抛物线及其标准方程22654

喷泉抛物线及其标准方程22654拱桥抛物线及其标准方程22654

与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的点的轨迹（直线l不经过点F）,当0＜e＜1时，点的轨迹是；当e＞1时，点的轨迹是；我们把这个定义叫做椭圆和双曲线的第二定义。那么当e=1时，点的轨迹又是什么呢？椭圆双曲线复习提问：

抛物线及其标准方程22654

┑┑l┑F┑抛物线抛物线的焦点抛物线的准线一、抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l

的距离相等的点的轨迹

叫做抛物线（不经过点F）M抛物线及其标准方程226541.建:建立直角坐标系.3.列:根据条件列出等式;4.代:代入坐标与数据;5.化:化简方程.2.设:设点(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：6.（证）:检验抛物线及其标准方程22654

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。（定点F不在定直线l上）

点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。（一）抛物线的定义lFKMN想一想：定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么?l·F一条经过点F且垂直于l的直线······抛物线及其标准方程22654··FMlN想一想：求抛物线方程时该如何建立直角坐标系？（二）抛物线的标准方程抛物线及其标准方程22654yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：

抛物线是一个怎样的对称图形？抛物线及其标准方程22654如图所示，以经过点F且垂直于l的直线为x轴,x轴与直线l交于点K，与抛物线交于点O，则O是线段KF的中点，以O为原点,建立直角坐标系。设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为(,0),准线l的方程为x=－。p2p2xyO··FMlNK设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d=|MN|想一想：p的几何意义？求抛物线的方程为什么？抛物线及其标准方程22654xyO··FMlNK由抛物线的定义，∵化简后得:∴抛物线的标准方程为它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,坐标是，准线方程是注意：抛物线标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。抛物线及其标准方程22654

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？yox抛物线及其标准方程22654y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)P的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四．四种抛物线的对比抛物线及其标准方程22654想一想：

如何判断上表中抛物线四种标准方程与图象的对应关系？第一：一次项变量决定对称轴。第二：一次项系数的正负决定了开口方向。说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由形到数的数形结合思想。抛物线及其标准方程22654例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）准线方程为x=-－.3232

112解:方程可化为:x=-－y,故p=－,焦点坐标为(0,-－),准线方程为y=－.161241242解:因焦点在y轴的负半轴上,且p/2=2,p=4,故其标准方程为:x=-8y2抛物线及其标准方程226541：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）（2）准线方程是x=（3）焦点到准线的距离是2解：y2=12x解：y2=x小结抛物线及其标准方程22654强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式解：∵焦点到准线的距离为2

∴p=2

又∵焦点的位置不确定∴该抛物线标准方程有四种形式

y2=±2px，

x2=±2py

此抛物线的标准方程有四种情况：y2=±4x，

x2=±4y

题后反思：用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式，再求p值。无法确定焦点位置，注意分类讨论抛物线及其标准方程226542、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2=20x（2）x2=y（3）x2+8y=0焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—18y=2(0,-2)感悟：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。抛物线及其标准方程22654例2一种卫星接收天线的轴截面如图（1）所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接受天线的口径（直径）为4.8m,深度为0.5m。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。0.5m4.8m抛物线及其标准方程22654解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。

设抛物线的标准方程是，由已知条件可得，点A的坐标是，代入方程，得即所以，所求抛物线的标准方程是，焦点的坐标是4.8m0.5m抛物线及其标准方程22654（四）课堂小结平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线l不经过点F;p的几何意义：焦点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。抛物线的标准方程有四种：y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)抛物线及其标准方程22654课外拓展：

1、为什么说二次函数y=ax2（a≠0)的图像是抛物线？你能指出它的焦点坐标和准线方程？小结抛物线及其标准方程22654解：二次函数可化为：x2=y1a即2p=1

a4a1∴焦点坐标是（0,

），准线方程是：y=4a1②当a<0时,,抛物线的开口向下p2=14a∴焦点坐标是（0,），准线方程是:

y=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向上p2=14a所以不论a>0,还是a<0，都有∴焦点坐标是（0，），准线方程是：y=4a114a小结抛物线及其标准方程22654例3.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x

。抛物线及其标准方程22654例4、M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点

M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是

————————————X0+—2pOyx．FM．抛物线及其标准方程22654

例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.例题讲解xyoF(4,0)Mx+5=0

解:由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.∵p/2=4,∴p=8.又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为

y2=16x.小结抛物线及其标准方程22654变式训练1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是（0，-3）

；(2)准线是；2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2

；(2)x2+8y=0；x2=-12yy2=2x焦点，准线焦点，准线感悟：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。感悟：用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式，再求p值。抛物线及其标准方程22654强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线解：∵焦点到准线的距离为2

∴p=2

又∵焦点的位置不确定∴该抛物线标准方程有四种形式

y2=±2px，

x2=±2py

此抛物线的标准方程有四种情况：y2=±4x，

x2=±4y

解：∵标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上；又∵抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，∴焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，﹣3），

∴焦点坐标为