上海中学自招真题解析

上海中学自主招生试题1、因式分解：6x311x2x4 ．【答案】x13x42x1．x1是方程6x311x2x40(x1)，得到(x1)(6x25x4，对(6x25x4用十字相乘可以得到原式等于(x1)(3x4)(2x1)．2、设ab0，a2b24ab，则ab ．ab【答案】3．(ab)2

2ab

b)2b)2

6ab3ab0，2ab3ab0，所以ab ．3ab3、若x2x10，则x32x23 ．4．x32x23x2x1)(x14，而由条件(x2x1)(x104．4已知bc24abca，且a0，则bc ．a2．【解析】令abmcan，则cbmn，代入bc24abca中得mn2n，mn20，mn，abca，即2abc，bc2．a后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．4．932224．3 3 3 936、直线l:y3x 与x、y轴交于点A、B，AOB关于直线AB对称得到ACB，3则点C的坐标是 ．3 【答案】3 22,．由于AOBABACAO，BCBO．设C(mn，则可列方程组3m33(m)2n2

，解得 2，另一解与O重合，舍去．因此C(3, )．m2(n3)23

n 3 22 27ABCDAD9AB12A、C两点重合，折痕长是 ．45．4ACABCDMNMBx，MCMAx29212x)2x21DN21MECD，8 8EMECBMEBC9CEBM21．可知8ME2NE292(27)24NECDDNCE27而MNME2NE292(27)244 4 48nnnn是奇数，则将它乘2得到3n1，不断重复这样的运算，如果对正整数n（视为首项）按照上述规则施换（些能多出第8为1则n的有能值 128，21，20，3，16，2．k2kk1．3k1必为奇数，即k4mod6，317次即可．9、正六边形ABCDED的面积是6平方厘米，联结AC、CE、EA、BD、DF、FB，求阴影部分小正六边形的面积为 ．【答案】2cm2．3ABCDEF的相似比为1: ，因此面积比为1:3．因为3ABCDEF的面积是6cm2，所以阴影部分的面积为632(cm2)．10y2x24mx4mymxxyy至少有一个是正1 2 1 2数，m的取值范围是 ．【答案】m4．x0y14my20，4m0，m4，yx4m0，1 4x0y10x0；若0m4y20，x0y10，4m284m0，解得0m4；m0y20x0恒成立；m4．a，b，c是互不相等的实数，x是任意实数，化简：xa

xb

xc2 ．abac1．

cbabxa

cacbxb2

xc2【解析】令fx mx2nxk，abac cbab cacbfafbfc1，即ma2nak1mb2nbk1，mn0

fx1．mc2nck1

k112、已知实数a，b满足a2abb21，taba2b2，则t的取值范围是 ．【答案】3t1．3【解析】方法一：考虑基本不等式a2b22ab．a2b21ab2ab，则1ab1，3又 a2b22ab1，3t3其中a1，b1时，t3成立；ab 3时，t1成立．3 3方法二：逆用韦达定理．bt1，ab2t30，2 2t32t3，abt32

t3xt10的两个根，2 2t34t10，解得t1，2 2 33t1．3（1）1的正五边形对角线长；（2）求sin18．）51（2）51．2 4（1）ABCDEACBEM．可以计算得到ABMABC36，因此ABM ACB，可得AB2AMAC．同时，BMCCBM72BCMC1ABBCCM1，ACxAB2AMAC可列方程12x(x1x去51．2（2）sin18cos72．在（1）的五边形中，

51（另一负根舍2

51．作CHBMHBMC中2BHHM1BM

51．因为CBM72，所以sin18cos72BH

51．2 4 BC 414、（1）fxx3ax2bxc0f1f2f33c的取值范围；（fxx4x3x2xdf0f20f330f0f．（1）6c9

（）81．

0f1f2f33，fxk0x123，fxkx1x2x3，展开得ck6，6c9；（2）fx10x0x12,3，4xpfx10xxpx1x2x3，fxxpx1x2x310x，f10f610p9871006p789608104．1（12）类似给出背景知识：平面AxByCzD0；球：xa2yb2zc2R2；AaBbCcDA2B2C2点a,b,c到平面:AaBbCcDA2B2C2球心到平面的距离为ddRdRdR时，球与平面相离；问题1：若实数m、n、k满足mnk1，求m2n2k2xy1问题2解程 xy1x1

1xyz．zz2【答案（1 1 2）y2．）3

z3（1）条件可转化为点(mnkxyz10上，而m2n2k2的最小值xyz10的距离，d|1010