圆锥曲线常见题型及规范标准答案

,.圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几 a,b,c,e,p 何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线谢谢阅读方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形精品文档放心下载面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；精品文档放心下载（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和y轴的两种（或四种）情况；谢谢阅读（3）注意a,2a,a2，b,2b,b2，c,2c,c2，2p,p,p2的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中感谢阅读c2a2b2，双曲线中c2a2b2，离心率eca，准线方程xa2c；例题：（1）已知定点F(3,0),F(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）1210A．PFPF4B．PFPF6C．PFPFD．PF2PF212（答：C）；12121212（2）方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（3）已知点Q(22,0)及抛物线x2y4上一动点P（,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）x（4）已知方程x2y2（答：(3,1)U(1,2)）；3k1表示椭圆，则k的取值范围为____222k（5）双曲线的离心率等于5，且与椭圆x2y21有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：x2y21）；2944（6）设中心在坐标原点O，焦点F、F在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点P(4,10)，则C的方程为_______（答：x2y26）12二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离感谢阅读有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定谢谢阅读义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定感谢阅读理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由精品文档放心下载向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；感谢阅读,.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以

x2a2

y2b2

1（ab0）为例）：①范围：ax

a,

b

yb；

②焦点：两个焦点(

c,0)

；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），四个顶点(a,0),(0,b)，其中长轴长为精品文档放心下载2a，短轴长为2b； ④准线：两条准线xac2；精品文档放心下载⑤离心率：ec，椭圆0e1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。a例：（1）若椭圆x2y2的离心率e1025）；5m15，则m的值是__（答：3或3（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：精品文档放心下载2 2）（2）双曲线（以x2y21（a0,b0）为例）：谢谢阅读a2 b2①范围：xa或xa,yR；②焦点：两个焦点(c,0)；感谢阅读③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），两个顶点(a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2y2k,k0；④准线：两条准线xac2；⑤两条渐近线：ybax。精品文档放心下载⑥离心率：ec，双曲线e1，等轴双曲线e2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；a例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为______1（4）双曲线ax2by21的离心率为5，则a:b=（答：4或4）；（5）设双曲线x2y21（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是a2b2________（答：[,]）；32（3）抛物线（以y22px(p0)为例）：①范围：x0,yR；②焦点：一个焦点(p,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；2③对称性：一条对称轴y0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线xp；⑤离心率：ec，抛物线e1。2a（4）点P(x,y)和椭圆x2y2（ab0）的关系：（1）点P(x,y)在椭圆外x2y21；0000a2b200a2b22）点P(x,y)在椭圆上x2y2在椭圆内x2y200＝1；（3）点P(x,y)00100a2b200a2b2例：（6）x2y21设a0,aR，则抛物线y4ax2的焦点坐标为________（答：(0,1)）；251616a,.（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：35）；谢谢阅读3（8）已知抛物线方程为y28x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；谢谢阅读（9）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,4)）；感谢阅读（10）点P在椭圆x2y21上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为259精品文档放心下载_______（答：25）；12三、直线与圆锥曲线的关系题（1）写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为ykxb的形式，但随后应对斜率k不存精品文档放心下载在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；感谢阅读（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x或消去y，得到方程ax2bxc0 ①或精品文档放心下载ay2byc0 ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。感谢阅读（3）当方程①或②的二次项系数a0时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况谢谢阅读是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；感谢阅读（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，精品文档放心下载过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）精品文档放心下载（4）当方程①或②的二次项系数a0时，判别式△0、△0、△0，与之相对应的是，直线与圆精品文档放心下载锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△0来求斜率k的范围；谢谢阅读例题：（1）过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；精品文档放心下载,.（2）过点(0,2)与双曲线x2y21有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：916445,）；33（3）直线y―kx―1=0与椭圆x2y21恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，谢谢阅读5 m+∞））；（4）过双曲线x2y21的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____精品文档放心下载1 2条（答：3）；（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提a0，△0），记为AB，其中A(x,y)，B(x,y)，AB的精品文档放心下载1 1 2 2坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出x,x，再代入直线方程求y,y，或由方程②求出1212y,y，再代入直线方程求x,x。1212（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程ax2bxc0①求出xx,xx，1212A(x,y)，B(x,y)在直线ykxb上，∴ykxb，ykxb，11221122yyk(xx),∴AB(xx)2(yy)2(1k2)(xx)21212121212(1k2)[(xx)24xx](1k2)。1212a请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x，得到ay2byc0②，继而用韦达定理，求出yy,yy，1,∴AB(xx)2(y1)(yy)21212xxk(yy)y)2(112121212k212；(112)[(yy)24yy](11)k1212k2a（6）若抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB，A(x,y),B(x,y)，则①|AB|xxp；②112212xxp2,yyp241212（7）若OA、OB是过抛物线y22px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定感谢阅读(2p,0)（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程ax2bxc0①求出xx，设弦A(x,y)B(x,y)121122的中点为M(x,y)，则xxx，M点也在直线ykxb上，∴ykxb。12000200,.如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标(x,y)，(x,y)直接感谢阅读1122代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有(xx)、(xx)、(yy)、(yy)，12121212这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关。（点差法）（8）弦AB满足有关的向量的条件，如OAOB0（O为原点），则xxyy0，ykxb，121211ykxb，∴(kx)()(1k2)xx()20.2212121212又如过椭圆x22y22的右焦点F的直线l与该椭圆交于M,N两点，且FMFM2263，求直112线l的方程。特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！感谢阅读例：（1）抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______感谢阅读（答：2）；（2）如果椭圆x2y23691弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：x2y80）；（3）已知直线y=－x+1与椭圆x2y21(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：精品文档放心下载a2 b2x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： 2）；谢谢阅读2（1）双曲线x2y2的渐近线方程为x2y2；10a2b2a2b2（2）以ybx为渐近线（即与双曲线x2y21共渐近线）的双曲线方程为x2y2(为参aa2b2a2b2数，≠0）。如（4）与双曲线x2y21有共同的渐近线，且过点(3,23)的双曲线方程为_______（答：9164x2y291）4（5）．经过双曲线x2y21的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，3（1）求|AB|（2）求三角形FAB的周长，（F是左焦点）11,.（6）．已知抛物线y2x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点感谢阅读（1）求证：OAOB（2）当S10，求k的值。OAB（7）已知动直线yk(x1)与椭圆C:x2y21相交于A、B两点,已知点553uuuruuurM(7,0)，求证：MAMB为定值.3解:将yk(x1)代入x2y21中得(13k2)x26k2x3k25055336k44(3k21)(3k25)48k2200，xx6k2，xx3k253k21123k2112uuuruuur77,y)(x7)(x7)yy所以MAMB(x,y)(x131232132312(x7)(x7)k2(x1)(x1)132312(1k2)xx(7k2)(xx)49k2123129(1k2)3k257k2)(6k249()k23k2133k2193k416k2549k24。谢谢阅读3k2199（8）过椭圆x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。感谢阅读16 4四、关于圆锥曲线的最值（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标M(x,y)，用两点间的距离公式表感谢阅读0 0示距离d，利用点M的坐标(x,y)满足圆锥曲线方程，消去y（或消去x），把d2表示成x（或y）谢谢阅读0 0 0 0 0 0,.的二次函数，因为x（或y）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二谢谢阅读0 0次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。谢谢阅读（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所精品文档放心下载求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。例：（1）椭圆x^2/3+y^2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离；感谢阅读五、求动点的轨迹方程（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；感谢阅读注意：不重合的两条直线:AxByC0与:AxByC0，的法向量为：n(A,B)，111122221111方向向量为e(B,A)(1,k)，AABB01111121212∥ABBA且ACCA；1212121212（2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0；精品文档放心下载(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：谢谢阅读y212(x4)(3x4)或y24x(0x3)）；谢谢阅读②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。谢谢阅读（2）线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x感谢阅读轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：y22x）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方谢谢阅读程；(3)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹感谢阅读方程为 （答：x2y24）；（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x50的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：感谢阅读y216x）；一动圆与两圆⊙M：x2y21和⊙N：x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；感谢阅读,.④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x,y)的变化而变化，并且Q(x,y)又在某已知曲精品文档放心下载0 0 0 0线上，则可先用x,y的代数式表示x,y，再将x,y代入已知曲线得要求的轨迹方程；谢谢阅读0 0 0 0(6)动点P是抛物线y2x21上任一点，定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：y6x213）；谢谢阅读（7）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP||MN|，求点P的轨迹。（答：x2y2a|y|）；精品文档放心下载（8）若点P(x,y)在圆x2y21上运动，则点Q(xy,xy)的轨迹方程是____（答：111111y22x1(|x|1)）；2（9）过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________感谢阅读（答：x22y2）；（14全国卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：x2y23，F是椭圆的焦1(ab0)的离心率为2a2b2点，直线AF的斜率为23，O为坐标原点.精品文档放心下载3（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设F(c,0)，由条件知，223，得c3，c3又c3，所以a2,b2a2c21a2故E的方程为x2y21………………5分4（Ⅱ）当lx轴时不合题意，故设l:ykx2，P(x,y),Q(x,y)，将ykx2代入x2y21得11224(14k2)x216kx120精品文档放心下载,.当16(4k23)0，即k23时，x8k24k2344k211,2从而|PQ|k21|xx|4k214k234k2112又点O到直线PQ的距离d2，所以OPQ的面积k21S1d|PQ|44k23……9分4k21OPQ2设4k23t，则t0，S4t4OPQt244tt因为t44，当且仅当t2，即k7时等号成立，且满足0t2所以当OPQ的面积最大时，l的方程为y7x2或y7x2……………12分22答案一：1.C

2.双曲线的左支3∵y=x^2/4 即x^2=4y∴焦点F为（0,1）准线：y=-1精品文档放心下载过点P作PM⊥y=-1于M∴│PM│=│PF│精品文档放心下载∴y+|PQ|=│PM│+|PQ|-1=│PF│+|PQ|-1精品文档放心下载∵当F,P,Q三点共线时│PF│+|PQ|最小（│PF│+|PQ|）min=√[（2√2）^2+1]=3∴（y+|PQ|）min=（│PF│+|PQ|-1）min=3-1=2精品文档放心下载,.4.(3,1)U(1,2)）；5.x2y21；6.x2y26224二：1.3或2532.设焦点在x轴上,则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为2c,面积最大时,底边上的高最大,即该动点必须位于椭圆与y轴的交点上,即此时高为b,即2c*b/2=1,bc=1,c=1/b精品文档放心下载而c^2=a^2-b^2=(1/b)^2即a^2=b^2+(1/b)^2≥2a≥√2长轴2a≥2√2精品文档放心下载3.（1）焦点在x轴上,渐近线y=±(b/a)x∴b/a=3/4∴b=3t,a=4t∴c=5t∴e=c/a=5/4谢谢阅读（2）焦点在y轴上,渐近线y=±(a/b)x∴a/b=3/4∴a=3t,b=4t∴c=5t∴e=c/a=5/3谢谢阅读14或4e=c/a∈[√2,2],∴cos[(π-θ)/2]=a/c∈[1/2,1/√2], ∴(π-θ)/2∈[π/4,π/3],谢谢阅读∴π-θ∈[π/2,2π/3], ∴θ的取值范围是[π/3,π/2].精品文档放心下载6.(0,1)7.358.79.（7,(2,4)）10.2516a312445三：1、22.,33显然该抛物线焦点是（2,0）这个点在x=5上.解方程组x=5,y²=8x,谢谢阅读x=5,y=2√10.∴该点坐标为（5,2√10）.谢谢阅读用公式算得该点至抛物线距离为7.2.设直线为y=kx+a,∵过（0,2）点,∴可得a=2谢谢阅读y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点谢谢阅读也就是方程组x2/9-y2/16=1；y=kx+2}只有一组解感谢阅读,.y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到：精品文档放心下载(16-9k2)x2-18kx-180=0就此讨论：16-9k2=0时,方程只有一组解,也就是k=±(4/3)时,方程只有一组解谢谢阅读16-9k2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值精品文档放心下载3：∵椭圆 ，∴ 且 ，直线 恒过定点 ，欲使其与椭圆 恒感谢阅读有公共点，只需让 落在椭圆内或者椭圆上，即： ，∴ ，选C.谢谢阅读4.X^2-Y^2/2=1c²=1+2=3F(√3,0)过F且垂直x轴的直线是x=√3代入则y²=4y=±2所以此时AB=2-(-2)=4所以这里有一条且AB都在右支时其他的直线则AB都大于4所以AB都在右支只有1条直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时,顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是2<4所以也有两条,关于x轴对称所以共有3条1.22.x2y803.24.4x2y229415,.6、（1）将y=k(x+1)代入y^2=-x, 设A（X1,y1）,B(X2,y2)感谢阅读易得X1+X2=-(2k^2+1)/k^2,X1*X2=1谢谢阅读y1*y2=k^2(X1+1)(X2+1)=-10A斜率K1为y1/X1,0B斜率K2为y2/X2,精品文档放心下载所以K1*K2=-1得证（2）1/2(根x1^2+y1^2*根下x2^2+yx^2)=根10 （x1^2+y1^2）*（x2^2+yx^2）=40感谢阅读x1^2x2^2+(x1^2+y2^2+x2^2y1^2)=402-(x1^2x2+x2^2x1)=40x1x2(x1+x2)=-38(2k^2+1)/-k^2=-38k^2=1/36k=-1/67、7、解:将yk(x1)代入x2y21中得(13k2)x26k2x3k250553,.36k44(3k21)(3k25)48k2200，感谢阅读xx6k2，xx3k25123k21123k21uuuruuur77,y)(x7)(x7)yy所以MAMB(x,y)(x131232132312(x7)(x7)k2(x1)(x1)132312(1k2)xx(7k2)(xx)49k2123129(1k2)3k257k2)(6k249(3k21)k23k21393k416k2549k24。精品文档放心下载3k21998.设直线与椭圆的交点为A(x,y)、B(x,y)精品文档放心下载1122M(2,1)为AB的中点xx4yy21212又A、B两点在椭