简单几何体及其三视图和直观图

一、选择题1．(2022·陕西理)若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是()\f(1,3) \f(2,3) [答案]C[解析]C该几何体是如下图所示的直三棱柱V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1.2．下列命题中：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆，其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]命题①、②都对，命题③一个平面与球相交，其截面是一个圆面，故选C.[点评]要注意球与球面的区别．3．(2022·湖南理，3)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()\f(9,2)π＋12 \f(9,2)π＋18C．9π＋42 D．36π＋18[答案]B[解析]本小题考查内容为几何体的三视图与体积的计算．由三视图知，该几何体为一个球与一个正四棱柱．∴V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18.4．正三棱柱ABC—A1B1C1如下图所示，以四边形BCC1B1的前面为正前方画出的三视图正确的是()[答案]A[解析]主视图为矩形，左视图为三角形，俯视图为两个有公共边的矩形，公共边为CC1在面ABB1A1内的投影，故选A.5．(2022·新课标理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为()[答案]D[解析]本题考查了三视图及空间想象能力．依题意，几何体一半为圆锥，一半为三棱锥，如上图，故选D.6．(文)(2022·广东文，7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10[答案]D[解析]本题主要考查学生的空间想象能力．正五棱柱有五个对角面，每个面有两条对角线，所以一个正五棱柱有10条对角线．(理)(2022·广东理，7)如下图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．6eq\r(3) B．9eq\r(3)C．12eq\r(3) D．18eq\r(3)[答案]B[解析]本题考查三视图以及棱柱的体积．由三视图以及图中数据可知，此几何体为平行六面体，它的底面是边长为3的正方形，它的侧棱长为2，它的高h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴V＝sh＝3×3×eq\r(3)＝9eq\r(3)，选B.二、填空题7．(2022·辽宁理，15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq\r(3)，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．[答案]2eq\r(3)[解析]本小题考查内容为几何体的三视图．设边长为a，∴S底面＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)a3＝2eq\r(3)，∴a＝2，∴俯视图的高为eq\r(3)，∴S矩形＝2eq\r(3).8．球面上三点A、B、C，AB＝18，BC＝24，AC＝30，球心到平面ABC的距离为球半径的一半，则球半径为________．[答案]10eq\r(3)[解析]∵AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC为直角，∴AC为球小圆的直径，设球半径为R，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋152＝R2，∴R＝10eq\r(3).三、解答题9．(文)已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.(1)根据已经给出的此四棱锥的主视图，画出其俯视图和左视图．(2)证明：平面PAD⊥平面PCD.[解析](1)(2)∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.(理)(2022·四平模拟)已知正三棱锥V—ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．[解析](1)直观图如下图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2eq\r(3)，∴左视图中VA＝eq\r(42－\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.一、选择题1.如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为()A．6 B．3eq\r(2)C．6eq\r(2) D．12[答案]D[解析]若还原为原三角形，则易知OB＝4，OA⊥OB，OA＝6，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×4×6＝12.2．(2022·重庆文，10)高为eq\r(2)的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()\f(\r(10),2) \f(\r(2)＋\r(3),2)\f(3,2) \r(2)[答案]A[解析]该题考查球的内接几何体的有关计算问题，通过球为载体，考查学生空间想象力和推理运算能力．如图所示，设球心为O，底面ABCD的中心为O′，则SO′为所求．作SH⊥底面ABCD，则SH＝eq\r(2)，连接OO′，则OO′⊥底ABCD，∴SH∥OO′在Rt△AO′O中，OA＝1，AO′＝eq\f(\r(2),2)，∴OO′＝eq\f(\r(2),2).又四边形SHO′O为直角梯形，过O作OE⊥SH，则SE＝eq\f(\r(2),2).又OS＝1，∴OE＝eq\f(\r(2),2)，即O′H＝eq\f(\r(2),2)，∴SO′＝eq\r(2＋\f(\r(2),2)2)＝eq\r(\f(5,2))＝eq\f(\r(10),2).二、填空题3．(2022·长沙模拟)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案]3[解析]由三视图知：该几何体是一个底面是边长为4的正方形，一侧棱垂直于底面，长也为4的四棱锥，如上图所示：由题意，一个边长为4的正方体能够分割成若干个上图所示的几何体，如图可分割为四棱锥O—ABCD，四棱锥O—CDFG，四棱锥O—CBFG，即需要3个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．4．(2022·通州模拟)已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________cm3.[答案]eq\f(8000,3)[解析]几何体的直观图如下图S－ABCD.且知面SCD⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于E，得SE⊥面ABCD，SE＝20cm，∴VS－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·SE＝eq\f(8000,3)cm3.三、解答题5．某几何体的三视图如下图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC.[解析](1)由三视图可得几何体是以2为底面边长，高为eq\r(2)的正四棱锥，如图所示．(2)①连接BD交AC于O，连接OG，在△BDP中，PD∥OG，又PD平面AGC中，因此PD∥平面AGC；②连接PO，则PO⊥平面ABCD，则PO⊥AC，又AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，又AC平面AGC，因此平面PBD⊥平面AGC.6.如下图所示，正四棱台AC′的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．[分析]由于棱台是由棱锥平行于底面的平面截得的，因此正棱锥中的有关直角三角形对应到正棱台中将转化为直角梯形，只要找出包含侧棱和斜高的直角梯形即可求解．[解析]设棱台两底面的中心是O′和O，B′C′、BC的中点分别是E′、E.连接O′O、E′E、OB、O′B′、O′E′、OE，则四边形OBB′O′、OEE′O′都是直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16cm，则OB＝8eq\r(2)cm，OE＝8cm.在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4cm.则O′B′＝2eq\r(2)cm，O′E′＝2cm.在直角梯形O′OBB′中，B′B＝eq\r(O′O2＋OB－O′B′2)＝eq\r(172＋8\r(2)－2\r(2)2)＝19cm.在直角梯形O′OEE′中，E′E＝eq\r(O′O2＋OE－O′E′2)＝eq\r(172＋8－22)＝5eq\r(13)cm.所以这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5eq\r(13)cm.7．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.[解析](1)该安全标识墩侧视图如上图所示．(2)该安全标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝eq\