性和时不变性，就成为了线性时不变系统。一般而言，都将图像处理系统看成为线性时不变(位置不变)系统。图像变换看成是图象经过一线性位置不变系统变换的结果。所有线性系统理论都可以拿来使用。图像变换是将图像从空域变换到其它域，如频域。图像变换需满足某些条件。为什么要变换利用变换的某些性质，可以大大简化或加速图象处理过程空域图象经过变换后形成“对应域图象”，从中会看到在空域图象中不易看到的某些“东西”。变换后形成“对应域图象”，会呈现某些性态，利用这些性态可完成图象处理中某个应用领域的应用。应选择什么样的变换才能满足各种要求是下面要讨论的主要问题之一。变换选择的原则1)变换必须是可逆的。2)变换不能损失信息。3)变换必须是有好处的。4)变换算法必须是不复杂的。

G(i,j)=If(x,y)→f(x,y)=I-1G(i,j)虽然满足1、2、4条件，但不满足第三条。变换的目的：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：

①正交变换必须是可逆的；

②正变换和反变换的算法不能太复杂；

③正交变换的特点是在变换域中图像能量集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图象处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。

图像变换的预备知识

xyzδ(x,y)0x0δ(x)δ(x+a)δ(x-a)a-a抽样定理实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。

在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的

这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？

是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？

函数的抽样

最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘

如果被抽样的函数为，抽样函数可表示为

梳状函数是函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平面上在，两方向上间距为和的函数与该函数的乘积任何函数与函数相乘的结果仍然是函数，只是函数的“大小”要被该函数在函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个函数下的体积正比于该点函数的数值

抽样函数函数的傅立叶变换函数f（x）的一维傅立叶变换定义为：其逆变换定义为：傅立叶变换的幅值和相角f（t）的傅立叶变换结果常常是虚数，可用复数形式表示为：则其幅值为：其相位为：幅值和相角的应用f（t）的能量谱:用幅值和相位来表示傅立叶变换:幅值相位离散傅立叶变换正变换：逆变换：二维傅立叶变换对于二维信号，二维傅立叶变换定义为：二维离散傅立叶变换图象的傅立叶变换例子原图像

幅度谱相位谱

图象的傅立叶变换例子原图像

幅度谱相位谱傅立叶变换一个周期为T的函数在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数其复指数形式为其中

傅立叶级数清楚地表明了信号由那些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。

一、连续函数的傅立叶变换

1.

一维连续函数的傅立叶变换

令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换以F(u)表示，则表达式为

若已知F(u)，则傅立叶反变换为

式（1）和（2）称为傅立叶变换对。

这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量。

2.二维连续函数的傅立叶变换傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则存在如下的傅立叶变换对

二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2(11)φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)](12)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)(13)例图(a)所示矩形的傅立叶变换如下：

二、离散函数的傅立叶变换假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。

将序列表示成

f(x)=f(x0+x△x)式中x假定为离散值0，1，2，…，N﹣1。即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。被抽样函数的离散傅立叶变换可表示为

式中x=0，1，2，…，N-1。在式(14)给出的离散傅立叶变换中，u=0，1，2，…，N-1的值对应于在值0，△u，2△u，…，(N-1)△u处连续变换的抽样值。用F(u)来表示F(u△u)。除了F(u)的抽样始于频率轴的原点之外，这个表示法和离散的f(x)所用的表示法相似。可以证明△u和△x的关系为△u=1/N△x

在二维的情况下，离散的傅立叶变换对表示为

对连续函数的抽样是在二维的格子上进行的，此格子在x轴和y轴上分别以宽度△x和△y被划分，与一维的情况一样，离散函数f(x，y)表示函数f(x0+x△x，y0+y△y)对于x=0，1，2，…，M-1和y=0，1，2，…，N-1点的取样。对F(u，v)有类似的解释。在空间域和频率域中的抽样间距由下式相联系

△u=1/（M△x

）△v=1/（N△y）

当图像抽样成一个方形阵列时，即M=N，则

式中x，y=0，1，2，…，N-1。应注意，在此情况下，在两个表达式中都已包含1/N项。因为F(u，v)和f(x，y)是一个傅立叶变换对，这些常数倍乘项的组合是任意的。实际中图像常被数字化为方阵。

一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。图像傅立叶变换幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多少相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位置通常我们只关心幅度谱下面两个图对应的幅度

谱是一样（这里只显示

了其幅度谱，当然相位

谱是不一样的）图像傅立叶变换从幅度谱中我们

可以看出明亮线

反映出原始图像

的灰度级变化，

这正是图像的轮

廓边图像傅立叶变换从幅度谱中我们

可以看出明亮线

和原始图像中对

应的轮廓线是垂

直的。如果原始

图像中有圆形区

域那么幅度谱中

也呈圆形分布图像傅立叶变换图像中的颗粒状对

应的幅度谱呈环状，

但即使只有一颗颗

粒，其幅度谱的模

式还是这样。图像傅立叶变换这些图像没有特定

的结构，左上角到

右下角有一条斜线，

它可能是由帽子和

头发之间的边线产

生的两个图像都存在一

些小边界图像傅立叶变换图像发生旋转时，幅度谱也相应的进行了旋转Fourier变换示意图Fourier变换的频率特性

Fourier变换的低通滤波Fourier变换的高通滤波基于Fourier变换的压缩另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1基于Fourier变换的压缩压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1例如：对一维信号f(x)=[1010]进行傅立叶变换。由得u=0时，

u=1时,u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F(u)==Af(x)xy1-1j-j3.2.3二维离散傅立叶变换的若干性质

离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系，在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，离散傅立叶变换的若干重要性质。1．周期性和共轭对称性若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有

F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)傅立叶变换存在共轭对称性

F(u，v)=F*(-u，-v)这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。傅立叶变换周期性的例子(a)

表示在区间中一个周期的傅立叶谱(b)

表示在同一区间内整个周期平移之后的频谱

2.分离性

一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换来实现。例如下例两式:3.平移性质

傅立叶变换对的平移性质可写成(以表示函数和其傅立叶变换的对应性)

:式（1）表明将F(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。式(2)表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。另外，从式(2)可知，对F(x,y)的平移不影响其傅立叶变换的幅值。4.旋转性质借助极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，

u=wcosφ，v=sinφ将F(x,y)和F(u,v)转换为F(r,θ)和F(w,φ)。直接将它们代入傅立叶变换对得到：对F(x,y)旋转θ0对应于将其傅立叶变换F(u,v)也旋转θ0。类似的,对F(u,v)旋转θ0也对应于将其傅立叶反变换F(x,y)旋转θ0。5.分配律根据傅立叶变换对的定义可得到：

上式表明傅立叶变换和反变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足，一般有

6.尺度变换(缩放)给定两个标量a和b，可证明对傅立叶变换以下两式成立

7.平均值对一个二维离散函数，其平均值可用下式表示

如将u=v=0代入式

可以得到

比较以上两式可得

7．离散卷积定理设f(x,y)，g(x,y)是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为式中M=A+C-1,N=B+D-1证明离散卷积定理，对上式有于是空间域卷积定理得证。

8．离散相关定理大小为A×B和C×D的两个离散函数序列f(x,y)，g(x,y)的互相关定义为

式中

M=A+C－1，N=B+D－1其它可分离图像变换下面先讨论这类变换的通用公式，然后介绍在图像处理中常用的沃尔什、哈达玛、离散余弦等变换。一、通用公式一维离散傅立叶变换是一类重要的变换，它可以用通用关系式表示

其中T(u)是f(x)的正变换，g(x，u)是正变换核，并且假定u在范围0，1，…，N-1内取值，类似地，逆变换由关系式

给出，其中h(x，u)是反变换核，并且假定在范围0，1，…，N-1内取值。变换的性质由它的变换核的性质所决定。对于二维方阵，正变换和反变换由式

以及

其中g(x，y，u，v)和h(x，y，u，v)分别称为正变换核和反变换核。如果

则称正向核是可分离的。如果g1在函数上等于g2，则这个核是加法对称的。在这种情况下，上式可以表示成

二维傅立叶变换的一个特殊情况，它的核为

它是可分离的和对称的，因为很容易证明反傅立叶核也是可分离的和对称的。

一个具有可分离核的变换可以分成两步计算，每一步要作一个一维变换。首先，沿着f(x，v)的每一行取一维变换，得到

其中x，v=0，1，2，…，N-1.然后，沿着T(x，v)的每一列取一维变换；这个结果可以表示成

其中u，v=0，1，2，…，N-1。

如果核g(x，y，u，v)是可分离和对称的，傅氏变换式也可以表达成下面矩阵形式

其中F是N×N的图像矩阵，A是以aij=g1(i，j)为元素的N×N的对称变换矩阵，而T是N×N的变换结果，它的u，v在范围0，1，2，…，N-1内取值。为了得到反变换，对上式的两边分别前后各乘1个反变换矩阵B：

如果B=A-1，则这表明图像F可完全由其变换恢复。如果B不等于A-1，则由式得F的一个近似:2、哈达玛(Hadamard)变换

与傅立叶变换、余弦型变换不同，哈达玛(Hadamard)变换和下面将要介绍沃尔什(Walsh)的变换的基波都是方波的变形。通常这种变换的计算速度很快，这主要的原因是因为其中的许多乘法操作都非常简单。一维哈达玛变换对的定义：其中N=2n。其中：bk(z)是z的二进制表达中的第k位。正变换反变换二维哈达玛变换对的定义正变换；其中N=2n。反变换；其中N=2n。其中：bk(z)是z的二进制表达中的第k位。例如：b2(4)→000100→=1000100000011001111100000→0×0＋0×1=0例如：N=8时，有哈达玛变换阵每一行的符号的变化次数称作这个行的列率。哈达玛变换的正反变换核是一样的。变换核生成有一规律，使其生成非常方便(如果图像是N×N，N=2n)。3、沃尔什(Walsh)变换我们从哈达玛变换知道：它的构造是由小块堆积成大块的。但是分析其列率就知道其排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的哈达玛变换就成为沃尔什变换。当N=2n时，有一维沃尔什变换对：例如：N=8时，有沃尔什变换阵可见，沃尔什变换阵可由哈达玛变换阵重排列率构成。二维沃尔什变换对的定义例：用4×4沃尔什变换阵G对给定图像f1(x,y)和f2(x,y)进行变换，求其变换后的“图像”W1(u,v)和W2(u,v)。能量集中在边角！且图像越平滑能量越集中。二、沃尔什变换当N=2n时，函数f(x)的离散沃尔什变换记作w(u)，在式中用核代入即可求得式中u,x=0,1,2,…,N-1。式为一维离散沃尔什变换。

其中bk(z)是z的二进制表示的第k位值。例如，n=3，N=2n=8,如果z=6（二进制是110），则有b0(z)=0，b1(z)=1，以及b2(z)=1。

N=8的沃尔什变换核的值

g(x，y)的值，除常数项1/N外，对于N=8可以列成上表。由沃尔什变换核形成的数组是一个对称矩阵，它的行和列是正交的。除相差常数因子1/N外，正、反变换核其他完全相同。因此因而，一维离散沃尔什反变换由

给出。它与以三角函数项为基础的傅立叶变换不同，沃尔什变换是由值或者取+1或者取-1的基本函数的级数展开式构成。

二维正和反沃尔什变换核由关系式

给出。这两个核完全相同，所以下面两式给出的二维沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：

沃尔什正变换核和反变换核都是可分离的和对称的，因为可知，二维的沃尔什正反变换都可分成两个步骤计算，每个步骤用一个一维变换实现。

三、哈达玛变换对于一维正向哈达玛(Hadamard)核有若干种已知公式，其中的一种由关系式

给出。这里在指数上的和是按模2算术执行的，bk(z)代表z的二进制表示的第k位值。一维哈达玛变换表达式

其中N=2n，并假定u在范围0，1，2，…，N-1内取值。二维核类似地由关系式以及两个核完全相同，所以下面两式

给出的二维的哈达玛正变换和反变换也具有相同形式。哈达玛正变换核都是可分离的和对称的。由可知，二维的哈达玛正变换和反变换都可分成两个步骤计算，每个步骤用一个一维变换实现。一维哈达玛核产生的数值矩阵，在N=8的情形下如表示。其中的常数项1/N被省略了。应注意，虽然在这个表中的元素和沃尔什变换时一样，但是行和列的次序是不同的。事实上，当N=2n时，这是这两个变换之间的唯一区别。当N不等于2的整数次幂时，这种区别更大。如果能够对任意正整数N做沃尔什变换的话，那么就存在N的哈达玛变换。N=8的哈达玛变换核的值

最小阶（N=2）的哈达玛矩阵是如果用HN代表N阶矩阵，上面提到的迭代关系可由下式给出

式（3.3-10）中的变换矩阵可将哈达玛矩阵用矩阵阶的平方根归一化得到，即

四、离散余弦变换

余弦变换是简化傅立叶变换的重要方法，特别是用于图像信息压缩传输如计算机多媒体技术中的传输。从傅立叶变换性质可知当f(x)或f(x,y)为偶函数时，虚数项为零不需计算，变换只计算余弦项。因此余弦变换是傅立叶变换的特例。一个采样从0，1，2，…，N-1的任意函数f(x)，若向反方向折叠形成2N个采样的偶函数，就可进行2N的偶函数傅立叶变换。相应的一维离散余弦变换(DCT)和其反变换由以下两式定义其中a(u)由下式定义将一幅N×N的图像f(x,y)沿水平方向对折镜像，再沿垂直方向对折镜像，可成为一个2N×2N的偶函数图像。那么它的二维正反DCT对由下面两式定义u,v=0,1,…,N-1傅立叶变换需要复数的乘法和加法运算，而复数运算比实数运算要费时得多离散余弦变换是实值变换，它广泛应用于语音和图像的压缩图像的离散余弦变换DCT矩阵的左上角代表低频分量，右下角代表高频分量由DCT域图像我们能够了解图像主要包含低频成份DCT域图像空间域图像小波变换

小波的概念是由法国地球物理学家J.Morlet在1984年提出的，他在分析地质资料时，首先引进并使用了小波(Wavelet)这一术语，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性;而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。傅立叶变换的提出,使信号分析可以在时域和频域上分开进行,有时常常希望分析信号的时间特性的同时,分析信号的频率特性,这样,便引出了时频分析的概念

针对傅立叶变换不能同时进行时间-频率局部分析的缺点，D.Gabor在1946年，提取信号傅立叶变换的局部信息，引入了一个时间局部变化的“窗函数”，－称为Gabor变换，又称为加窗傅立叶变换Gabor其中函数称为窗函数。—加窗傅立叶变换或称为短时傅立叶变换。虽然加窗傅立叶变换能在不同程度上克服傅立叶变换的上述弱点，

但提取精确信息，要涉及时窗和频窗的选择问题。由著名的Heisenberg测不准原理可知，g(t)无论是什么样的窗函数，时窗g(t)的宽度与频窗g(w)宽度之积不小于1/4π，在对信号作时—频分析时，其时窗和频窗不能同时达到极小值。换句话说，不能在提高时域分辨率的同时使频率分辨率也无限制地提高。如要求更好的局部性质或更多的整体性质时，就必须更改窗口的大小，从而使计算量大增，以至无法具体实现。

窗口傅立叶变换是一种时频分析手段,在进行信号分析时,通过一个信号加窗的方法,得到在窗口内信息的频域特性,通过移动这个窗,就可以得到在不同时域中频率特性,相当于用一个形状、大小和放大倍数相同的“放大镜在时-频面上移动去观察信号在某固定长度时间内的频率特性。

Gabor变换的时——频窗口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。

在非平稳信号的分析中，希望存在一种变换函数，它能满足：对于高频谱的信息，时间间隔要相对的小，以便给出比较好的精度；而对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽，以便给出完全的信息，也就是说，要有一个灵活可变的时间-频率窗，使在高“中心频率”时，时窗宽度自动变窄；在低“中心频率”时，时频窗宽度自动变宽作为多尺度分析工具，小波变换为信号在不同尺度上的分析和表征提供了一个精确和统一的框架，从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)(2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性(3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段,可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)(4)小波变换实现上有快速算法

与傅立叶变换类似，小波变换也是将一个信号分解成若干基波的线性组合，这些基波是不同时间发生的不同频率的小波，具体是靠平移和收缩来实现的。平移确定某个频率出现的位置，伸缩得到从低到高不同频率的基波。傅立叶变换用到的基波函数是唯一确定的，即为正弦函数，小波变换用到的小波不唯一的，所以选择小波是实际应用中的难题。

广泛应用：信号处理、图像处理、模式识别、量子物理、非线性科学领域原则上，凡传统使用Fourier分析的方法，都可以用小波分析代替与Fourier变换、Gabor变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难，对高频采取逐渐精细的时域或空域步长，从而可以聚焦到分析对象的任意细节－数学显微镜图像的小波处理小波分解低频系数水平系数垂直系数对角系数一、连续小波变换同傅立叶变换那样，在小波变换中同样存在着一维、二维的连续小波变换和离散小波变换。1．一维连续小波变换给定基本小波函数，信号f(t)的连续小波变换定义为小波变换可以表示为Wf(a,b)=fa,b(t)，它可以看作是求函数f(t)在的各尺度平移信号上的投影。即求f(t)与的相关性。其中a>0，b∈R。上式给出f(t)的一种多尺度表示，a代表尺度因子，称为小波。

如果是复变函数时，上式采用复共轭函数。若a>1，则函数具有伸展作用；a<1时，函数具有收缩作用。而傅立叶变换则恰好相反。伸缩参数a对小波的影响见下图。伸缩参数a对生成小波(t)的影响随着a的减小，的支撑区间随之变窄，频谱随之想高频端展开小波随伸缩参数a、平移参数b而变化如下图所示。图中小波函数为。当a=2,b=15时，的波形从原点向右移至t=15且波形展宽，a=–5,b=–10时，(t)则是(t)从原点向左平移至t=–10处且波形收缩。随着参数a的减小，a,b(t)的支撑区随之变窄，而a,b(ω)的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。这就有可能实现窗口大小自适应变化。小波的波形随参数ａ，ｂ而变化的情形

小波的波形随参数ａ，ｂ而变化的情形

当比例因子a增大时（a>1),表示用伸展了的波形去观察整个f(t),换句话说，这时以小的时间分辨率和大的频率分辨率来观测信号的低频信息，反之，当a减小时（0<a<1)，则压缩了的波形去衡量f（t)的局部，即以大的时间分辨率和小得频率分辨率来观察信号的高频部分。随着尺度因子从大到小（0<a<+),f(t)的小波变换可以反映从概貌到细节的全部信息。从这个意义上讲，小波变换是一架变焦镜头，它既是望远镜又是显微镜。小波(t)的选择既不是唯一的，也不是任意的。它应满足以下几个条件：1)定义域应是紧支撑的，即在一个很小的区间外，函数为零，也就是函数应有速降特性。2）平均值为零，即：其高阶矩也为零。

k=0,1,2,…,N–1小波(t)在t轴上取值有正有负才能保证上式积分为零。所以(t)应有振荡性。由此可见，小波是一个具有振荡性和迅速衰减的波对于所有的f(t)，(t)∈L2(R)，连续小波逆变换由式给出

2.一维小波变换的基本性质⑴线性小波变换是线性变换，它把一信号分解成不同尺度的分量。设为的小波变换，若则有

⑵平移和伸缩的共变性连续小波变换在任何平移之下是共变的，若f(t)↔Wf(a,b)是一对小波变换关系，则f(t–b0)↔Wf(a,b–b0)也是小波变换关系。

对于任何伸缩也是共变的，若f(t)↔Wf(a,b)，则

⑶微分运算

除上述性质外，小波变换还有诸如局部正则性、能量守恒性、空间——尺度局部化等特性。3．几种典型的一维小波由于基本小波的选取具有很大的灵活性，因此应用学科的各个领域可根据所讨论问题的自身特点选取基本小波。从这个方面看，小波变换比经典的傅立叶变换更具有广泛的适应性，到目前为止，人们已经构造了各种各样的小波及小波基。下面给出几个有代表性的小波。（1）Haar小波该正交函数是由Haar提出来的，如图所示。而由

构成

中的一个正交小波基，称为Haar基。式中，z为全体整数所成的集合。由于Haar基不是连续函数Haar小波的波形

Haar小波（1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8）（1/8,1/8,1/8,1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8）（1/4,1/4,-1/4,-1/4,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/4,1/4,-1/4,-1/4）（1/2,-1/2,0,0,0,0,0,0）（0,0,1/2,-1/2,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/2,-1/2,0,0）（0,0,0,0,0,0,1/2,-1/2）连续Haar小波对应的离散Haar小波（2）墨西哥草帽高斯函数

的各阶导数为

当m=2时，称为马尔小波或墨西哥草帽小波，如下图所示Marr小波在视觉信息加工研究和边缘监测方面获得较多应用。墨西哥草帽小波

4．二维连续小波变换由于图像或计算机视觉信息一般是二维信息，因此这里给出二维小波变换的定义。若f(x,y)是一个二维函数，则它的连续小波变换是其中bx和by分别表示在x,y轴的平移。二维连续小波逆变换为：

其中而(x,y)是一个二维基本小波。同样的产生方法可以推广到超过两个变量的函数上。

二、离散小波变换参数a的伸缩和参数b的平移为连续取值的小波变换是连续小波变换，主要用于理论分析方面。在实际引用中需要对尺寸参数a和定值参数b进行离散化处理，离散化的基本思想体现了小波变换作为“数学显微镜”的主要功能。选择适当的放大倍数，在一个特定的位置研究一个函数或信号过程，然后再平移到另一位置继续研究，如果放大倍数过大，也就是尺度太小，就可按小步长移动一个距离，而该放大倍数的离散化则由于上述平移定位参数b的离散化方法来实现。于是离散小波可以定义为：相应的离散小波变换

上式就是一维离散小波变换。在连续小波变换的情形下，我们知道在a>0时完全刻画了函数f(t)的性质或信号的变化过程，实际上用逆变换式可以由变换结果重构f(t)。用离散小波，适当选择a0与b0之值，我们同样能刻画f(t)。

离散小波变换离散小波变换就是做向量的内积。例：对（64，2，