奥数-概率与统计师

考点1频率与概率一、考点讲解：频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小.概率的性质：P（必然事件）=1,P（不可能事件）=0,OvP（不确定事件）＜1.频率、概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率.二、经典考题剖析：【考题1—1】（2004、成都郸县，3分）某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表，那么该班共有人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率，从表中你还能获取的信息是（写出一条即可）解：65；如：随机抽了1人恰好获得24〜26分的学生的概率为*规下1月〜ZI-阳护27—対疔3D井2320]R【考题1—2】（2004、贵阳，6分）质量检查员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等.（1）请采用计算器模拟实验的方法，帮质检员抽取被检产品；（2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品.解：（1）利用计算器模拟产生随机数与这批产品编号相对应，产生10个号码即可；（3）利用摸球游戏或抽签等.【考题1—3】（2004、鹿泉，2分）如图1—6—1是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个人球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射人那么该球最后将落人的球袋是（）1号議2号袋A.1号球袋B.1号議2号袋C.3号球袋D.4号球袋3号捷解：B点拨：球走的路径如图1—6—1

3号捷三、针对性训练:1、在对某次实验次数整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图1—6—2,这个图中折线变化的特点是，估计该事件发生的概率为.（2004,南山，3分）如图1—6—5的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（）（2004，南山，3分）掷2枚1元钱的硬币和3枚1角钱的硬币，1枚1元钱的硬币和至少1枚1角钱的硬币的正面朝上的概率是（）（2004,汉中，3分）小红、小明、小芳在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定，问在一个回合中三个人都出包袱的概率（2004，贵阳，3分）口袋中有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，从口袋中任取一只球，取到黄球的概率.（2004，南山，5分）周聪同学有红、黄、蓝三件T恤和黑、白、灰三条长裤，请你帮他搭配一下，看看有几种穿法.考点2：概率的应用与探究一、考点讲解：1•计算简单事件发生的概率：列举法：［列表、画树状图针对实际问题从多角度研究事件发生的概率，从而获给理的猜测二、经典考题剖析：【考题2—1】（2004、南宁，3分）中央电视台的“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖.参与这个游戏的观众有3次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）.某

观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）解：C点拨：由于20个商标中共有5个商标注明奖金，翻2次均获奖金后，只剩下3个注明奖金的商标,又由于翻过的牌不能再翻，所以剩余的商标总数为18个.因此第三次翻牌获奖的概率为6.【考题2—2】（2004、四省区，6分）一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球.请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率.红黄白红虻红虹黄红白黄黄黄a白红白黄白白解：列表如下：答：小亮两次都能摸到白球的概率为9三、针对性训练：1•在100张奖券中，有4张中奖，某人从中任抽1张，则他中奖的概率是（）1a、251a、25B、C、而1d、202•在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问1人，上学之前吃过早餐的概率是（）A.0.85B.0.085C.0.1D.850有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，试利用树状图和列表法，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.4•为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从塘中捞出100条做上标记，再放回塘中，待有标记的鱼完全混人鱼群后，再捞出200条鱼，其中有标记的有20条，问你能否估计出鱼塘中鱼的数量？若能，鱼塘中有多少条鱼？若不能，请说明理由.5.将分别标有数字1，2,3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.⑴随机地抽取一张，求P（奇数）⑵随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回人再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？第1课时随机事件的概率随机事件及其概率（1）必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件.（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件.（3）随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.

随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近于某个常数,n在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作p(a).(5)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是0<p(a)<1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.等可能性事件的概率基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是丄•如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：P(A)=mnn典型例题例1.1)一个盒子装有例1.1)一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是.正品的概率是(A.卑B.车C3A3a+ba+b某班有50名学生，C.J(a+b)3D-C-LaA3a-b其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？解：(1)从袋内8个球中任取两个球共有C2=28种不同结果，从5个白球中取出2个白球有C2=10种不同TOC\o"1-5"\h\z85结果，则取出的两球都是白球的概率为p(A)-%-154(2)ai_(a+b)3C(2)ai_(a+b)33)P=T535=C2750例2.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.若n=3,求取到的4个球全是红球的概率；若取到4个球中至少有2个红球的概率为、，求n.4解:(1)记“取到的4个球全是红球”为事件a.p(A)=鱼•C2=丄•丄=丄.TOC\o"1-5"\h\zC2C26106045(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B,“取到的4个球只有1个红球”为事件B］，“取到的4个球全是白球”为事件b2，由题意，得12n23(n+2)(n+1)1C1•C1C2C2n23(n+2)(n+1)P(B)=1-=.P(B)=2才•L+廿+nn41C2C2C2C24n+24n+2P(B)=C2车=n(n—1)2C2C26(n+2)(n+1)4n+2所以P(B)=P(B)+P(B2)=--等二n(n—1)

6(n+n(n—1)

6(n+2)(n+1)丄，化简，得7n2—11n—6=0,解得n=2,或n=—3(舍去)，故n=2.47

小结归纳实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件.随机事件在现实世界中是广泛存在的.在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性,即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率.如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率P(A)=m.n从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I,其中事件A包含的结果组成I的一个子集A,因此p(A)=Card(A)=m.从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数•因Card(I丿n此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事.3•利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数.第2课时互斥事件有一个发生的概率基础过关的两个事件叫做互斥事件.的两个互斥事件叫做对立事件.从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼止5相事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算.设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中至少一个发生就表示A+B发生.我们称事件A+B为事件A、B的和•它可以推广如下：“Ai+A2++An”表示这样一个事件，在同一试验中，Al，A2，，An中即表示Al+A2++An发生，事实上，也只有其中的某一个会发生.…如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于.即P(A+B)=P(A)+P(B).由于A+A是一个必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B)，故P(A+A)=P(A)+P(A)=1，于是P(A)=KA)_，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化•当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率.典型例题例1.某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率.解：①0.49:②0.03.例2.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：3只全是红球的概率.3只颜色全相同的概率.3只颜色不全相同的概率.3只颜色全不相同的概率.解：(1)记“3只全是红球”为事件A.从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3x3x3=27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为p(a)=丄.27(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C).故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C，由于事件A、B、C不可

能同时发生，因此它们是互斥事件.再由于红、黄、白球个数一样，故不难得p(B)=P(c)=P(A丿=丄，27故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=9-3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等.考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D,则事件D为“3只颜色全相同”，显然事件D与D是对立事件.—18•••P(D)=1—P(D)=1—=一.99要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有C1C1C1=6种，故3只颜色全不相同的概率为321血227~9'小结归纳互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用.要搞清两个重要公式：P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P(A)=1的运用前提.在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.第3课时相互独立事件同时发生的概率基础过关事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫独立事件.设A,B是两个事件，则A・B表示这样一个事件：它的发生，表示事件A,B同时发生，类似地TOC\o"1-5"\h\z可以定义事件A・AA.12n两个相互独立事件A,B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A・B)=一般地，如果事件A,A,,A相互独立，那么：P(A・AA)=.12n12nn次独立重复试验中恰好发生k次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(k)=CkPk(1—P)n—k.nn典型例题例1.如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N、N，当元件A、B、C都正常工作时，12系统N正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统N正常工作，已知元件A、12B、C正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统N、N正常工作时的概率.12Ni:LlILbJ£—IIt:—-—」可1解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90(I)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统叫正常工作的概率

P1=P(A•B•C丿=P(A丿•P(B丿•P(C丿故系统N正常工作的概率为0.648.=0.80x0.90x0.90=0.6481仃I)系统N正常工作的概率2P2-P(A)•1-P&•C)=P(A)・1-P(B)・p(C勺，p()=1-P(C)=1-0.90=0.10,P(B)=1—p(B)=1—090—010卩空=0-80xQ—0.10x0.10]=0.80x0.99=0.792.故系统正常工作的概率为0.792.例2.箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；求事件B：“三次中恰有一次取出红球”的概率.解:(①出：②拉1251251•当且仅当事件A与事件B互相独立时，才有p(AB)=p(A).p(B)，故首先要搞清两个事件的独立性.独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：p(k)=Ckpk(1-p)”-k，其中P是1次试验中某事件发生的概率，其实nnCkPk(1—P)n-k正好是二项式[(一p片p卩的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理.1.本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系.例如，若独立重复试验的结果只有两种(即A与A，A+A是必然事件)，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(k)=CkPk(1-P)n-k就是二项式[(1—P)+P]n展开式中的第k+1项，故此公nn式称为二项分布公式；又如两事件A,B的概率均不为0,1时，“若A,B互斥，则A,B一定不相互独立”、“若A,B相互独立，则A,B一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系.2•运用p(A)—m,p(A+B)—p(A)+p(B),Pp(Ab)B)=P(A)・P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条n件，切勿混淆不清.例如，当A,B为相互独立事件时，运用公式P(A+B)-P(A)+P(B)便错.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多