新高考数学高频考点题型归纳05函数的概念及表示（教师版）

一、关键能力通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。三、自主梳理1．函数的定义（☆☆☆）一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．2．函数的定义域、值域（☆☆☆）在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．3．函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．（☆☆☆）4．表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．（☆☆☆）5．分段函数（☆☆☆）在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．四、真题感悟1.(2014浙江)已知函数，且，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，解得，又，所以，故选C.2.(2014江西)已知函数，，若，则A．1B．2C．3D．-1【答案】A【解析】因为，且，所以，即，解得．3．（2020北京11）函数的定义域是__________．【答案】【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．4.（2017新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是___．【答案】【解析】当时，不等式为恒成立；当，不等式恒成立；当时，不等式为，解得，即；综上，的取值范围为．

5.(2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是___.【答案】【解析】结合图形（图略），由，可得，可得．6.（2017浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关【答案】B【解析】函数的对称轴为，①当，此时，，；②当，此时，，；③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B．7.（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是．【答案】【解析】∵，∴①当时，，所以的最大值，即（舍去）②当时，，此时命题成立．③当时，，则或，解得或，综上可得，实数的取值范围是．8.(2013北京)函数的值域为．【答案】【解析】当时，，当时，，∴值域为．五、高频考点+重点题型考点一、定义域例1.（1）函数的定义域为（）A．B．C． D．（2）（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．（1）【答案】C【解析】故答案选C（2）【答案】【解析】令，根据函数值域的求解方法可求得的值域即为所求的的定义域.【详解】令，则，在上单调递增，，，，的定义域为.故答案为：.对点训练1.（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合,,则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知条件得,解得,故集合.又,则,故选B.对点训练2.（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）定义域是一个函数的三要素之一,已知函数定义域为,则函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由抽象函数的定义域可知,,解得,所以所求函数的定义域为.故选A.对点训练3.若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________；【答案】；【解析】(1)的定义域为R,则恒不为零,即没有实数根,所以,所以实数a的取值范围为；总结：1、给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tanx,x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求2、抽象函数的定义域要求：寻找内在的隐含条件考点二、函数值域与最值例2．（2021山东省济南市高三二模）（多选题）下列函数求值域正确的是（）A．的值域为B．的值域为C．的值域为D．的值域为【答案】CD【解析】对于选项A：原函数化为,其图象如图,原函数值域为,故选项A不正确,对于选项B：,定义域为,当时,,此时,所以,当且仅当即时等号成立,当时,,此时,当且仅当即时等号成立,所以函数值域为,故选项B不正确；对于选项C：的定义域为,,因为与均在上是增函数,所以在上是增函数,又在上恒不等于,则在上是减函数,则的最大值为,又因为,所以的值域为,故选项C正确；对于选项D：的定义域为,,设,则,,,则,的值域为,故选总结：值域与最值求法：（1）图像法（2）解析法（3）换元法（4）单调性法（5）基本不等式法（6）反解法对点训练1.（2021陕西省西安市高三下学期适应性考试）已知集合,集合,则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为,,所以,故选C.对点训练2.函数的值域为__________．答案解析：令，，则，所以原函数可化为，其对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，所以函数的值域为.故答案为：①；②考点三、解析式例1、求下列函数的解析式（1）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x),则f(x)=________．（2）已知是三次函数,且在处的极值为0,在处的极值为1,则=______．（3）已知f(x)的定义域为{x|x≠0},满足3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1,则函数f(x)=________．（4）已知函数是偶函数,且时,则时f(x)=________．（1）【答案】x2－1,x≥1.【解析】设t＝eq\r(x)＋1,则x＝(t－1)2,t≥1,代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1,x≥1.（2）【答案】【解析】设,则,由题意得,即,解得,所以.（3）【答案】eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8)(x≠0)【解析】用eq\f(1,x)代替3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1中的x,得3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1,由消去,解得f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8)(x≠0)．（4）【答案】【解析】由函数是偶函数,可得图象关于直线对称,所以.设,则,所以=,因为,所以.对点训练1.已知函数f（x）＝2x﹣1，g（x）=x2，x≥0−1，x＜0，求f[g（x）]和g[析式．【解答】解：当x≥0时，g（x）＝x2，f[g（x）]＝2x2﹣1，当x＜0时，g（x）＝﹣1，f[g（x）]＝﹣2﹣1＝﹣3，∴f[g（x）]=2x∵当2x﹣1≥0，即x≥12时，g[f（x）]＝（2x﹣1）当2x﹣1＜0，即x＜12时，g[f（∴g[f（x）]=(2x−1)对点训练2.（2021·云南高三二模（理））已知函数，若，且，设，则的取值范围为________.【答案】【解析】用表示出，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】画出图象如下图所示，，令，解得，由得，，且所以，结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为.所以的取值范围是.故答案为：总结：（1）给出的解析式求的解析式一般可用换元法,方法是设,反解出x,代入,有时反解x不容易,可考虑整体代入．（2）给出函数类型求解析式,可考虑用待定系数法.（3）若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)．（4）已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式,可在待求解析式的区间上任取x,然后找出一个含x的式子,使该式子的范围在已知解析式的区间上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质确定所求解析式.考点四、分段函数例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数，则（）A．B．若，则C．在上是减函数D．若关于的方程有两解，则【答案】ABD【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出的图象，可判断C、D的正误，即可得答案.【详解】对于A：由题意得：，所以，故A正确；对于B：当时，，解得a=1，不符合题意，舍去当时，，解得，符合题意，故B正确；对于C：做出的图象，如下图所示：所以在上不是减函数，故C错误；对于D：方程有两解，则图象与图象有两个公共点，如下图所示所以，故D正确.故选：ABD对点训练1、（2021江西省高三5月联考）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得函数在R上单调递增,则由可得,解得,故不等式的解集为.故选A．对点训练2.（2020•河西区三模）已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a，x＜1−x−2a，x≥1，若f（1﹣a）＝f（1+a），则A．−34 B．34 C．−【分析】由a≠0，f（1﹣a）＝f（1+a），要求f（1﹣a），与f（1+a），需要判断1﹣a与1+a与1的大小，从而需要讨论a与0的大小，代入可求【解答】解：∵a≠0，f（1﹣a）＝f（1+a）当a＞0时，1﹣a＜1＜1+a，则f（1﹣a）＝2（1﹣a）+a＝2﹣a，f（1+a）＝﹣（1+a）﹣2a＝﹣1﹣3a∴2﹣a＝﹣1﹣3a，即a=−3当a＜0时，1+a＜1＜1﹣a，则f（1﹣a）＝﹣（1﹣a）﹣2a＝﹣1﹣a，f（1+a）＝2（1+a）+a＝2+3a∴﹣1﹣a＝2+3a即a=−综上可得a=−故选：A．考点五、复合函数例5.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合与集合，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若，则或或1，∴，若，则或2，∴，∴.故答案为：3.对点训练1.(多选题)已知定义域内的函数f(x)满足f(f(x))-x>0恒成立,则f(x)的解析式不可能是 ()A.f(x)=2019xB.f(x)=eC.f(x)=x2D.f(x)=lg1+答案ACD对于A,f(f(x))=f2019x=x(x≠0)恒成立,所以f(f(x))-x对于B,因为ex>x,所以eex>ex>x,所以f(f(x))=ee对于C,f(f(x))=x4=x,此方程有x=0和x=1两个根,所以f(f(x))-x>0不恒成立,C正确;对于D,仅当x=0时,f(f(x))=x成立,所以f(f(x))-x>0不恒成立,D正确.对点训练2.【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数令，则下列说法正确的是（）A． B．方程有3个根C．方程的所有根之和为－1 D．当时，【答案】ACD【解析】由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D．【详解】对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确；对于B选项，令，则求的根，即求的根，因为方程没有实根，所以没有实根，所以选项B错误；对于C选项，令，则方程，即，得，，由方程得或，解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确；对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确，故选：ACD．考点六、函数概念：对应法则例1.下列所给图象是函数图象的个数为()A．1B．2C．3 D．4【答案】B【解析】①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,一对多,不是函数图象,②中当x＝x0时,y的值有两个,一对多,不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,是函数图象,故选B.总结：由函数的概念可知,对于函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许：(1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素对点训练1.（上海卷）设D是含数1的有限实数集，fx是定义在D上的函数，若fx的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，fA．3B．32C．33【答案】B【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=3故选：B．对点训练2.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对于A.令,符合函数定义；对于B,令,设,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设当则x可以取包括等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令,符合函数定义．故选AD.巩固训练一、单选题1.函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，（当且仅当，即时取等号），的值域为.故选：.2.（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.【详解】的定义域为；对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：B.3.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+2f（﹣x）＝x2﹣x，则f（x）＝（）A．x2+2x3 B．2x23+x【分析】令x为﹣x，由此建立关于f（x）与f（﹣x）的方程组，解出即可【解答】解：令x为﹣x，则f（﹣x）+2f（x）＝x2+x，与f（x）+2f（﹣x）＝x2﹣x联立可解得，f(x)=x故选：D．4．（2020秋•渝中区校级月考）对任意x∈R，存在函数f（x）满足（）A．f（cosx）＝sin2x B．f（sin2x）＝sinx C．f（sinx）＝sin2x D．f（sinx）＝cos2x【分析】根据函数定义，每个自变量只能对应唯一一个函数值．对于A、B、C可采用取特殊值来排除，对于D选项可利用换元法来求函数的解析式即可判断．【解答】解：对于A，取x=π4，则cosx=22；sin2x＝1，∴若取x=−π4，则cosx=22；sin2x＝﹣1，∴则f（22）＝1又f（2与函数的定义，“每个自变量x只能对应唯一一个函数值y”矛盾，故A错误；同理，对于B，取2x=π3，则sin2x=32；sinx=12，∴若取2x=2π3，则sin2x=32；sinx=32，∴故B错误；同理，对于C，取x=π3，则sinx=32；sin2x=32，∴若取x=2π3，则sinx=32；sin2x=−32，∴故C错误；对于D，令sinx＝t，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2t2，∴f（t）＝1﹣2t2，满足函数定义．故选：D．5（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，分别求出当,，，对应的函数解析式，进而得答案.【详解】根据题意，当,的面积为；当,的面积为；当,的面积为；当,的面积为；所以所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.故选:A.6.(2020山东潍坊一模)函数f(x)=x+1,-1<x<0,2x,x≥0,若实数a满足f(A.2B.4C.6D.8答案D解析：由题意可知,函数f(x)的定义域是(-1,+∞),所以a>0.当0<a<1时,f(a)=f(a-1)即2a=a,解得a=14,所以f1a=当a≥1时,f(a)=f(a-1)即2a=2(a-1),无解.综上,f1a=8多选题7.（2021·全国高一课时练习）已知f(x)=，则f(x)满足的关系有（）A． B．=C．=f(x) D．【答案】BD【解析】根据函数的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f(x)=，所以==，即不满足A选项；==，=，即满足B选项，不满足C选项，==，，即满足D选项．故选：BD8.（2021·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则（）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是【答案】BC【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】