人教A版数学数学课件3-2-1第2课时函数的最大（小）值

第2课时函数的最大(小)值第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).(直观想象)3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况.问题:(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少?(2)设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化?(3)从函数图象上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?[知识点拨]知识点:函数的最大(小)值的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)∀x∈I,都有f(x)≤M;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.名师点析

若y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)的值域是[f(a),f(b)];若y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数y=f(x)的值域是[f(b),f(a)].微练习已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2答案

C解析

由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.课堂篇探究学习探究一利用函数的图象求函数的最值例1已知函数

求f(x)的最大值、最小值及函数的值域.解

作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.因此函数的值域是[0,1].反思感悟

图象法求最值的基本步骤

变式训练1已知函数(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解

(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究二利用函数的单调性求最值例2已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.解

(1)∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.反思感悟

1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.延伸探究

本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;当2<x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(2,3]上单调递增.探究三与最值有关的应用问题例3一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y与x的函数关系式;(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?解

(1)当0<x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x.(2)当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16时,ymax=156.而当x>20时,160-x<140.故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元.反思感悟

解函数应用题的一般程序(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)解

(1)设月产量为x台,则总成本为20

000+100x,∴当x=300时,f(x)max=25

000;当x>400时,f(x)<60

000-100×400<25

000.∴当x=300时,f(x)max=25

000,即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25

000元.

素养形成利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例

求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.【规范答题】解

y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图1.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图2)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.当1<a≤2时,结合图象(如图3)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a>2时,函数在[0,2]上单调递减,如图4.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.方法点睛

1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:对称轴x=h与[m,n]的位置关系f(x)的单调性最大值最小值h<m在[m,n]上单调递增f(n)f(m)h>n在[m,n]上单调递减f(m)f(n)m≤h≤nm≤h<在[m,h]上单调递减,在(h,n]上单调递增f(n)f(h)

h=f(m)或f(n)f(h)<h≤nf(m)f(h)变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.解

由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:当t+1≤1,即t≤0时,如图1所示,此时函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当

即0<t<1时,如图2所示,此时,函数f(x)在区间[t,1]上单调递减,在区间(1,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图3所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.

当堂检测答案

A2.函数y=|x+1|+2的最小值是(

)A.0 B.-1答案

C解析

y=|x+1|+2的图象如图所示.由图可知函数的最小值为2.3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(

)A.[0,3] B.[-1,0]C.[-1,+∞) D.[-1,3]答案

D解析

∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值-1,当x=3时,函数取得最大值3,故函数的值域为[-1,3],故选D.答案

11解析

f(x)在区间[1,2]上单调递增,其最大值为f(2)=10;f(x)在区间[-4,1]上单调递减,其最大值为f(-