第七章非线性系统分析

第七章非线性系统分析第1页，课件共43页，创作于2023年2月二、典型非线性特性特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。输入输出放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。1、饱和特性饱和特性对系统性能的影响（1）使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。（2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降第2页，课件共43页，创作于2023年2月饱和非线性对系统的影响：饱和非线性使系统在大信号作用下的等效增益下降，严重的可以使系统丧失闭环控制作用。

第3页，课件共43页，创作于2023年2月输入输出2、死区特性（不灵敏区特性）特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；等等。死区特性对系统性能的影响：（1）增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。（2）减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向第4页，课件共43页，创作于2023年2月输入输出输出输入输出输入输出输入4、继电器特性理想继电器

具有饱和死区的单值继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性第5页，课件共43页，创作于2023年2月具有死区和滞环的继电器的数学表达式第6页，课件共43页，创作于2023年2月继电器特性对系统性能的影响可利用继电控制实现快速跟踪。带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果.第7页，课件共43页，创作于2023年2月6.2描述函数一、描述函数的定义

（1）描述函数的基本概念设非线性环节的输入信号为正弦信号，其输出一般为非周期正弦信号，可以展开为傅氏级数

若非线性环节输入输出的静态特性曲线是奇对称的，即，于是输出中将不会出现直流分量，从而。式中：第8页，课件共43页，创作于2023年2月若线性部分的具有低通滤波器的特性，从而非线性输出中的高频分量部分被线性部分大大削弱，可以近似认为闭环通道中只有基波分量在流通，即随着n的增大，谐波分量的频率越高，其幅值、越小。可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即式中：

（2）描述函数的定义类似线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用来表示。显然，时，为复数。第9页，课件共43页，创作于2023年2月（3）描述函数的应用条件①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个线性环节串联的闭环结构。②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。③系统的线性部分具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。二、描述函数的求法描述函数求解的一般步骤是：①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的数学表达式。②利用傅氏级数求出的基波分量。③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数。第10页，课件共43页，创作于2023年2月典型非线性环节的描述函数

1饱和非线性：饱和特性的描述函数为第11页，课件共43页，创作于2023年2月2死区非线性死区特性的描述函数为：

第12页，课件共43页，创作于2023年2月3滞环特性

滞环非线性环节的描述函数为

其中第13页，课件共43页，创作于2023年2月4继电特性

继电特性的描述函数为

(1)．单值继电特性单值继电特性在正弦输入作用下的输出波形

第14页，课件共43页，创作于2023年2月非继电特性的描述函数为

(2)．非单值继电特性非单值继电特性在正弦输入作用下的输出波形

第15页，课件共43页，创作于2023年2月典型非线性特性的描述函数理想继电器特性的描述函数傅氏展开斜对称、奇函数A0=An=0第16页，课件共43页，创作于2023年2月饱和特性死区特性死区饱和特性第17页，课件共43页，创作于2023年2月非线性增益I非线性增益II第18页，课件共43页，创作于2023年2月理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性第19页，课件共43页，创作于2023年2月三、组合非线性特性的描述函数复杂非线性特性的描述函数求解，常常可以分解为基本连接形式的简单描述函数，然后再按照连接方式，求出组合非线性特性的描述函数。同样，简单非线性基本连接形式有串联、并联。（1）非线性特性的并联计算设输入为，则两个非线性环节的基波分量分别为输入信号乘以各自的描述函数，即总的基波分量为

总的描述函数为第20页，课件共43页，创作于2023年2月（2）非线性环节的串联

两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。[例1]如下图两个非线性特性相串联由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性，可见，第21页，课件共43页，创作于2023年2月于是，等效非线性特性的描述函数为第22页，课件共43页，创作于2023年2月6.3非线性系统的描述函数法

通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。

一、非线性系统的稳定性在上述所示的非线性系统结构中，非线性部分N可以用描述函数表示，线性部分则用频率特性表示。由闭环系统的结构图，可得到系统的闭环频率特性如下：第23页，课件共43页，创作于2023年2月其闭环特征方程为

从而有上式称为非线性特性的负倒描述函数。

对比在线性系统分析中，应用奈氏判据当满足G(jω)＝-1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然-1/N(A)相当于线性系统的（-1，j0）点。区别在于，线性系统的临界状态是（-1，j0）点，而非线性系统的临界状态是-1/N(A)曲线。第24页，课件共43页，创作于2023年2月非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)轨迹不包围G平面的(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统(-1,j0)?第25页，课件共43页，创作于2023年2月利用奈氏判据判别非线性系统稳定的方法：首先求出非线性环节的描述函数N(A)，然后在极坐标图上分别画出线性部分的G(jω)和非线性部分的-1/N(A)曲线，并假设G(s)的极点均在s左半平面，则(1)若曲线G(jω)不包围曲线-1/N(A)，则非线性系统是稳定的；(2)若曲线G(jω)包围曲线-1/N(A)，则非线性系统是不稳定的；(3)若曲线G(jω)与曲线-1/N(A)相交，则在理论上产生等幅振荡，或称为自振荡第26页，课件共43页，创作于2023年2月二、自激振荡的分析与计算

由上述分析可知，当线性部分的频率特性与负倒描述函数曲线相交时，非线性系统产生自激振荡。下面进一步分析自激振荡的条件和自激振荡的稳定性。①自激振荡条件设非线性部分的输入函数为第27页，课件共43页，创作于2023年2月由描述函数的定义可知，非线性环节的输出信号基波分量为

而线性部分的输出信号为若假设系统存在自激振荡，此时应有，故结构图应该变为即有

于是这是自激振荡的条件，把条件中幅值条件和相角条件综合起来，就是第28页，课件共43页，创作于2023年2月②自激振荡的稳定性自激振荡的稳定性指，当非线性系统受到扰动作用而偏离原来的周期运动状态，当扰动消失后，系统能够回到原来的等幅振荡状态的，称为稳定的自激振荡。反之，称为不稳定的自激振荡。如右图所示，线性部分的频率特性与负倒描述函数曲线有两个相交点、，这说明系统有两个自激振荡点。对于点，若受到扰动使幅值A增大，则工作点将由点移至a点。由于a点不被包围，系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A自动减小，工作点将沿曲线又回到点。反之亦然。所以点是稳定的自激振荡。同理，点是不稳定的自激振荡。

第29页，课件共43页，创作于2023年2月判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A增大的方向沿曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A增大的方向沿曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。③自激振荡的计算对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具体的计算方法是：振幅可由曲线的自变量A来确定，振荡频率由曲线的自变量来确定。[例2]具有理想继电器特性的非线性系统如下所示，其中线性部分的传递函数为，试确定自激振荡的幅值和频率。第30页，课件共43页，创作于2023年2月解：继电器非线性的描述函数为负倒描述函数为当时，，当时，，因此当时，曲线为整个负实轴。线性部分的频率特性为画出和曲线如下图，由图可知，两曲线在负实轴上有一个交点，且该自激振荡点是稳定的。令，即求得自激振荡频率。将代入的实部，得到第31页，课件共43页，创作于2023年2月由即有于是求得自激振荡的幅值为自激振荡频率为第32页，课件共43页，创作于2023年2月试求：①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；②当K为何值时，系统处于稳定边界状态。非线性饱和特性参数a=1、k=2非线性分析举例2第33页，课件共43页，创作于2023年2月相交于稳定自振交点mA＝a时A

∞时

负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-∞)。第34页，课件共43页，创作于2023年2月a/A=0.24A=4.38A=4.38非线性饱和特性参数a=1、k=2稳定自振交点m:第35页，课件共43页，创作于2023年2月临界状态下，轨迹在负实轴上的交点nK=3第36页，课件共43页，创作于2023年2月二、非线性特性的应用非线性阻尼控制

非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果第37页，课件共43页，创作于2023年2月非线性阻尼下的阶跃响应未引入微分反馈引入微分反馈非线性阻尼第38页，课件共43页，创作于2023年2月①试分析系统稳定性；②如果系统出现自持振荡，如何消除之？K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l。三、改善非线性系统性