八年级上册《三角形的内角和》课件与练习

第十一章

三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第1课时

三角形的内角和1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.会运用三角形内角和定理进行计算.

学习重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.学习难点：会运用三角形内角和定理进行计算.

一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.我的形状最大，那我的内角和最大.我的形状最小，那我的内角和最小.

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?知识点三角形的内角和学生活动

【一起探究】【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？剪拼ABC21测量480720600600＋480＋720＝1800锐角三角形三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.还有其他的拼接方法吗？观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.同学们还有其他的方法吗？【思考】

多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.12CBAED12CBAEDFC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.试一试

为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结

为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线利用三角形的内角和定理求角的度数素养考点1例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，

AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCDABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．变式题解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)

＝130°.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(

)A．30°

B．40°

C．50°

D．60°D如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(

)A．45°B．54°C．40°D．50°C例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.

直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．40°l1l2基本图形由三角形的内角和定理易得

∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.34归纳总结例3在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.素养考点2方程的思想与三角形内角和定理的综合应用解:设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x＋

15)，从而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，

33°，48°.方法点拨：三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.北.AD北.CB.东E如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.北.AD北.CB.东E解：由题意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°

=90°.答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.聪明的你，还有方法吗？1.填空。

（1）在△ABC中，∠A=90°，∠B=65°，则∠C=_____.

（2）在△ABC中，∠C=42°，∠A=∠B，则∠B=_____.

（3）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则∠A=_____.

（4）在△ABC中，∠C=30°，∠A：∠B=1：2，

则∠B=

_____.

25°69°60°100°1.填空。（5）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是

_________三角形.

（6）在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,

则∠A=

，∠B=

，∠C=

.直角60°50°70°2.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．3.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．

【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A

之间的数量关系吗？三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180°

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于

⁠.180°

课后作业

1.

在△

ABC

中，若3∠

A

＝2∠

B

＝∠

C

，则此三角形是(

B

)A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

钝角三角形D.

等腰三角形B2.

如图，小明将一张三角形纸片(△

ABC

)沿着

DE

折叠(点

D

，

E

分别在

边

AB

，

AC

上)，并使点

A

与点A'重合.若∠

A

＝70°，则∠1＋∠2的度

数为(

A

)A.

140°B.

160°C.

100°D.

80°A3.

在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这两

个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如：在△

ABC

中，∠

A

＝70°，∠

B

＝35°，则∠

A

与∠

B

互为“开心角”，△

ABC

为“开心三角形”.(1)若△

ABC

为开心三角形，∠

A

＝132°，则这个三角形中最小的内角

的度数为

⁠；(2)若△

ABC

为开心三角形，∠

A

＝60°，则这个三角形中最小的内角

的度数为

⁠.16°

30°或40°

4.

如图，在△

ABC

中，

BO

，

CO

分别是∠

ABC

，∠

ACB

的平分线.(1)若∠

A

＝50°，则∠

BOC

＝

°；115

(2)若∠

A

＝α，用含α的式子表示∠

BOC

.

第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角《第1课时三角形的内角和》同步练习

三角形的内角和定理1.

【教材第16页习题11.2第1题改编】根据图中的数据，可得

x

＋

y

的

值为(

B

)A.

180B.

110C.

100D.

70第1题图【解析】由题图可知，

x

＋

y

＝180－70＝110.B2.

如图，∠

ABC

＝50°，点

D

，

E

分别在射线

BA

，

BC

上，将三角形

BED

沿着

DE

折叠，若点

B

恰好落在射线

DA

的

B'处，则∠BEB'的度数是(

B

)A.

50°B.

80°C.

100°D.

130°第2题图B【解析】∵将三角形

BED

沿着

DE

折叠，点

B

恰好落在射线

DA

的

B'处，∴∠

B

＝∠BB'E＝50°.∴∠BEB'＝180°－∠

B

－∠BB'E＝180°－50°－50°＝80°.第2题图3.

锐角三角形中任意两个锐角的和必大于(

D

)A.

120°B.

110°C.

100°D.

90°D

方向角4.

【教材第12页例2改编】如图，

C

处在

B

处的北偏西40°方向，

C

处

在

A

处的北偏西75°方向，则∠

ACB

的度数为(

A

)A.

35°B.

38°C.

40°D.

45°A【解析】如图，由题意得∠

CAD

＝75°，∠

CBE

＝40°，

AD

∥

BE

，∴∠

EBA

＋∠

BAD

＝180°.∴∠

EBA

＋∠

BAC

＝180°－∠

DAC

＝105°.∴∠

ACB

＝180°－(∠

CBE

＋∠

EBA

＋∠

BAC

)＝35°.

5.

如图，将△

ABC

折叠，使边

AC

落在边

AB

上，展开后得到折痕

l

，若∠

B

＝50°，∠

C

＝70°，则∠1＝(

D

)A.

50°B.

60°C.

70°D.

80°D【解析】设折痕

l

与

BC

边交于点

D

，如图所示.∵∠

B

＝50°，∠

C

＝70°，∴∠

BAC

＝180°－(∠

B

＋∠

C

)＝180°－(50°＋70°)＝60°.

∴∠1＝180°－(∠

C

＋∠

CAD

)＝180°－(70°＋30°)＝80°.6.

如图，将△

ABC

沿

DE

，

HG

，

EF

翻折，三个顶点均落在点

O

处，若∠1＝131°，求∠2的度数.解：由折叠的性质，得∠

B

＝∠

HOG

，∠

A

＝∠

DOE

，∠

C

＝∠

EO