空间中的垂直关系

一、选择题1．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析]本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案]D[解析]对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．2．(2022·浙江理，4)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案]D[解析]本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.3．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．(理)设平面α⊥β，α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与b()A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行[答案]B[解析]当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如下图，过a上一点作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.又b⊥a，∴b⊥α，∴b⊥l，与已知矛盾．4．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．又∵PO面PAE，PO⊥面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.5．定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点[答案]B[解析]连接BC，∵PB⊥α，∴AC⊥PB.又∵PC⊥AC，∴AC⊥BC.∴C在以AB为直径的圆上除去A、B两点．故选B.6．(2022·北京海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中不正确的是()A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，mβ，则α⊥β[答案]A[解析]选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确．二、填空题7．设x，y，z是空间不同的直线或平面，对于下列四种情形，使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________(只填序号)．①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．[答案]②③[解析]①中，x与y的位置关系可以为相交、平行或异面，故①为假命题；由线面垂直的性质定理知，②③为真命题；④中，x，y也可相交．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．[答案]2eq\r(7)[解析]如下图，∵PC⊥平面ABC，MC面ABC，∴PC⊥MC.故PM＝eq\r(PC2＋MC2)＝eq\r(MC2＋16).又∵MC的最小值为eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)，∴PM的最小值为2eq\r(7).三、解答题9．(文)(2022·陕西文，16)如下图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．[解析](1)∵折起前AD是BC边上的高．∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝eq\r(2)，从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴三棱锥D－ABC的表面积S＝eq\f(1,2)×3＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),2).(理)(2022·全国大纲卷理，19)如下图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的大小．[解析]解法一：(1)取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2，连接SE，则SE⊥AB，SE＝eq\r(3)，又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．即SD⊥SE.由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以SD⊥平面SAB.(2)由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，SF＝eq\f(SD×SE,DE)＝eq\f(\r(3),2).作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1，连接SG，则SG⊥BC.又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG.作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.FH＝eq\f(SF×FG,SG)＝eq\f(\r(3),\r(7))，即F到平面SBC的距离为eq\f(\r(21),7).由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为eq\f(\r(21),7).设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα＝eq\f(d,EB)＝eq\f(\r(21),7)，α＝arcsineq\f(\r(21),7).解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如下图所示的空间直角坐标系C－xyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)．又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.(1)eq\o(AS,\s\up16(→))＝(x－2，y－2，z)，eq\o(BS,\s\up16(→))＝(x，y－2，z)，eq\o(DS,\s\up16(→))＝(x－1，y，z)，由|eq\o(AS,\s\up16(→))|＝|eq\o(BS,\s\up16(→))|得eq\r(x－22＋y－22＋z2)＝eq\r(x2＋y－22＋z2)，故x＝1.由|eq\o(DS,\s\up16(→))|＝1得y2＋z2＝1，又由|eq\o(BS,\s\up16(→))|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(\r(3),2).于是S(1，eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(AS,\s\up16(→))＝(－1，－eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BS,\s\up16(→))＝(1，－eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(DS,\s\up16(→))＝(0，eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(DS,\s\up16(→))·eq\o(AS,\s\up16(→))＝0，eq\o(DS,\s\up16(→))·eq\o(BS,\s\up16(→))＝0.故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(2)设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥eq\o(BS,\s\up16(→))，a⊥eq\o(CB,\s\up16(→))，a·eq\o(BS,\s\up16(→))＝0，a·eq\o(CB,\s\up16(→))＝0，又eq\o(BS,\s\up16(→))＝(1，－eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(CB,\s\up16(→))＝(0,2,0)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,2)n＋\f(\r(3),2)p＝0，,2n＝0.))取p＝2得a＝(－eq\r(3)，0,2)，又eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－2,0,0)，cos〈eq\o(AB,\s\up16(→))，a〉＝eq\f(\o(AB,\s\up16(→))·a,|\o(AB,\s\up16(→))|·|a|)＝eq\f(\r(21),7).故AB与平面SBC所成的角为arcsineq\f(\r(21),7).一、选择题1．如下图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如下图(2)所示)，使G1、G2、A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF[答案]A[解析](1)直接法在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.(2)(排除法)GF即G3F不垂直于SF∴可以否定C；△GSD中，GS＝a(正方形边长)，GD＝eq\f(\r(2),4)a，SD＝eq\f(3\r(2),4)a，∴SG2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°，从而否定B和D.2．(文)a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：①a∥α且a∥b⇒b∥α；②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；③a⊥α且a⊥b⇒b⊥α；④a⊥β且α⊥β⇒a∥α.其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a∥b))⇒b∥α或bα；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α或bα；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,α⊥β))⇒a∥α或aα.(理)棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D\f(1,2) \f(\r(2),2)\f(\r(3),4) \f(\r(3),8)[答案]C[解析]过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1延长线于点M，可得A1M⊥平面DD1C1C，∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A1D1C1＝120°，得A1又A1C＝eq\r(AC\o\al(2,1)＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，∴sin∠A1CM＝eq\f(A1M,A1C)＝eq\f(\r(3),4)，故应选C.二、填空题3．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的________．(2)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________．(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．[答案](1)外心(2)内心(3)垂心4．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析]由定理知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题5．(文)(2022·新课标文，18)如下图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．[解析](1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq\r(3)AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.又PA平面PAD，故PA⊥BD.(2)如下图，作DE⊥PB，垂足为E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知PD＝1，则BD＝eq\r(3)，PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝eq\f(\r(3),2).即棱锥D－PBC的高为eq\f(\r(3),2).(理)(2022·湖北文，18)如下图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3eq\r(2)，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2eq\r(2)，BF＝eq\r(2).(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E－CF－C1的大小．[解析]解法一：(1)由已知可得CC1＝3eq\r(2)，CE＝C1F＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6)，于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CCeq\o\al(2,1)，所以C1E⊥EF，C1E⊥CE.又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF.又CF平面CEF，故CF⊥C1E.(2)在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝eq\r(6)，CE＝2eq\r(3)，于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF，又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E，所以CF⊥平面C1EF.又C1F平面C1EF，故CF⊥C1F.于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角，由(1)知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.解法二：建立如上图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(eq\r(3)，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3eq\r(2))，E(0,0,2eq\r(2))，F(eq\r(3)，1，eq\r(2))．(1)eq\o(C1E,\s\up16(→))＝(0，－2，－eq\r(2))，eq\o(CF,\s\up16(→))＝(eq\r(3)，－1，eq\r(2))，eq\o(C1E,\s\up16(→))·eq\o(CF,\s\up16(→))＝0＋2－2＝0，∴CF⊥C1E.(2)eq\o(CE,\s\up16(→))＝(0，－2,2eq\r(2))，设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，由m⊥eq\o(CE,\s\up16(→))，m⊥eq\o(CF,\s\up16(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CE,\s\up16(→))＝0，,m·\o(CF,\s\up16(→))＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＋2\r(2)z＝0，,\r(3)x－y＋\r(2)z＝0.))可取m＝(0，eq\r(2)，1)．设侧面BC1的一个法向量为n，由n⊥eq\o(CB,\s\up16(→))，n⊥eq\o(CC1,\s\up16(→))，及eq\o(CB,\s\up16(→))＝(eq\r(3)，－1,0)，eq\o(CC1,\s\up16(→))＝(0,0,3eq\r(2))，可取n＝(1，eq\r(3)，0)．设二面角F－CF－G的大小为θ，由于θ为锐角，所以cosθ＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(\r(6),\r(3)×2)＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝45°，即所求的二面角的大小为45°.6.如下图，在四棱锥S－ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．(1)求证：AC⊥平面SBD；(2)若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试写出动点P的轨迹，并证明你的结论．[分析]本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查．第(1)问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC垂直且过E点的平面即可得到动点P的轨迹．[解析](1)∵底面ABCD是菱形，O为中心．∴AC⊥BD，又SA＝SC，∴AC⊥SO，而SO∩BD＝O，