专题01 集合（教师版）

专题01集合（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2题,5分元素的性质、集合的子集无2022年新I卷，第1题,5分集合的交集根号不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集单绝对值不等式的解法2021年新I卷，第1题,5分集合的交集无2021年新Ⅱ卷，第2题,5分集合的交集、补集无2020年新I卷，第1题,5分集合的并集无2020年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系2.能正确处理含参的分类讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式和简单的含绝对值的不等式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。

知识讲解定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）集合与元素的表示集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法是集合的元素属于集合不是集合的元素不属于集合常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）正整数集或整数集有理数集实数集集合中元素的性质确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。互异性一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。无序性组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。集合的表示方法列举法我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。数学表达式为：，其中为代表元素，为共同特征。子集一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作.读作“A含于B”(或“B包含A”).真子集如果集合,但存在元素,我们称集合A是集合B的真子集，记作或，读作“真含于或（真包含）”集合相等如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”),即.可用Venn图1表示.图1交集一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作(读作"A交B”),即，可用Venn图2表示图2补集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作可用Venn图3表示图3并集的运算交集的运算补集的运算德摩根定律考点一、判断元素与集合的关系1．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）设全集，若集合满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.【详解】由题意可得：，显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.故选：C2．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知集合，且，则a可以为（

）A．－2 B．－1 C． D．【答案】B【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.【详解】∵，∴，∴，可知，故A、C、D错误；，故B正确.故选：B1．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意判断集合中的元素情况，即可判断答案.【详解】由，可知,不同时在集合中，集合中都不含5，故错误，D正确.故选：D．2．（2023·全国·校联考三模）已知全集，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据补集的概念结合元素与集合的关系即可得答案.【详解】因为，所以.又，所以.所以，故ABD错误，C正确.故选：C.考点二、集合中元素的特性1．（2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.【详解】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故，，，故选：B.【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.1．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】让集合中每个元素等于1，求得，检验符号集合中元素的互异性，得的值，从而可得结论．【详解】①，∴，，则，不可以，②，∴，，则，可以，或，∴，，则，不可以，③，，，则，不可以，或，∴，，则，不可以，∴，故选：B．【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合元素的互异性是解题关键．2．（2023·全国·高三专题练习）集合，若，则（

）A． B．3或 C．3 D．3或或5【答案】A【分析】由得，分类讨论：当时，，经验证不合题意，当时，得或，经验证符合题意.【详解】因为，所以，当时，，此时，，，不合题意，当时，或，当时，，，符合题意，当时，不满足元素的互异性.综上所述：.故选：A.考点三、集合间的基本关系1．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.2．（2023·重庆·校联考三模）数集的非空真子集个数为（

）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】C【分析】利用集合中含有个元素，则它的非空真子集个数为即可求解.【详解】因为集合中含有个元素，所以集合的非空真子集个数为.故选：C3．（2023·江苏南京·统考二模）集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】确定，再计算子集个数得到答案.【详解】，故子集个数为.故选：B4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根据集合相等的含义分别求出，然后可得答案.【详解】因为，，所以，解得，所以1．故选：B．1．（2023·湖南怀化·统考二模）已知集合，则的真子集共有（

）A．3个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【分析】先利用交集运算求解交集，再根据交集的元素个数来求解答案.【详解】因为，所以，所以的真子集共有个.故选：C.2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由集合的包含关系判定即可.【详解】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而说明中元素都在集合中，故.故选：B.3．（2023·江苏·统考一模）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.【详解】解：因为，因为，所以集合是由所有奇数的一半组成，而集合是由所有整数的一半组成，故.故选：B考点四、集合的基本运算1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D3．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【详解】[方法一]：直接法因为，故，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．1．（2023·湖南·校联考二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的定义域可求集合，再由集合的交集的定义可求解.【详解】因为，又，所以．故选：C．2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若集合，则＝（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先化简两个集合,再利用交集运算求解答案.【详解】因为,所以，所以.故选：C.3．（2023·湖南常德·二模）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据并集的定义即可得解.【详解】因为集合，，所以.故选：C.4．（2023·河北唐山·统考二模）已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据并集的定义求解．【详解】由已知，故选：B．5．（2023·山西临汾·统考二模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数定义域及其单调性可得，由绝对值不等式解法可得，再利用并集运算即可得出结果。【详解】易知不等式的解集为，即可得；由可得，即，所以；所以.故选：B6．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）设全集，若集合满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.【详解】由题意可得：，显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.故选：C7．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知集合，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据全集的定义和运算即可求解.【详解】由，，得或.故选：C.8．（2023·河北邯郸·统考三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，根据补集和交集的概念可求出结果.【详解】由得或，则或，则，又，所以.故选：A9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据绝对值不等式的解法求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】或，，则，所以.故选：D.10．（2023·海南·统考模拟预测）已知全集，集合，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】先通过Venn图可得到所求的是，然后化简集合，最后利用补集，交集的定义进行计算即可.【详解】Venn图中阴影部分表示，因为或，所以，，于是．故选：C考点五、集合新定义1．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】C【分析】根据集合新定义求解即可.【详解】根据题意，因为，，所以.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.【详解】因为，，所以，故中元素的个数为.故选：B.1．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且，已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合且，，所以故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算，若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案.【详解】解：因为，所以或所以或，或所以或，，代入验证，故.故选：D.考点六、集合多选题1．（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；由可得，故选项正确；因为且，所以，则，故选项正确；由可得：不一定为空集，故选项错误；故选：.2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A，B均为R的子集，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】如图所示根据图像可得,故A正确；由于，故B错误；,故C错误故选：AD1．（2023·全国·高三专题练习）已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】首先根据已知条件得到集合与集合的包含关系，然后通过交并补运算逐一验证选项即可.【详解】∵∴，若是的真子集，则，故A错误；由可得，故B正确；由可得，故C错误，D正确．故选：BD．2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.【详解】由题意集合，，因为，所以当时，，即；当时，有，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC.【基础过关】1．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集的定义可求，故可得正确的选项.【详解】由题意可得，则．故选：A.2．（2023·河北·校联考一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由元素与集合的关系，及集合的交集、并集运算一一判定.【详解】显然，故，即A错误；，故，即B错误；由条件可知：，∴，即C错误；由条件可知：，∴，故D正确.故选：D3．（2023·福建莆田·统考二模）设全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知得出全集，即可根据集合的补集运算得出答案.【详解】解得，则全集，则，故选：D.4．（2023·山东威海·统考二模）已知全集，集合满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据补集的定义求出集合，再判断即可.【详解】因为，且，所以，所以，，，.故选：D5．（2023·湖北武汉·统考二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合，根据交集含义即可得到答案.【详解】由题意得，，则，故选：C．6．（2023·湖南常德·二模）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据并集的定义即可得解.【详解】因为集合，，所以.故选：C.7．（2023·浙江·统考二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集的含义即可得到答案.【详解】因为集合表示的是所有偶数的集合，所以，故选：D.8．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将中的元素代入即可得出，然后根据交集的运算，即可得出答案.【详解】当或时，；当时，.所以，，所以，.故选：B.9．（2023·重庆·统考二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别化简两集合，利用两集合交集的运算规则进行运算即可.【详解】，，故选：C.10．（2023·江苏南通·二模）若M，N是U的非空子集，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的交集结果可得集合的包含关系即可一一判断.【详解】因为，所以，A正确，B错误；因为M，N是U的非空子集，所以，，C,D错误，故选:A.【能力提升】1．（2023·重庆·校联考三模）数集的非空真子集个数为（

）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】C【分析】利用集合中含有个元素，则它的非空真子集个数为即可求解.【详解】因为集合中含有个元素，所以集合的非空真子集个数为.故选：C2．（2023·湖南·校联考二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的定义域可求集合，再由集合的交集的定义可求解.【详解】因为，又，所以．故选：C．3．（2023·福建漳州·统考三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式可分别求得集合，由并集定义可得结果.【详解】由得：，即；由得：，解得：，即；.故选：A.4．（2023·山东烟台·统考三模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出再求即可.【详解】由题知，，则.故选：B.5．（2023·湖北武汉·统考三模）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再由交集和补集的定义求解即可.【详解】，，，.故选：C.6．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】先求解得出，进而根据集合的交集运算，得出答案.【详解】由已知可得，，解可得，，所以，所以，.故选：C.7．（2023·江苏盐城·校考三模）集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：D.8．（2023·浙江·校联考三模）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由交集和补集的运算求解即可.【详解】由可得：，解得：，由可得：，解得：或，所以，，所以故选：D.9．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别化简集合，利用交集定义求解即可．【详解】集合集合，则，故选：D10．（2023·河北·校联考一模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,由集合的并运算即可求解.【详解】由于所以，，所以.故选：D.【真题感知】1．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B.2．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题）设集合