图形的认识与三角形

第四单元图形的认识与三角形角、相交线与平行线1、（2022莱芜）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．25°D．30°解析:如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°.∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°.∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°，故选C．答案:C2.（2022重庆）如图，直线a、b、c、d,已知，直线b、c、d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于（）°°°°解析：∵，∴a∥b∴∠2=∠1=50°.答案：B3.（2022丽水）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C的度数是（）A.80°B.70°C.60°D.50°解析：根据两直线平行，内错角相等可知∠D=20°，又因∠COD=100°，∴∠C=60°.答案：C4．（2022孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）°B.130°C.140°D.40°解析：先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．答案：C5.（2022白银）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°解析：∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．故选C．6．（2022泰安）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．180° C．210° D．270°解析：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠4+∠5=180°，根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°，故选B．7.（2022南昌）如图△ABC中，∠A=90°点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为．解析：∵∠ADE=155°,∴∠EDC=25°.又∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=25，在△ABC中，∠A=90°，∴∠B+∠C=90°,∴∠B=65°.答案：65°8.(2022南宁)一副三角板如图所示放置，则∠AOB=__________________.解析:本题考查角的和差,∠AOB等于两个特殊角的和，即45°+60°=105°.答案：105°.9．(2022德州)如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象．请你用数学知识解释出现这一现象的原因：____________________．解析：根据两点之间线段最短或三角形的三边关系进行解答.答案不唯一，如两点之间，线段最短；三角形两边之和大于第三边10.（2022河南）将一副直角三角板和如图放置（其中），使点落在边上，且，则的度数为解析：∵ED∥BC∴∠DEC=∠ACB=30°∴∠CEF=45°-30°=15°.答案：15二、三角形与全等三角形1、（2022宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A．6B．8C．10D．解析：本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于14小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于7而小于10．答案：B2．(2022宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（），2，6，2，4C解析：根据三角形两边之和大于第三边来判断。答案：D3．(2022武汉)已知△ABC,AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）。A．18°B．24°C．30°D．36°解析：∵AB=AC，∠A=36°∴∠C=72°.∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°.答案：A4.(2022鄂州)一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠的度数是（）A．165° B．120°C．150° D．135°解析：根据外角和定理及平角的定义，利用三角板中的特殊角即可解答。答案：A5.（2022安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC解析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可.答案：B6.（2022郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°解析：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．答案：D7.（2022巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）解析：可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加.答案：CA=FD8.(2022上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．解析：由“特征三角形”定义可知=50°，根据三角形内角和定理的第三个角为：30°，∴特征三角形的最小内角的度数为30°.答案：30°9.（2022义乌）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连结AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC=.解析：根据外角可求出∠ODC=55°,又∵OD垂直平分BC,∴∠OBC=∠OCB=35°,∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=70°答案：70°10.(2022长沙)如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为_______cm.解析：根据角平分线上的点到角两边距离相等可得。答案：411.（2022珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．证明：∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴BC=DC．12、（2022怀化）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．求证：△ADE≌△BGF；证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG是正方形，∴∠BFG=∠AED=90°，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，∵在△ADE与△BGF中，，∴△ADE≌△BGF（ASA）；ABCABCDE13.（2022荆门）如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.⑴求证：BE=CE；⑵若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC,垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变.求证：AEF≌BCF.证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点CEABDCEABDF在ABE和ACE中，∵AB=AC,∠BAE=∠EAC,AE=AE∴ABE≌ACE∴BE=CE(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF∴ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF,由（1）知AD⊥BC∴∠EAF=∠CBF]在AEF和BCF中,AF=BF,∠AFE＝∠BFC=90°∠EAF=∠CBF∴AEF≌BCF三、等腰三角形与直角三角形1．（2022毕节）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（）A.16B.20或16C.20D.12解析：当4为腰长，则三边为：4、4和8，构不成三角形，舍去；当8为腰长，则三边为：4、8和8，可以构成三角形，周长为20.答案：C2．（2022衢州）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（）30°A．3cmB．6cmC．3cmD．30°解析：直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半，故三角板的直角边长是6，再利用勾股定理可得斜边长为6。答案：D3．（2022佛山）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)()A．34.64mB．34.6mC．28.3mD．17.3m解析：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可。答案：B4.（2022莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（）ABCD解析：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1．∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C，故选B．5.（2022黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5B．C．D．5或解析：当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5;当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为.答案：D6.（2022莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4B．5C．6D．解析：如图，满足条件的点M的个数为6．答案：C7.（2022滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 解析：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．答案：D8.（2022深圳）如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则的值是（）A.B.C.D.解析：分别过点A，B作易得设平行线间距离为d＝1，CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝，AB＝，则答案：D9.（2022钦州）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙解析：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长ED和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．10.（2022鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为cm．解析：连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．答案：1011.（2022黔西南）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°．答案：1512．（2022聊城）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为．解析：首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．答案：3．13.（2022衢州）小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是．解析：∵小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，∴桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的有：10cm，12cm长的木棒，∴从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是：．答案：14.（2022鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为．解析：利用勾股定