福建省南平市光泽县止马中学2022年高三数学文测试题含解析

福建省南平市光泽县止马中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）

A．

B．C．

D．参考答案：B略3.已知f（x+1）为偶函数，则函数y=f（2x）的图象的对称轴是（）A．x=1 B．x= C．x=﹣ D．x=﹣1参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据复合函数的对称性，由f（x+1）是偶函数，故函数f（x+1）的图象关于Y轴对称，此时x=0，括号内x+1=1，故y=f（2x）的图象的对称轴依然要保证括号内的整体2x=1，即x=．【解答】解：∵f（x+1）是偶函数，∴函数f（x+1）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴函数f（2x）的图象关于直线x=对称，故选B．4.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

参考答案：C试题分析：由，所以所求双曲线的渐近线方程为：；故选：C．考点：双曲线的性质．5.函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（

）A充分条件

B

必要条件

C

充要条件

D必要非充分条件参考答案：D6.复数（i是虚数单位）的共轭复数的虚部为A.

B.0

C.1

D.2

参考答案：7.函数，则有（

）A.最小值4 B.最大值4 C.最小值-4 D.最大值-4参考答案：A略8.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：D9.设双曲线()的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线C的方程为().A.

B.

C.

D.参考答案：A因为双曲线()的虚轴长为4，所以，，因为双曲线()的一条渐近线为，所以，双曲线的方程为，故选A.

10.已知，则下列不等式一定成立的是参考答案：DA．

B．

C．

D．【知识点】对数的性质，不等式的性质.

B7解析：由得a>b>0,所以，故选D.【思路点拨】由对数的性质得a>b>0，再由函数的单调性得结论.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在锐角△ABC中，已知AB=，BC=3，其面积S△ABC=，则AC=．参考答案：3【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用余弦定理可求AC的值．【解答】解：∵AB=2，BC=3，面积S△ABC=AB?BC?sinB=2×3×sinB=3，∴解得：sinB=，∵由题意，B为锐角，可得：cosB==，∴由余弦定理可得：AC===3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________．参考答案：.【分析】设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，则．分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．连，则为外接球的半径，设半径为．∵三棱锥的体积为，即，∴．在中，可得，∴，当且仅当时等号成立，∴球表面积的最小值为．故答案为：．【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．13.函数的值域是 ．参考答案：{﹣1，3}【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【专题】计算题．【分析】本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，对于四个象限，因为三角函数值的符号不同，需要按照四种不同的情况进行讨论，得到结果．【解答】解：由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，当角x在第一象限时，y=1+1+1=3，当角在第二象限时，y=1﹣1﹣1=﹣1，当角在第三象限时，y=﹣1﹣1+1=﹣1，当角在第四象限时，y=﹣1+1﹣1=﹣1．故答案为：{﹣1，3}【点评】本题考查三角函数值的符号，考查函数的值域，本题是一个比较简单的综合题目，这种题目若出现是一个送分题目．14.设，不等式对恒成立，则的取值范围为

．参考答案：15.设为椭圆上一动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是___________.参考答案：816.已知函数，则f（1+log23）=．参考答案：【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】根据分段函数的性质，把x=1+log23分别反复代入f（x﹣1）直到x≤0，再代入相应的函数解析式，从而求解；【解答】解：∵∵1+log23＞0，∴f（1+log23）=f[（1+log23）﹣1）]=f（log23）∵log23＞0f（log23）=f（log23﹣1），∵log23﹣1＞0∴f（log23﹣1）=f（log23﹣2），∵log23﹣2≤0，∴f（log23﹣2）==×23=，故答案为．【点评】此题主要考查对数的性质和函数的值，计算比较麻烦，此题是一道基础题，需要反复代入求解；17.已知抛物线的准线为,过点且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为,若,则等于____________.

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．19.(本题满分18分)

（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.(1)若成等比数列,求的值；(2)在,的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3)他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数

列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”.于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确.他将得到什么结论？参考答案：(1)由a32=a1a5，

………………..2分即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0.

……..4分

(2)解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列.

…………..7分因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M,

………..9分这里M=+3+…+3n-2为正整数，所以,bn=1+3M=1+3[(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证.

……………….11分

(注：bn的通项公式不唯一)

(3)该命题为假命题.

……….12分由已知可得,因此,,又,故,

..15分由于是正整数，且，则,又是满足的正整数，则,,所以，>

,从而原命题为假命题.

……..18分

20.已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．综上可得，f（x）≥0的解集为．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．21.已知，函数，且.（1）求f(x)的最小正周期；（2）若f(x)在[－a,a]上单调递增，求正数a的最大值；（3）若，求.参考答案：解：（1）∵，∴的图象关于直线对称，∴（），∴（），∵，∴.故.（2）令（），得（），则解得，即的最大值为.（3）.

22.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，，，点F是PB的中点，点E在边BC