2025年高考数学总复习 50 第六章 第七节 空间距离

第七节空间距离考试要求：1．理解点线距、线线距、线面距、面面距的概念与向量表示．2．会利用向量求空间距离．自查自测知识点一点到直线的距离如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别为AB，CC1的中点，则点D到直线GF的距离为________．2解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，所以GF＝(1，－1，－1)，DF＝(1，1，0)．取a＝DF＝(1，1，0)，u＝GFGF所以点D到直线GF的距离为a2核心回扣已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如图，设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.点P到直线l的距离|PQ|＝AP2－自查自测知识点二点到平面的距离判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(×)(2)若直线l平行于平面α，则l上各点到α的距离相等．(√)(3)若直线l上两点到平面α的距离相等，则l∥α.(×)(4)点到直线的距离就是该点与直线上任一点连线的长度．(×)核心回扣如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为BO＝AC·【常用结论】异面直线AB与CD间的距离公式：d＝AC·nn，其中应用在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，则异面直线AB与A1C之间的距离为________．22解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，A1(4，0，4)，所以AB＝(0，4，0)，CA1＝(4，－4，4)，AA1＝(0，0，设m＝(x，y，z)是异面直线AB和A1C的公垂线的方向向量，则m·AB取x＝1，则z＝－1，所以m＝(1，0，－1)是异面直线AB和A1C公垂线的一个方向向量，所以异面直线AB和A1C的距离为AA1点到直线的距离1．(2024·济南模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，则点P到直线MN的距离为()A．22 B．23C．3 D．25A解析：因为MN＝(1，1，1)，所以MN的一个单位方向向量为u＝33(1，1，1)．因为PM＝(1，－1，3)，所以PM＝12+－122．如图，已知直三棱柱ABC­A1B1C1，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90˚，则点B到直线A1C1的距离为________．135解析：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)所以A1C1＝(－4，3又BC1＝(0，3，1)所以点B到直线A1C1的距离d＝BC12－3．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E为CC1上一点，且2CE＝EC1，在平面CDD1C1内作EF∥A1B，交C1D1于点F，则直线EF与A1B之间的距离为________．386解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，1)，B(1，0，0)，E1直线EF与A1B之间的距离等于点E到直线A1B的距离，BA1＝(－1，0，1)，BE＝0，1，13，所以点E到直线A11．求点到直线的距离的方法(1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝PA2(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间的距离公式求距离．2．平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解．点到平面的距离【例1】如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，则点B到平面EFG的距离为________．21111解析：因为CG⊥平面ABCD，CD，CB⊂平面ABCD，所以CG⊥CD，CG⊥CB.因为CD⊥CB，所以以C为原点，CD，CB，CG所在的直线分别为x，y，z轴，则C(0，0，0)，B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)，所以FE＝(－2，2，0)，EG＝(－2，－4，2)，BE＝(2，0，0)．设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，则m令x＝1，则m＝(1，1，3)为平面EFG的一个法向量，所以点B到平面EFG的距离为d＝BE·向量法求点到平面的距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，平面α内两不共线向量，平面α的法向量n)．(4)求距离d＝AP·1．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．217解析：以C为原点，CB，CC1的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A32，12，0，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，所以C1A＝32设平面ABC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有C1A·n＝32x+12y－z＝0，2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离．(1)证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AE＝x，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，所以D1E＝(1，x，－1)，A1D＝(－1，因为D1E·A1D＝0，所以D1E⊥A1D(2)解：因为E为AB的中点，所以E(1，1，0)，从而D1E＝(1，1，－1)，AC＝(－1，2，0)，AD1＝(－1，0设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则n·AC取b＝1，则a＝2，c＝2，所以n＝(2，1，2)为平面ACD1的一个法向量．所以点E到平面ACD1的距离d＝D1直线到平面的距离与平面到平面的距离【例2】如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点．求：(1)直线MN与平面OCD的距离；(2)平面MNR与平面OCD的距离．解：(1)因为OA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，所以AB，AD，AO两两垂直．以A为原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)，R(0，1，0)，所以DC＝(2，0，0)，DO＝(0，－2，2)，MN＝(2，1，－1)，NC＝(0，1，0)．设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DC取y＝1，则x＝0，z＝1，所以n＝(0，1，1)是平面OCD的一个法向量．因为MN·n＝0，所以MN∥平面OCD.所以直线MN与平面OCD的距离为d1＝NC·(2)由(1)知MN∥平面OCD.因为NR＝(－2，0，0)，所以NR·n＝0，所以NR∥平面OCD.因为MN∩NR＝N，MN⊂平面MNR，NR⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD，则平面MNR与平面OCD的距离为d2＝NC·平面的平行线到平面的距离以及两平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离．1．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为()A．2 B．2C．22 D．A解析：由正方体的性质可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离．连接A1C1，交B1D1于点O1(图略)，A1O1的长即为所求．由题意可得A1O1＝122．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．83解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，所以EF＝(2，2，0)，MN＝(2，2，0)，AM＝(－2，0，4)，BF＝(－2，0，4)，所以EF＝MN，BF＝AM，所以EF∥因为EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD.所以平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则n·MN取z＝1，则x＝2，y＝－2，所以n＝(2，－2，1)是平面AMN的一个法向量．因为AB＝(0，4，0)，所以平面AMN与平面EFBD的距离d＝n·课时质量评价(三十八)1．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A.36 B．3C．233 DB解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A所以DA1＝(1，0，－1)，DC1＝(0，1，－1)，AD＝(－1，0设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，则m·DA取x＝1，则y＝1，z＝1，所以m＝(1，1，1)为平面A1C1D的一个法向量．显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝AD·2．(数学与文化)(2024·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为()A．23 B．C．62 D．B解析：如图，连接BD，取BD的中点E，连接PE.因为ABCD为长方形，AB＝AD＝2，所以BD＝22.因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以PB＝PA2+AB2＝5，PD＝PA2+AD2＝5.所以PE⊥BD，PE＝PB2－BE2＝3.设点A到平面PBD的距离为h，则三棱锥P­3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为()A．102 B．C．2 D．3B解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，所以FD1＝(－1，－1，2)，FG＝(－1，1，1)所以点D1到直线GF的距离d＝FD1又FG＝3，所以S△4．(多选题)在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是()A．2 B．3C．2 D．5CD解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．设P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以AP＝(－3，t，0)，AD1＝(－3，0，3)，AB＝(0，3，0)设平面AD1P的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AP取y＝3，则x＝t，z＝t，所以n＝(t，3，t)为平面AD1P的一个法向量．所以点B到平面AD1P的距离为d＝n·因为0＜t＜3，所以点B到平面AD1P的距离的取值范围是3，5．已知两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则这两个平面间的距离是________．22解析：因为两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，所以这两个平面间的距离d＝n6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE之间的距离为________．22121解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，C10,2，2，E0，2，1，所以AE＝设BC1与AE的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则n·AE取z＝1，则x＝2，y＝12，所以n＝2，12，1为又因为AB＝(0，2，0)，所以异面直线BC1与AE之间的距离为d＝AB·7．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．解：(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(1，12，所以AB＝(0，1，0)，AC1＝(－1，1，－1)，FC＝取a＝AB＝(0，1，0)，u＝AC1则点B到直线AC1的距离为a2(2)因为FC＝所以FC∥EC1，而FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AE取z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1)为平面AEC1的一个法向量．又因为AF＝所以点F到平面AEC1的距离为AF·nn＝66，即直线FC8．如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不含端点)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得截面的面积为y.若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是()C解析：如图1，过点M作MN⊥AB，交AB于点N，则MN⊥平面ABCD，过点N作NQ∥AD，交CD于点Q，过点Q作QH∥PD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面α.图1因为MN⊥平面ABCD，平面MNQH∥平面PAD，所以平面MNQH与平面PAD之间的距离x＝AN，MNQH为直角梯形，所以y＝S梯形MNQH.由题意得2－x2＝MN4，解得MN由HQ∥PD得CQCD＝QHPD，即2－x2＝QH2图2如图，过点H作HE⊥NQ，则HE＝MN.在Rt△HEQ中，EQ＝HQ2－HE2＝所以NE＝2－(2－x)＝x，所以MH＝x.所以y＝f(x)＝x+24－2x2＝－所以函数y＝f(x)的图象如图2所示．故选C．9．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝π3，PD⊥底面ABCD.若点D到平面PAC的距离为2，则PD＝(A．22 B．2C．1 D．2D解析：设E为BC的中点，连接DE，因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝π3，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA以D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PD＝a(a＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，a)，A(4，0，0)，C－2所以PA＝(4，0，－a)，AC＝－6，23，0设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PA＝0，n·AC＝0，所以4x－az＝所以n＝a，3a，设点D到平面PAC的距离为d，所以d＝DA·nn＝4a4a10．(多选题)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，平面α过B，C1，E三点，下列说法正确的是()A．CD与平面α平行B．平面A1B1CD与平面α垂直C．平面α截正方体所得截面的面积为9D．正方体的顶点到平面α距离的最大值为3BC解析：因为平面α过B，C1，E三点，所以AB与平面α相交．因为CD∥AB，所以CD与平面α不可能平行，故A错误．因为在正方体中，CD⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.又因为B1C⊥BC1，B1C∩CD＝C，B1C，CD⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD.因为BC1⊂平面α，故平面A1B1CD与平面α垂直，故B正确．如图，平面α截正方体所得截面为等腰梯形EFC1B，其中F是A1D1的中点，EF＝2，BC1＝22，计算得梯形EFC1B的高为322，所以梯形EFC1以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)，所以BE＝(0，－2，1)，BC1＝(－2，0，2)，DB＝(2，2，0)设平面BEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·BE取y＝1，则x＝2，z