第3讲函数的表示方法课件

第3讲函数的表示方法江苏省通州高级中学第3讲函数的表示方法江苏省通州高级中学主要内容一、聚焦重点二、廓清疑点函数定义域的确定.

求作函数的图象.三、破解难点利用函数解析式解决实际问题.函数解析式的求法.主要内容一、聚焦重点二、廓清疑点函数定义域的确定.三、破解基础知识函数的三种表示方法:(1)解析法——用等式来表示两个变量之间的函数关系.(2)列表法——用列表来表示两个变量之间的函数关系.(3)图象法——用图象来表示两个变量之间的函数关系.基础知识函数的三种表示方法:(1)解析法——用等式来表示两基础知识函数的三种表示方法的优点:函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值；根据解析式便于研究函数的性质．(1)解析法(2)列表法不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值

．(3)图象法直观形象地反映函数的变化.基础知识函数的三种表示方法的优点:聚焦重点：函数解析式的求法聚焦重点：函数解析式的求法问题研究求函数解析式通常有哪些方法？问题研究求函数解析式通常有哪些方法？典型例题1例1分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：典型例题1例1分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：思路分析思路2

通过整体换元来处理.思路1设法将等式右边配凑为关于的形式.思路分析思路2通过整体换元来处理.思路1设法将等式右求解过程求解过程回顾反思（1）基本策略：配凑、换元.（2）数学思想：整体代换.（3）思维误区：忽视函数的定义域.回顾反思（1）基本策略：配凑、换元.（2）数学思想：整体代换10例1⑵f(x)是一次函数，且f［f(x)］＝9x＋8，求f(x).思路分析分析设出一次函数f(x)的一般形式，代入已知等式，再根据多项式恒等的条件确定有关系数.例1⑵f(x)是一次函数，且f［f(x)］＝9x＋8，思求解过程解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则∴f(x)＝3x＋2，或f(x)＝－3x－4.例1⑵f(x)是一次函数，且f［f(x)］＝9x＋8，求f(x).求解过程解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则∴f(x回顾反思（1）基本策略：待定系数法.（2）适用题型：已知函数类型，确定函数解析式.（3）解题关键：根据多项式恒等条件，建立系数满足的等量关系，联立求解.回顾反思（1）基本策略：待定系数法.13思路分析分析

①已知等式中既含有f(x)又含有f(－x),

能否设法将f(－x)消去？以－x代x！②能否由已知等式得到关于f(x)和f(－x)的又一个关系？例1⑶已知3f(x)＋2

f(－x)＝2x＋5，求f(x).思路分析分析①已知等式中既含有f(x)又含有f(－求解过程解

由已知3f(x)＋2

f(－x)＝2x＋5①

以－x代x，得

3f(－x)＋2

f(x)＝－2x＋5

②

①×3－

②×2，解得

f(x)＝2x＋1.例1⑶已知3f(x)＋2

f(－x)＝2x＋5，求f(x).求解过程解由已知3f(x)＋2f(－x)＝2x回顾反思（1）基本策略：解方程组，实施消元.（2）数学思想：函数与方程思想.（3）思维障碍：无法找到另一个方程，思维受阻.回顾反思（1）基本策略：解方程组，实施消元.16例1⑷已知f(0)＝1，且对任意x，y∈R，有

f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x).思路分析思路1令y=0，得到f(x)＝f(x).此路不通！思路2令x=0，得到f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝y2－y＋1，则f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.方法可行！思路3令y=x，得到f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)则f(x)＝x2＋x＋1.更加简洁！赋值法！例1⑷已知f(0)＝1，且对任意x，y∈R，有回顾反思基本方法：配凑法，换元法，方程法，赋值法，

待定系数法.数学思想：整体换元思想，函数与方程思想.思维盲点：忽视由中间变量的取值范围确定函数的定义域.思维策略：根据问题特点，灵活选择方法.求函数解析式方法小结：回顾反思基本方法：配凑法，换元法，方程法，赋值法，数学思想：18廓清疑点：函数定义域的确定廓清疑点：函数定义域的确定典型例题2典型例题2思路分析方法可行，运算繁琐！思路2等式右边配方，实施整体代换.整体处理，更加快速！思路分析方法可行，运算繁琐！思路2等式右边配方，实施整求解过程思考1解题是否就此结束？定义域！思考2函数定义域是｛x∈R︱x≠0｝，对吗？错！求解过程思考1解题是否就此结束？定义域！思考2函求解过程求解过程回顾反思2.在本例中，求函数的定义域，实质就是确定中间变量的值域，“判别式法”是求函数值域的重要方法之一.3.要准确理解不同表达式中同一字母的不同含义，防止应理解错误而误求定义域.定义域和对应法则是函数的两个本质要素，对应法则相同而定义域不同，函数关系也不同，因此，求函数的解析式，必须确定其定义域.回顾反思2.在本例中，求函数的定义域，实质就是确定中3.廓清疑点：求作函数的图象廓清疑点：求作函数的图象基础知识1.

函数图象是函数关系的直观表示.函数y=f(x)

图象就是点集｛(x，y)︱y=f(x)

，x∈A｝所对应的几何图形.2.

作函数图象通常有以下两种方法:

⑴描点法：列表——描点——连线.⑵变换法：利用已知函数（如：一次函数、二次函数、反比例函数等）的图象，通过平移、对称、伸缩等变换手段，得到所作函数的图象.基础知识1.函数图象是函数关系的直观表示.函数y=f(基础知识3.

有些函数，在定义域的不同部分上，有着不同的解析表达式.有些函数，虽在定义域上具有统一的解析表达式，但函数关系隐晦，为便于理解，常通过分类讨论转化为几个不同的部分来表示.象这样的函数通常叫做分段函数.需要注意的是，分段函数是一个函数，而不是几个函数.基础知识3.有些函数，在定义域的不同部分上，有着不同的解析问题研究如何求作函数的图象？又应注意哪些问题呢？问题研究如何求作函数的图象？又应注意哪些问题呢？典型例题3例3作出下列函数的图象：典型例题3例3作出下列函数的图象：思路分析例3作出下列函数的图象：思路1

通过取一些特殊点，采用描点法.关注定义域！思路2

化为熟悉的函数，再作出图象.化简函数式！思路分析例3作出下列函数的图象：思路O11－1yx求解过程例3画出下列函数的图象：O11－1yx求解过程例3画出下列函数的图象：回顾反思（1）求解步骤：

①确定函数的定义域；

②化简函数的解析式；

③作出函数的图象.（2）思维误区：

①不会化简，无从下手；

②范围有误，图象失真；

③忽视细节，作图粗糙.O11－1yx回顾反思（1）求解步骤：（2）思维误区：O11－1yx32思路分析例3画出下列函数的图象：分析⑴求定义域：去绝对值号！⑵化简函数式：R.分为以下三种情况进行讨论：①x≤－2；②－2＜x≤1；③x＞1.思路分析例3画出下列函数的图象：分析xyO求解过程例3画出下列函数的图象：－23－31xyO求解过程例3画出下列函数的图象：回顾反思（2）思想方法：分类讨论思想.（1）解决策略：通过讨论，化为分段函数.（3）思维瑕点：①在段与段的“接头”处处理粗糙，该连不连，当断不断.②不善于抓住一些特征点，未能使所作图象精细化.

回顾反思（2）思想方法：分类讨论思想.（1）解决策略：通过讨思路分析例3画出下列函数的图象：思路1

通过分类讨论，化为分段函数.思路2

探究函数y=f(x)的图象与函数y=︱f(x)︱的图象关系，利用图象变换法完成作图.结论函数y=f(x)在x轴上方的图象不变，并将其在x轴下方的图象向上翻折，即得所作函数y=︱f(x)︱的图象.思路分析例3画出下列函数的图象：思路解①作函数y=x2－2x－3=(x－1)2－4的图象.②将函数y=(x－1)2－4在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，即得到函数的图象.解题过程xyOx=1－4－3－134例3画出下列函数的图象：解①作函数y=x2－2x－3=(x－1)2－4的图象回顾反思友情提醒：1.要熟练掌握一些常见函数的图象，如一次函数、反比例函数、二次函数等．2.作图前，应首先确定函数的定义域，以保证图象准确定位．在对函数式进行变形过程中,要时刻关注定义域的变化，分清实线与虚线,空心点和实心点．回顾反思友情提醒：38回顾反思友情提醒3.画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一些特征点和特征线，如图象与坐标轴的交点,双曲线的渐近线，抛物线的顶点、对称轴等,以确保所作图象尽可能地准确．4.分段函数的图象，各部分有些“相连”，有些“断裂”，判断方法是：计算分界点处对应函数值是否相等，相等则“连”，不等则“断”．回顾反思友情提醒39变式探究xyO－23－31思路1

化为分段函数，分别求出各分段区间上函数的取值范围，再求并集.思路自然，普遍适用

思路2

作出图象，观察结果.

借助图象，一目了然

变式探究xyO－23－31思路1化为分段函数，分别求出各变式探究xyOx=1－134思路1

分别各种情况逐一讨论.思路2

作出图象，观察结果.

纷繁复杂，过程冗长数形结合，一看到底变式探究xyOx=1－134思路1分别各种情况逐一讨论.回顾反思方法归纳：图象法是研究函数性质的重要手段，如求函数值域等.随着学习的深入，函数图象的作用将更加凸显.2.方程f(x)=a的解的个数，等价于直线y=a与函数f(x)图象的交点个数，充分体现了数形结合的数学思想．回顾反思方法归纳：42破解难点：利用函数解析式解决实际问题破解难点：利用函数解析式解决实际问题例4某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售价x

(元)与日销售量y(件)之间有如下关系：⑴根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；⑵设经营此商品的日销售利润为P元，问：当销售单价为多少元时，可获得最大日销售利润？典型例题4x3034404550y604830150例4某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发步骤1

在直角坐标系中描出数对(x，y)对应点.10xy2030405060605040302010O例4⑴根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；思路分析x3034404550y604830150步骤2猜想y关于x是一次函数模型.步骤3检验猜想.步骤1在直角坐标系中描出数对(x，y)对应点.10思路分析解⑴设y＝ax＋b，将(30,60)，(50,0)代入，得

30a＋b＝60,a＝－3,50a＋b＝0.b＝150.∴y＝－3x＋150(30≤x≤50).例4⑴根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；x3034404550y604830150经检验，其他三点的坐标也满足上述关系.思路分析解⑴设y＝ax＋b，将(30,60)，(50例4⑵设经营此商品的日销售利润为P元，问:当销售单价为多少元时，可获最大日销售利润？典型例题4日销售利润＝分析日销售量×每件商品的利润y＝－3x＋150解∵P＝(－3x＋150)(x

－30)＝－(x

－40)2

＋300(30≤x≤50)，x

－30∴当x＝40时，Pmax＝300.答：当销售单价为40元时，可获最大日销售利润.例4⑵设经营此商品的日销售利润为P元，问:当解决实际问题的一般流程：回顾反思建模过程：函数三种表示法的转化回答实际问