2021年中考数学压轴题10以三角形为载体的几何综合问题

专题10以三角形为载体的几何综合问题

［Ml］（2020•常用）

【变式1-1］（2019•南满）

P'【考点1］三角形有关角的计算综合问题

【变式1-2］（2020•南京）

【例2】（2019•跚）

____________________________________________【♦式2-1】（2020•宿迁）

【考点2］三角形有关线段计算问蔻-3】（2020序M）

【变93］（2020•研）

【例3】（2020•吴江区二一）

【变武3-1］（2020•祁江区校取三楼）

［考点3］三角形有关周长和面积计算问题］eI变H3.21（2。2。.a1鹿一丁）

专题以三角形为载体

10［55C3-3］（2020•海门市校皴模拟）

的几何综合问题

［«4］（2019•无锡一模）

【变式4-1］（2019•内江模拟）

【考点4】三角形有关多项判断综合计算问题

【变贰4-2］（2019•思明区校徽慢拟）

【例5】（2020•盐城）

【变式51）（2019•南通）

【考点5】以三角形为背景的几何综合探究问题【变式5-2］（2019•扬州）

［SxC5-3j（2020•宿迁模拟）

压轴精练

1/痔选江苏省中二考百—跳模拟瓢S项训限二22道Q/

典例剖析

JJ

【考点1］三角形有关角的计算综合问题

【例1】（2020•常州）如图，在AABC中，BC的垂直平分线分别交2C、AB于点E、F.若

△AFC是等边三角形，则/8=.

【变式1-1］（2019•南通）如图，AABC中，AB=BC,乙48c=90°,尸为AB延长线上一

点，点E在BC上，且AE=CF,若NBAE=25°,则NACF=度.

【变式1-2］（2020•南京）如图，线段AB,BC的垂直平分线八、/2相交于点O,若/1=

39°,贝U/AOC=

【考点2］三角形有关线段计算问题

【例2】（2019•扬州）已知〃是正整数，若一个三角形的三边长分别是〃+2、〃+8、3%则满

足条件的〃的值有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【变式2-1］（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC,NB4C的平分线4。交BC于点

D,E为A8的中点，若BC=12,AQ=8,则。E的长为.

【变式2-2］（2020•常州）如图，在△A8C中，ZB=45°,AB=6a,D、E分别是48、

AC的中点，连接。E,在直线DE和直线BC上分别取点尸、G,连接BF、DG.若3F=

3DG,且直线B/与直线。G互相垂直，则BG的长为.

【变式2-3］（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数

学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地,

去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折

断，竹梢触地面处离竹根3尺，试间折断处离地面多高？答：折断处离地面尺

高.

【考点3］三角形有关周长和面积计算问题

【例3】（2020•吴江区二模）如图，ZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。在AB的延

长线上，且连接0c并延长，作AE_LCO于E,若4E=4,则△BCD的面积为

()

A.8B.10C.8V2D.16

【变式3-1］（2020•邛江区校级三模）如图，△ABC的两条中线4例，BN相交于点。，已知

△ABO的面积为4,/XBOM的面积为2,则四边形MCNO的面积为（）

【变式3-2］（2020•惠山区二模）10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、丫是

小正方形的顶点，。是边XY一点.若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部

【变式3-3］（2020•海门市校级模拟）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周

髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直

角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，

已知/BAC=90°,AB=6,AC=8,点。、E、F.G、H、/都在矩形KLM7的边上，则

矩形KLW的周长为（）

【考点4］三角形有关多项判断综合计算问题

【例4】（2019•无锡一模）如图，在△ABC、△AOE中，NB4C=/£）AE=90°,AB=AC,

AD=AE,A尸是△ADC的中线，C,D,E三点在一条直线上，连接BD,BE,以下五个结

论：①BD=CE：②8£>_LCE；③/ACE+NQBC=45°；（^^人尸二⑶七⑤⑶后工人尸中正确的个

数是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式4-1］（2019•内江模拟）如图，NBAC与/CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB

与CE交于点”，PG〃AD交BC于F,交A8于G,下列结论：①GA=GP；②S△阳c：

S^PAB=AC：AB：③8尸垂直平分CE；④FP=FC：其中正确的判断有（）

A.只有①②B.只有③④C,只有①③④D.①②③④

【变式4-2］（2019•思明区校级模拟）如图，△ABP与△C。尸是两个全等的等边三角形，且

PAVPD.有下列四个结论:

(1)NPBC=15°:(2)AD//BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABCD是轴对

称图形.

【考点5）以三角形为背景的几何综合探究问题

【例5】（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请

阅读后完成虚线框下方的问题1-4.

（I）在RtZ\A8C中，/C=90°,AB=142,在探究三边关系时，通过画图，度量和计

算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

（II）根据学习函数的经验，选取上表中BC和4C+BC的数据进行分析：

①BC=x,AC+BC=y,以（x,y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点:

②连线：

（III）结合表中的数据以及所画的图象，猜想.当》=—时，y最大；

（IV）进一步猜想：若RtZXABC中，NC=90°,斜边AB=2a（“为常数，«>0）,贝U8C

=时，AC+BC最大.

推理证明

(V)对(W)中的猜想进行证明.

问题1,在图①中完善(II)的描点过程，并依次连线：

问题2,补全观察思考中的两个猜想：(III)；(W)；

问题3,证明上述(V)中的猜想；

问题4,图②中折线B--E--F--G--A是一个感光元件的截面设计草图，其中点

A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米.ZE=ZF=ZG=90°.平行光线从A8区

域射入，NBNE=60。，线段FM、FN为感光区域，当EP的长度为多少时，感光区域长

度之和最大，并求出最大值.

【变式5-1](2019•南通)定义：若实数x,y满足/=2y+r,y2=2x+/,且xWy,，为常数，

则称点M(x,y)为“线点例如，点(0,-2)和(-2,0)是“线点已知：在直

角坐标系xOy中，点PG",〃).

(1)P(3,1)和P2(-3,I)两点中，点是“线点”；

(2)若点P是“线点”，用含，的代数式表示机〃，并求，的取值范围；

(3)若点Q(〃，〃?)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A,B,当|/尸。。-/

AO2|=30°时，直接写出/的值.

【变式5-2](2019•扬州)如图,平面内的两条直线“、/2,点A,B在直线八上，点C、D

在直线/2上，过A、B两点分别作直线/2的垂线，垂足分别为A],B\,我们把线段AIBI

叫做线段AB在直线/2上的正投影，其长度可记作T,AB.CD,或TSB।v特别地线段

AC在直线/2上的正投影就是线段4c.

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1,在锐角△ABC中，AB=5,T,AC,=3,则T<BC,AB>=；

(2)如图2,在RtZSABC中，ZACB=90°,T<AC,AB>=4,7'<BC,AB)=9,求△ABC的

面积；

(3)如图3,在钝角△ABC中，NA=60°，点。在AB边上，NACD=90°,TIAD.AC>

=2,TtBC,AB>=6,求T<BC.处，

【变式5-3］（2020,宿迁模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（30）,B（t+2,0）,C（n,

1）,若射线OC上存在点P,使得aABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段

48关于射线OC的等腰点.

（1）如图，若f=0,〃=0,则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；

（2）若线段48关于射线OC的等腰点的坐标是（-3,V3）,求〃和I的值；

（3）若〃=整，且射线OC上只存在一个线段A8关于射线OC的等腰点，则f的取值范

围是.

压轴精练

一.选择题（共5小题）

1.（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm.6cm,则它的第三边的长可能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

2.（2020•宿迁）在△ABC中，AB=1,BC=V5,下列选项中，可以作为AC长度的是（）

A.2B.4C.5D.6

3.（2020•常州）如图，A8是。。的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH

LAB,垂足为H,点M是8c的中点.若00的半径是3,则长的最大值是（）

B

A.3B.4C.5D.6

4.（2020•南通）如图，在△ABC中，AB=2,NABC=60°,NACB=45°,。是BC的中

点，直线/经过点Q,AEU,BFVI,垂足分别为E,F,则AE+B尸的最大值为（）

A.V6B.2V2C.2V3D.3V2

5.（2020•惠山区校级二模）如图，在△ABC中，ZCAB=120°,AB=AC=3,点E是三角

形ABC内部一点，且满足BE2-C寻=3A总,则点E在运动过程中所形成的图形的长为

2V37T

C.3V3D.------

3

6.（2020•徐州）如图，在RtZ^ABC中，NABC=90°,。、E、产分别为AB、BC、C4的中

点，若BF=5,则Z）E=

7.（2020•苏州）如图，在aABC中，已知AB=2,ADLBC,垂足为O,BD=2CD.若E

是AO的中点，则EC=.

8.（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若

两直角重叠形成的角为65°,则图中角a的度数为.

9.（2020•亭湖区校级一模）如图，点/为△A8C的重心，AB=4,作/力〃AB交8c于点£>,

则ID=

10.（2020•如皋市一模）如图，已知乙4。8=60°，点尸在边0A上，0尸=12,点M,N在

11.（2020•沐阳县模拟）如图，在直角△ABC中，ZC=90°,AC=9,AB=15,尸、Q分别

为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则PQ

12.（2020•徐州）如图，ZMON=30°,在OM上截取。41=遍.过点4作Ai8i_LOM,

交ON于点Bi,以点Bi为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点42作上及,

OM,交ON于点及，以点B2为圆心，B2。为半径画弧，交OM于点43;按此规律，所

得线段A20B20的长等于.

三.解答题（共10小题）

13.(2020•南通模拟)如图，A。、AE分别是AABC的角平分线和高线.

(1)若/B=50°,ZC=60",求ND4E的度数；

(2)若猜想NZME与/C-NB之间的数量关系，并加以证明.

14.(2020•常州)己知：如图，点A、B、C、。在一条直线上，EA//FB,EA=FB,AB=

CD.

(1)求证：NE=NF；

(2)若/A=40°,ZD=80°,求/E的度数.

15.(2019•镇江)如图，四边形A8CD中，AD//BC,E,F分别在A。、5c上，AE^CF,

过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H.

(1)求证：AAGE丝△CHF；

(2)连接AC,线段G4与AC是否互相平分？请说明理由.

16.(2020•清江浦区二模)已知：如图，AB为。。的直径，。。过AC的中点。，DE1BC

于点E.

(1)试判断直线QE与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若DE=2®NBAC=30°,求。0的直径.

17.(2019•高邮市二模)在RlZ\ABC中，NACB=90°,点。、E分别是A8、BC的中点,

过点C作C/〃AB,与。E的延长线并交于点凡连接8F.

(1)试判断四边形CQBF的形状，并说明理由；

(2)若C£>=5,sinNC4B=5，过点C作CHL8F,垂足为4点，试求CH的长.

18.(2020•射阳县校级模拟)如图，在△ABC中，ZACB=45°,过点A作AO_LBC于点

D,点E为AO上一点，且ED=BQ.

(1)求证：AABD咨ACED；

(2)若CE为/4C£>的角平分线，求/8AC的度数.

19.(2020•鼓楼区二模)如图，。是△48C边BC上的点，连接AO,ZBAD^ZCAD,BD

CD.用两种不同方法证明AB=

AC.

20.（2020•如皋市二模）（1）如图，一块四边形纸板剪去得到四边形ABCE,测得

NBAE=NBCE=90°,BC=CE,AB=DE.能否在四边形纸板ABCE上只剪一刀，使剪

下的三角形与全等？请说明理由.

（2）我市某学校八年级同学乘坐大巴车去长江青少年素质教育实践基地参加综合实践活

动.1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知素质教育基地距离该

校18千米，2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍.请你就“1号车”提出一个

用分式方程解决的问题，并写出解题过程.

21.（2020•海门市校级模拟）在△ABC中，NB=45°,AM1BC,垂足为M.

（1）如图1,若AB=4鱼，BC=7,求4c的长；

（2）如图2,点。是线段4历上一点，点E是△A8C外一点，CE=C4,连

接并延长交BC于点尸，且求证

@BF=CF.

22.（2020•宝应县模拟）数学课上，老师出示了如下框中的题目

在等边三角形45C中，点E在48上，

点。在CB的延长爱上，且ED=EC,女图.

试爆定圾段儿E与DB的大小关系，并说明

理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:

（1）特殊情况•探索结论

当点E为A8的中点时，如图1,确定线段AE与08的大小关系.请你直接写出结论:

AEDB（填或“=

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与OB的大小关系是：AEDB（填或"="）理由如

下：如图2,过点E作EF〃BC,交AC于点F,（请你接着继续完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点。在直线BC上，且ED=EC.若△ABC

的边长为3,AE=5,求CQ的长（请你直接写出结果）.

专题10以三角形为载体的几何综合问题

mi]（2020•奇州）

【考点1]三角形有关角的计算综合问题

【例1】（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、A8于点E、F.若

30

【分析】根据垂直平分线的性质得到/，再利用等边三角形的性质得到/A尸C

=60°,从而可得的度数.

【解析】垂直平分8C,

：.BF=CF,

：.ZB=ZBCF,

,/△ACF为等边三角形,

.•.NAFC=60°，

.•./B=/BCF=30°.

故答案为：30.

【变式1-1】(2019•南通)如图，ZXABC中，AB=BC,/ABC=90°,尸为AB延长线上一

点，点E在BC上，HAE=CF,若NBAE=25°,则/ACF=70度.

【分析】先证明△A8E丝/XCBF,可得NBAE=NBCF=25°；然后根据AB=BC,ZABC

=90°,求出NAC8的度数，即可求出NAC尸的度数.

【解析】在RtzMBE与RtZXCB尸中，[丝=/，

=DL

.,.Rt^ABE^RtACBF(HL).

；.NBAE=NBCF=25°:

■：AB=BC,NABC=90°,

；.NACB=45°,

AZACF=250+45°=70°；

故答案为：70.

【变式1-2](2020•南京)如图，线段AB、BC的垂直平分线八、/2相交于点O,若Nl=

39°,则/AOC=.

【分析】解法-：连接80,并延长BO到P,根据线段的垂直平分线的性质得AO=O8

=OC和NBOO=NBEO=9(T,根据四边形的内角和为360°得N。OE+NABC=18(r,

根据外角的性质得NAOP=N4+NA8O,NCOP=NC+NOBC,相加可得结论.

解法二：连接08,同理得AO=O3=OC,由等腰三角形三线合一得NAOO=NBOD,

ZBOE=ZCOE,由平角的定义得N3OO+N3OE=141。，最后由周角的定义可得结论.

【解析】解法一：连接80,并延长8。到P,

,・•线段AB、8C的垂直平分线力、/2相交于点。，

：.AO=OB=OC,NBDO=/BEO=90°,

：,ZDOE+ZABC=\SO°,

VZDOE+Z1=180°,

AZABC=Z1=39°,

•：OA=OB=OC,

：.ZA=ZABO,NOBC=NC,

VZAOP=ZA+ZABOfNCOP=NC+NOBC,

：.ZAOC=ZAOP+ZCOP=ZA+ZABC+ZC=2X39°=78°；

解法二：

连接OB,

・・•线段A8、8c的垂直平分线A、/2相交于点0,

・・・AO=O8=OC,

・•・ZAOD=/BOD,ZBOE=ZCOEf

VZDOE+Z1=180°,Zl=39°,

；.NDOE=141°,即NBO£>+NBOE=141°,

/.ZAOD+ZCO£=141°,

；.NAOC=360°-（NBOD+NBOE）-（ZAOZHZCOE）=78°:

故答案为：78°.

【考点2］三角形有关线段计算问题

【例2】（2019•扬州）已知〃是正整数，若一个三角形的三边长分别是“+2、〃+8、3〃，则满

足条件的”的值有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【分析】分三种情况讨论：①若"+2<〃+8W3〃，②若〃+2V3〃W"+8,③若3〃W”+2V

〃+8,分别依据三角形三边关系进行求解即可.

【解析】①若"+2<〃+8W3",贝！］

jn+2+ri+8>3n

+8<3n

解得［nVIO,即4W〃<io,

（n>4

，正整数”有6个：4,5,6,7,8,9；

②若拉+2V3〃<〃+8,则

+2+3n>n+8

〔3几<n4-8

解得卜>2,即2〈后4,

二正整数”有2个:3和4；

③若3〃W”+2<〃+8,则不等式组无解；

综上所述，满足条件的n的值有7个，

故选：D.

【变式2-1】（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC的平分线AO交BC于点

D,E为A8的中点，若8c=12,A£>=8,则DE的长为5.

BD

【分析】利用勾股定理求出A8,再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可.

【解析】AD平分NBAC,

：.ADLBC,BD=CD=6,

NAOB=90°,

：.AB=\/AD2+BD2=V82+62=10,

,:AE=EB,

：.DE=^AB=5,

故答案为5.

【变式2-2］（2020•常州）如图，在△48C中，ZB=45°,18=6位,D、E分别是AB、

4c的中点，连接。E,在直线DE和直线8C上分别取点尸、G,连接BEDG.若BF=

3DG,且直线8F与直线OG互相垂直，则BG的长为4或2.

【分析】如图，过点B作BTLBF交ED的延长线于T,过点B作于H,证明

四边形力G8T是平行四边形，求出OH,7W即可解决问题.

【解析】如图，过点8作尸交EO的延长线于T,过点8作于”.

'：DG±BF,BTLBF,

C.DG//BT,

'：AD=DB,AE=EC,

：.DE//BC,

二四边形QG8T是平行四边形,

:,BG=DT,DG=BT,NA8C=45°,

,:AD=DB=3d

:,BH=DH=3,

■:/TBF=NBHF=9U°，

：.ZTBH+ZFBH=90°,NFBH+NF=90°,

:・/TBH=/F,

・*/TRU_BT_DG

••tanNr-tanN7BH==-^-p=可»

.TH1

••"'———,

BH3

ATH=1,

：.DT=TH+DH=i+3=4,

：.BG=4.

当点尸在EO的延长线上时，同法可得O7=8G=3-1=2.

【变式2・3】（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数

学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地,

去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折

断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地触4.55尺

【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可.

【解析】设折断处离地面x尺，

根据题意可得:-+32=(10-X)2,

解得：x=4.55.

答：折断处离地面4.55尺.

故答案为：4.55.

【考点3］三角形有关周长和面积计算问题

【例3】(2020•吴江区二模)如图，△ABC中，NAC8=90°,AC=2C,点。在A8的延

长线上，且连接Z)C并延长，作于E,若AE=4,则△8CZ)的面积为

()

A.8B.10C.8V2D.16

【分析】过点B作8FJ_CO于F,由“A4S”可证△8FC丝△CEA,可得CF=AE=4,BF

=CE,由平行线分线段成比例可求EF=OF,由三角形中位线定理可求8F=CE=2,由

三角形面积公式可求解.

【解析】如图，过点5作B以LCQ于尸，

：.ZBFC=ZAEC=90°,

：.ZBCF+ZFBC^90Q,

VZACB=90°,

：.ZBCF+ZACE=90°,

二NACE=NFBC,

又：3C=AC,

：./\BFC^/\CEA(A4S),

ACF=AE=4,BF=CE,

'：BF±CD,AE±CD,

：.BF//AEf

ABEF

•,•------—-------—-IX,

BDDF

:.EF=DF,

又.・・A8=8。，

1

：.BF=^AE=2,

:・CE=BF=2,

；・EF=4+2=6=DF,

,△BCD的面积n.xCDXB尸=1x（6+4）X2=10,

故选：B.

【变式34】（2020•祁江区校级三模）如图，△ABC的两条中线AM,BN相交于点O,已知

△A3。的面积为4,ABOM的面积为2,则四边形MCN。的面积为（）

A.4B.3C.4.5D.3.5

【分析】连接如图，利用点O为的重心得到3O=2OM根据三角形面积公

式得SMON=金相0=2,S^MON='^△MBO=I,贝I」S&AMN=3,再利用SdMNC=S&NMA=

3,然后计算S&OMN+SXMNC即可.

【解析】连接MM如图，

和8N为AABC的两条中线，

・・・点。为△ABC的重心，

:,BO=2ON,

.1111

••S^AON=]SAABO=2x4=2,SAMON=2sx2=1,

S^AA/N=3,

*：AN=CN,

/.SAMNC=SANMA=3,

二・四边形MCNO的面积=SaOMN+Szjwvc=1+3=4.

故选：A.

N

BC

【变式3-2］（2020•惠山区二模）10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、V是

小正方形的顶点，Q是边XY一点.若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部

【分析】首先设QY=X，根据题意得到PQ下面的部分的面积为：SA+S”:方行|x5X（l+x）

+1=5,解方程即可求得QY的长，即可解决问题.

【解析】设以=为根据题意得到PQ下面的部分的面积为：SA+SIW.®=|X5X（1+X）

+1=5,

解得x=|，

32

2

.丝_工_2

••一Q-，

QK13

故选:B.

【变式3-3］（2020•海门市校级模拟）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周

髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直

角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，

已知NBAC=90°,A8=6,AC=8,点。、E、F、G、H、/都在矩形KLM/的边上，则

矩形的周长为（）

J

I

C.84D.88

【分析】延长48交"于点O,延长AC交GM于点尸，可得四边形AOLP是正方形，

然后求出正方形的边长，再求出矩形K/.MJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计

算即可得解.

【解析】如图，延长4B交KF于点O,延长AC交G用于点P,

四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC—6+S—14,

；.KL=6+14=20,LM=8+14=22,

二矩形KZJWJ的周长为2义（20+22）=84.

故选：C.

【考点4］三角形有关多项判断综合计算问题

【例4】（2019•无锡一模）如图，在△ABC、△△£>£：中，NBAC=/£）AE=90°,AB=AC,

AD=AE,AF是△AOC的中线，C,D,E三点在一条直线上，连接80，BE,以下五个结

论：①BD=CE：@BDLCE；（3）AACE+ZDBC=45°；④2AF=BE⑤中正确的个

数是（）

E

D

B

A.2B.3C.4D.5

【分析】①由条件证明△A3。丝△ACE,就可以得到结论：

②由△A8C四△ACE就可以得出乙48。=乙4CE,就可以得出NBDC=90°而得出结论:

③由条件知NA8C=NA8D+/。8c=45°，由/£>8C+NACE=90°,就可以得出结论.

④延长AF到G,使得FG=4F,连接CG,DG.则四边形AOGC是平行四边形.想办

法证明△EA8也△GCA,即可解决问题；

⑤延长必交8E于从只要证明乙4m?=90°即可；

【解析】@'：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即NBA。=NCAE.

在△ABO和△ACE中，

(AD=AE

\z.BAD=Z.CAE,

(AB=AC

：.AABD^^ACE(SAS),

:.BD=CE.故①正确；

△A8OZZX4CE,

NABD=ZACE.

VZCAB=90°,

/.ZABD+ZDBC+ZACB=90°,

ZDBC+ZACE+ZACB=90°,

/.ZBDC=180°-90°=90°.

：.BD±CE；故②正确；

③•.,/BAC=90°,48=AC,

/.ZABC=45a,

.•.NA8O+N/)8C=45°.

：.ZACE+ZDBC=45°,故③正确，

④延长AF到G,使得FG=AF,连接CG,DG.则四边形AQGC是平行四边形.

：.AD//CG,AD^CG,

：.ZDAC+ZACG=\80°,

'：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZEAB+ZDAC=l^O°,

:./EAB=NACG,

；EA=AO=CG,AB^AC,

：.^EAB^/^GCA(SAS'),

：.AG=BE,

：.2AF=BE,故④正确，

⑤延长FA交BE于H.

•:t\EAB色l\GCA(SAS),

：.ZABE=ZCAG,

■：ZCAG+ZBAH=90°,

：.ZBAH+ZABE=90°,

NA〃8=90°,

：.AF±BE,故⑤正确.

故选：D.

【变式4-1］（2019•内江模拟）如图，NBAC与NC8E的平分线相交于点P,BE=BC,PB

与CE交于点H,PG//AD交BC千F,交AB于G,下列结论：①GA=GP；②S△用C：

S^PAB=AC：AB；③8尸垂直平分CE；@FP^FC；其中正确的判断有（）

A.只有①②B.只有③④C.只有①③④D.①②③④

【分析】利用角平分线的性质对①②③④进行一一判断，从而求解.

【解析】①••,AP平分N8AC

：.ZCAP^ZBAP

,:PG〃AD

：.ZAPG=ZCAP

：.ZAPG=ZBAP

：.GA=GP

②・.,AP平分N84C

・・・P到AC,A8的距离相等

.".SAMC：S^PAB=AC：AB

③；BE=BC,BP平分/C8E

垂直平分CE(三线合一)

④：/2AC与NCBE的平分线相交于点P,可得点P也位于NBCD的平分线上

:.NDCP=ZBCP

又PG//AD

：.NFPC=NDCP

：.FP=FC

故①②③④都正确.

故选：D.

【变式4-2](2019•思明区校级模拟)如图，△ABP与△CQP是两个全等的等边三角形，且

PAVPD.有下列四个结论：

(1)ZPBC^\5Q；(2)AD//BC-,(3)直线PC与48垂直；(4)四边形ABCD是轴对

称图形.

【分析】(1)先求出NBPC的度数是360°-60°X2-900=150°,再根据对称性得

到aBPC为等腰三角形，NPBC即可求出；

(2)根据题意：有△APO是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形的

定义与判定，可得四边形A8C。是轴对称图形，进而可得②③④正确.

【解析】VAABP^/XCDP,

：.AB^CD,AP=DP,BP=CP.

又「△AB尸与△COP是两个等边三角形，

:.NFAB=NPBA=NAPB=60°.

①根据题意，ZBPC=360°-60°X2-90°=150°

"：BP=PC,

：.ZPBC=(180°-150°)4-2=15°,

故本选项正确；

@VZABC=60°+15°=75°,

;AP=DP,

：.ZDAP=45a,

；NBA尸=60°,

AZBAD=ZBAP+ZDAP=f>0Q+45°=105°,

；.NBAD+NABC=105°+75°=180°,

.'.AD//BC-,

故本选项正确：

③延长CP交于AB于点O.

NAPO=180°-(NAPD+NCPD)=180°-(90°+60°)=180°-150°=30°,

VZPAB=60°,

ZAOP=300+60°=90°,

故本选项正确；

④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，

故本选项正确.

综上所述，以上四个命题都正确.

故选：D.

【考点5）以三角形为背景的几何综合探究问题

【例5】（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请

阅读后完成虚线框下方的问题1-4.

（I）在RtZ\A8C中，/C=90°,AB=2a,在探究三边关系时，通过画图，度量和计

算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

（II）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：

①BC=x,AC+BC=y,以（x,y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点:

②连线：

（III）结合表中的数据以及所画的图象，猜想.当》=一时，y最大；

（IV）进一步猜想：若RtZ\ABC中，ZC=90°,斜边AB=2a（n为常数，«>0）,则BC

=时，AC+BC最大.

推理证明

（V）对（IV）中的猜想进行证明.

问题1,在图①中完善（II）的描点过程，并依次连线；

问题2,补全观察思考中的两个猜想：（III）2；（IV）_V2«_；

问题3,证明上述（V）中的猜想；

问题4,图②中折线5--E--F--G--A是一个感光元件的截面设计草图，其中点

A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米.NE=NF=NG=90°.平行光线从AB区

域射入，/BNE=60：线段FM、FN为感光区域，当E尸的长度为多少时，感光区域长

度之和最大，并求出最大值.

——表示平行入射光线

-----表示不透光材料

单位:厘米

【分析】问题1：利用描点法解决问题即可.•

问题2：利用图象法解决问题即可.

问题3：设BC=x,AC-BC^y,根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可.

问题4：延长AM交E尸的延长线于C,过点4作AH_LE尸于”，过点8作8K1.G尸于K

Jo

交4〃于。.证明FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AH一号

V3=8Q+AQ+KQ+。，一竽=8Q+AQ+2-竽，求出BQ+AQ的最大值即可解决问题.

【解析】问题I：函数图象如图所示：

问题2：(IH)观察图象可知，x=2时，)，有最大值.

(IV)猜想：BC=>/2a.

故答案为：2,BC=y[2a.

问题3：设8C=x,AC+BC^y,

在RtZXABC中，・.,NC=90°

，AC=ylAB2—BC2=V4a2—x2,

，y=x+V4a2—%2,

.♦.y-x=V4a2—%2,

Ay2-2xy+x1=4a2-x2,

A2%2-Ixy+y2-4a2=0,

・・•关于x的一元二次方程有实数根，

/.△=4y2-4X2X(/-4a2)20,

••・)2<8白2,

Vy>0,。>0,

:.yWlyfGa,

当y=2a〃时，2/-4/以+4.2=0

，(V2x-2a)2=0,

^•x\=x2=V2af

，当3。=或〃时，y有最大值.

问题4：延长A例交£尸的延长线于C,过点4作于"，过点5作BKJ_GF于K

交A”于Q.

在RtZXBNE中，ZE=90°,ZBNE=60°,BE=\cm,

pp

:・tan/BNE=丽,

NE=字(cm),

*：AM//BN,

AZC=60°,

•・・NGF£=90°,

：.ZCMF=30°,

.•.NAMG=30°,

VZG=90°,AG^icrn,NAMG=30°,

...在RtZ\AGM中，tan/AA/G=需，

/•GM=V3(cm),

；NG=NGF”=90°,NAHF=90°,

四边形4GF”为矩形，

:.AH=FG,

•.•NGF”=NE=90°,ZBKF=90°

四边形BKFE是矩形，

:.BK=FE,

'：FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AH一堂一

V3=BQ+AQ+KQ+QH-=8Q+AQ+2-竽，

在RtZXABQ中，AB=4cm,

由问题3可知，当BQ=AQ=2&cm时，4。+8。的值最大，此时EF=(1+2V2)cm,

，8Q=AQ=2近时，FN+BW的最大值为(4々+2-竽)cm,此时EF=(1+2夜)cm.

【变式5-1](2019•南通)定义：若实数x,y满足/=2y+r,y2=2x+f,且xWy,/为常数，

则称点M(x,y)为“线点例如，点(0,-2)和(-2,0)是“线点”.已知:在直

角坐标系xQy中，点P(如〃).

(1)P(3,1)和P2(-3,1)两点中，点P2是“线点”；

(2)若点尸是“线点”，用含f的代数式表示相〃，并求，的取值范围：

(3)若点Q(n,m)是“线点”，直线尸Q分别交x轴、y轴于点A,B,当|NPOQ-Z

A。阴=30°时，直接写出f的值.

【分析】(1)若x,y满足/+2y=f,『+2x=f且/为常数，则称点M为“线点”,

由新定义即可得出结论；