补上一课 概率与其他知识的交汇

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布补上一课概率与其他知识的交汇以能力立意是数学命题的指导思想，在知识网络交汇处设计试题是今后高考的新特点和大方向，与概率交汇的试题正是在这种背景下“闪亮登场”，频频出现在各类考试题中，下面介绍几种常见的概率与其他知识的交汇题型.题型分析内容索引分层精练巩固提升题型一概率与统计角度1统计图与概率例1

(12分)为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“5＋2”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在[180，200)的人数为X，求X的分布列与数学期望.[思路分析]

(1)先根据频率分布直方图求出课后服务时长超过200min的调查表份数，再设出相关事件并求概率，最后根据条件概率的概率计算公式求解即可；(2)先根据题意及分层随机抽样的知识求出X的所有可能取值，然后求解相应的概率，列出分布列，求得数学期望.[规范解答]

解(1)依题意，课后服务时长超过200min的调查表共有100×(0.0075＋0.0025)×20＝20(份)①，(1分)设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min，(2)根据题意及分层随机抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在[180，200)内的有6人，则X的所有可能取值为0，1，2，3④，(7分)所以X的分布列为[满分规则]❶得步骤分：①②⑤每列一个式子并计算正确可得1分；❷得关键分：③是条件概率公式得2分，④随机变量取值不要多写也不能漏写；❸得计算分：⑥正确计算期望可得2分.训练1

2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》(简称“双减”政策).某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；解由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.解由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为角度2回归分析与概率例2

(2023·石家庄模拟)设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y(cm)，测得的一些数据如下表所示：第x度y(cm)0479111213(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对a，b作出估计，并求出y关于x的经验回归方程；所以随机变量ξ的分布列为角度3独立性检验与概率线上销售时间销售额合计不少于30万元不足30万元不少于8小时17

20不足8小时

合计

45(1)请完成上面的2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；解线上销售时间销售额合计不少于30万元不足30万元不少于8小时17320不足8小时101525合计271845零假设为H0：赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间无关.∴依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.(2)①按销售额进行分层随机抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，抽取2家企业，设抽取每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.附：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828②在①条件下，X的可能取值为0，1，2，∴X的分布列为高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，由频率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.感悟提升训练2

(2023·沈阳模拟)在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值，并估计这80名候选者面试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和中位数(中位数精确到0.1)；解由题意知20b＝10a＋0.45，(2a＋b＋0.065)×10＝1，解得a＝0.005，b＝0.025，所以平均值为50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5，(2)已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的有10人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的有20人，补全下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？参加志愿者服务性别合计男生女生希望去张家口赛区1020

不希望去张家口赛区

合计4040

解补全2×2列联表：参加志愿者服务性别合计男生女生希望去张家口赛区102030不希望去张家口赛区302050合计404080所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

解X的所有可能取值为2，3，4，所以X的分布列为题型二概率与函数、导数例4

(2023·福建四市检测)某次围棋比赛的决赛，由甲、乙两人争夺最后的冠军.决赛先进行两天，每天实行三盘两胜制，即先赢两盘者获得该天胜利，此时该天比赛结束.若甲、乙中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天双方各赢一天，则第三天只进行一盘附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每盘比赛甲获胜的概率为p(0＜p＜1)，每盘比赛的结果没有平局且结果互相独立.(1)记第一天需要进行的比赛盘数为X.①求E(X)，并求当E(X)取最大值时p的值；

解X可能的取值为2，3，P(X＝2)＝p2＋(1－p)2＝2p2－2p＋1，P(X＝3)＝2p(1－p)＝－2p2＋2p.故E(X)＝2(2p2－2p＋1)＋3(－2p2＋2p)＝－2p2＋2p＋2.②结合实际，谈谈①中结论的意义.在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式、数列的有关性质去实现.感悟提升训练3

(2023·八省八校联考)冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件,为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者)的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位(元/件)90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x(单位：元/件)，90＜x≤120，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.(1)若x＝100，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望E(X).X的分布列为：

(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位：元)，当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望E(Y)达到最大值？M＞0，因此E(Y)＝21M最大，此时x＝110.所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望E(Y)达到最大值21M.题型三概率与数列例5

(2023·郑州模拟)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步. (1)若甲、乙二人同时参与游戏,每人各掷硬币2次， ①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；解设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，

②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值.解由①知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，随机变量X的分布列为

(2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为pn，求pn的最大值.

高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.感悟提升训练4

(2023·南京模拟)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0＜p＜1).现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a＞0)元.(1)①写出X的分布列；解当1≤X≤9时，P(X＝i)＝(1－p)i－1p，i＝1，2，…，9.当X＝10时，P(X＝10)＝(1－p)9p＋(1－p)10＝(1－p)9.

S＝1＋2(1－p)＋3(1－p)2＋…＋8(1－p)7＋9(1－p)8，(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋7(1－p)7＋8(1－p)8＋9(1－p)9，

因为0＜p＜1，所以0＜1－(1－p)10＜1，

(2)某公司意向投资该产品.若p＝0.25，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.解当p＝0.25时，由(1)得E(X)＜4，则aE(X)＜4a＜5a，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以投资该产品.比赛闯关与取球问题微点突破在“更高更快更强”的体育精神感召下，或为了增加竞赛的悬念，或增加比赛的精彩程度，或维护比赛的公平，概率在体育竞赛赛制中有着重要的应用和体现.一、比赛赛制问题例1

甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

解

法一若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.类似地，若采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，法二若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).若采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).因为p2＞p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.二、取球问题例2

一袋中有6个黑球，4个白球.(1)不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；解设事件A为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”，(2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；解设事件B为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”，(3)有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X的分布列、期望与方差.∴X的分布列为训练

(2023·深圳模拟)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束.每位参与者只能参加一次游戏.(1)求随机变量X的分布列及数学期望；解由题意得，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，则随机变量X的分布列为X123P0.30.60.1所以E(X)＝1×0.3＋2×0.6＋3×0.1＝1.8.(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率.解由(1)可知，甲每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1.记甲第i轮的得分为Xi(i＝1，2，3，…)，则其前n轮的累计得分Y＝X1＋X2＋…＋Xn.若甲取球1次后可领取纪念品，即甲得2分，则P(Y＝2)＝0.6；若甲取球2次后可领取纪念品，即甲获得的分数之和为4分，有“1＋3”“3＋1”的情形，则P(Y＝4)＝2×0.3×0.1＝0.06；若甲取球3次后可领取纪念品，即甲获得的分数之和为6分，有“1＋2＋3”“3＋2＋1”的情形，则P(Y＝6)＝2×0.3×0.6×0.1＝0.036.记“甲能够领取纪念品”为事件A，则P(A)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＝0.6＋0.06＋0.036＝0.696.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.【A级

基础巩固】(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；解由题意，40×(0.0005＋0.002×2＋2a＋0.006＋0.0065)＝1，解得a＝0.004.由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×(0.0005＋0.002＋0.004＋0.006＋0.0065)＝0.76.观看时长在240分钟以下占比为0.76＋40×0.004＝0.92.(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人.若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240)的人数为X，求X的分布列和数学期望.解由题意，观看时长[200，240)、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.于是抽取的3人中观看时长在[200，240)中的人数X的所有可能取值为1，2，3.X的分布列为解若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计得分为ξ，则ξ的可能取值为40，35，10，5.若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计得分为η，则η的可能取值为30，15，10.因为E(ξ)＞E(η)，所以应选择方案①.解依题意得，X1，X2，X3的分布列为3.(2023·大连模拟)某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比技术升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式.质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品，在抽取的400件产品中，根据检测结果将它们分为“A”“B”“C”三个等级，A，B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：表一等级ABC频数20015050表二技术升级合格率合计合格品次品升级前160

升级后

10

合计

在相关政策扶持下，确保每件该医疗用品的合格品都有对口销售渠道，但按照国家对该医疗用品产品质量的要求，所有的次品必须由厂家自行销毁.(1)请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升级有关？解根据所提供的数据，可得2×2列联表：技术升级合格率合计合格品次品升级前16040200升级后19010200合计35050400所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，有充分的证据推断H0不成立，即认为产品的合格率与技术升级有关.(2)在抽检的所有次品中，按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样抽取10件该医疗用品，然后从这10件中随机抽取5件，记其中属于甲生产线生产的有X件，求X的分布列和均值；解由于所有次品中，甲、乙生产线生产的次品比例为4∶1，故抽取的10件中有8件甲生产线的，2件乙生产线的，从中随机抽取5件中属于甲生产线的数量X的所有可能取值为3，4，5，所以X的分布列为(3)每件该医疗用品的生产成本为20元，A，B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.若甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元，则A等级产品的出厂单价最高为多少元？α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828解甲生产线抽检的产品中有70件A等级，90件B等级，40件C等级；乙生产线抽检的产品中有130件A等级，60件B等级，10件C等级，因为用样本的频率估计概率，所以m≤50.即A等级产品的出厂单价最高为50元.4.(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3). (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1,求E(X)；【B级

能力提升】解E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；证明

设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0.若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p