青岛版八年级数学下册 （勾股定理的逆定理）课件教学

17.2勾股定理的逆定理

温故知新勾股定理应用

如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．勾股定理

在直角三角形中，由已知边的长求未知边的长推进新课知识点1互逆命题

据说，古埃及人曾用结绳的方法画直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。345三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).①2.5，6，6.5；

②5，12，13；

探究它们是什么三角形？勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆命题

我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

小结知识点2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理正确吗？

如何证明呢？思考A'

B'

C'

A

B

C

abca已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形A

B

C

abcA'

B'

C'

a证明:画一个△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∵∠C'=90°，∴A'B'2=a2+b2=c2，∴A'B'=c.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠C=∠C'=90°.BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.在△ABC和△A'B'C'中勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形且边C所对的角为直角.a2+b2=c2互逆命题逆定理定理定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.

小结直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理：直角三角形判定直角三角形的依据之一识别对错在△ABC中，a=9，b,=15，c=12，试判断△ABC是否为直角三角形.解：∵a2+b2=92+152=306,c2=122=144

∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形.注意：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。例1判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.例题解析(3)a=1b=2c=解：(1)

∵152+82=225+64=289，

172=289，∴152+82=172.∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形．（1）a=15，b=8，c=17

像15,8,17,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.解：(2)

∵132+142=169+196=365，

152=225，∴132+142≠152.∴这个三角形不是直角三角形．（2）a=13，b=14，c=15.13ABCDABCD34512例2一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？例题解析随堂演练1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形，如果是，指出直角。（1）a=7,b=24,c=25;（2）a=,b=4,c=5;（3）a=,b=1,c=;（4）a=40,b=50,c=60.2．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c下列判断错误的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形.B.如果a2+c2=b2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果(c-a)(c+a)=b2，则△ABC是直角三角形.D.∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形.2.如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解：这三条线段组成的三角形是直角三角形.因为由a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.随堂演练BA、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形3.随堂演练4.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（1）内错角相等，两直线平行；成立（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等；不成立随堂演练说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.（3）对应角相等的两个三角形全等；不成立（4）角平分线上的点到角两边的距离相等；成立随堂演练课堂小结1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题3、什么称为互为逆定理。解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.5.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足

，试判断△ABC的形状.当a=b时，△ABC为等腰三角形;当a≠b时，△ABC为直角三角形.思维训练思维训练6.7.如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判定△ABC的形状.思维训练知识点3用勾股定理的逆定理解决实际问题例3如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：1.求“海天”号的航向就是求

的角度.∠22.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的角度即可.3.根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角.解：根据题意，PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°.∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.1.小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后是向哪个方向走的？解:小明的行走路线恰好构成三角形.因为602+802=3600+6400=10000=1002，所以这个三角形是直角三角形，因为小明向东走80m，因此小明又向北或南走60m.2.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC.综合应用因为BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，所以BD2+AD2=AB2，所以△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.因此△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以AC=13.解：在△ABD中，BD=BC=5，AD=12，AB=13，3.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD.求证∠AEF=90°.4.如图所示，在四边形ABCD中，AB=3,BC=5，CD=，AD=2,AC⊥AB.求：S四边形ABCD图1函数的图象

1．能从函数图象分析变量之间的关系，加深对图象的理解。2．能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示。3．进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。请根据下图，与同学讨论某地某天气温的变化情况。（1）上午9时的温度是多少？12时呢？（2）这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？（3）这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？222324252627282930313233343536373803691215182124时间/时温度/摄氏度27℃，33℃最高温度37℃，是15时达到的，最低温度23℃。温差是14℃，经过了12小时。前图表示了温度随时间的变化而变化的情况，它是温度与时间之间关系的图象。像这样用图象表示变量之间函数关系的方法叫做图象法。

图象法是我们表示函数关系的一种方法，它的特点是用图象直观、形象地刻画变量之间的函数关系和变化趋势。例1：一台家用淋浴器在使用前，水箱中的贮水量为0L。使用时先向水箱中注水，注满后关闭水源并通电加热，加热完毕切断电源，开始淋浴，水匀速放出，直至将水箱中的水用完。在这一过程中，淋浴器中水箱的贮水量V（L）与时间t（min）的函数图象如图所示。根据图象回答下列问题：（1）注水、加热和淋浴分别用了多少时间？（2）水箱的最大贮水量是多少升？（3）当淋浴开始15min，水箱中还有水多少升？解：在上图中，坐标系的横轴表示使用时间t，纵轴表示水箱贮水量V。从图中可以看出，V与t的函数图像是折线OABC，其中，A、B是图象上的两个分段点，线段OA，AB和BC分别表示淋浴器注水、加热和均匀放水阶段水箱的贮水量L与时间t的函数关系。甲、乙两个工程队参加同一项水利建设。下图是在直角坐标系中画出的甲、乙两工程队施工的土方量V（m3）与施工时间t（天）的函数图象。请根据图象回答下列问题：（1）乙工程队比甲工程队晚开工几天？早完工几天？（2）甲工程队在施工中间休息了几天？（3）甲工程队在那一段时间内施工进度最快？（4）从图象中你还能得到哪些信息？t/天V/m3甲乙O1234567810020030040050060070080090010001.下图中表示y是x的函数图象的是（）

A．39.0℃

B．38.2℃

C．38.5℃ D．37.8℃2.如下图是护士统计一位病人的体温变化图，这位病人中午12时的体温约为（

）CB3．如下图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是