专题1 两直线的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1两直线的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】余角：如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余。【知识点二】补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补。【知识点三】余角和补角的性质：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。【知识点四】余角和补角的性质用数学语言表示：（1）则(同角的余角（或补角）相等)。（2）且则(等角的余角（或补角）相等)。【知识点五】对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。【知识点六】对顶角的性质：对顶角相等。对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。【知识点七】垂直：直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。【知识点八】垂线的性质：性质1：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称：垂线段最短。【知识点九】点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度【知识点十】同一平面内,两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。【考点目录】【考点1】余角、补角概念的理解；【考点2】对顶角、邻补角、垂直的理解；【考点3】利用余角与补角的性质求值；【考点4】利用对顶角和邻补角性质求值【考点5】利用平行线间距离相等求距离；【考点6】作图并求值【考点1】余角、补角概念的理解【例1】（2020上·七年级单元测试）如图所示，和都是直角．（1）填空：图中与互余的角有____________；（2）与互补吗？为什么？【答案】（1）∠AOB和∠COD；（2）互补，理由见分析【分析】（1）根据∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，解答即可；（2）求出∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOD，代入求出即可．解：（1）因为∠AOC和∠BOD都是直角，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，所以∠BOC与∠AOB互余，∠BOC与∠COD互余，所以图中与∠BOC互余的角有∠AOB和∠COD；（2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下：因为∠AOC和∠BOD都是直角，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，又因为∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°，所以∠AOD与∠BOC互补．【点拨】本题考查了角的有关计算．解题的关键是明确角的有关计算方法，以及能够根据图形进行计算，题目比较好，难度适中．【变式1】（2023上·全国·七年级课堂例题）一个锐角的余角比它的补角（

）A．相等 B．小 C．大 D．不能确定大小【答案】B【分析】设这个角是，则它的余角是，它的补角时，得出式子，求出即可．解：设这个锐角为，根据题意可得：，则它的余角比它的补角小，【点拨】此题考查了余角和补角的计算故选：．，解题的关键是熟练掌握余角和补角的定义．【变式2】（2024上·江西赣州·七年级统考期末）若的度数为，且与互余，则的度数为．【答案】【分析】本题考查余角的概率．理解互余的概念是解题的关键。根据余角定义：若两个角的和为，则这两个角互余，直接解答即可．解：∵与互余，，∴．故答案为：．【考点2】对顶角、邻补角、垂直的理解【例2】（2023下·安徽亳州·七年级统考）如图，直线、和相交于点；

（1）分别写出，的对顶角；（2）如果，，求和的度数．【答案】（1）的对顶角是，的对顶角是；（2）,【分析】（1）根据对顶角的概念即可解答；（2）直接利用根据邻补角互补、对顶角相等可得答案．（1）解：的对顶角是，的对顶角是．（2）解：∵，，∴，，∴,∴,∴．【点拨】本题主要考查了垂直定义、邻补角、对顶角等知识点，掌握邻补角和对顶角的定义和性质是解答本题的关键．【变式1】（2022下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（

）A． B．C．与互为补角 D．的余角等于【答案】D【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断．解：∵为对顶角，∴，故选项A正确；∵，∴，∵OF平分，∴，故选项B正确；∵，∴与互为补角，故选项C正确；∵，，∴的余角等于，故选项D错误；故选：D．【点拨】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解题的关键熟练掌握角平分线的定义和垂线的性质．【变式2】（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则．【答案】145【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案．解：的余角是，，，的邻补角是，，的对顶角是，，故答案为：145．【点拨】本意考查了余角、邻补角、对顶角，熟练掌握相关性质是解题关键．【考点3】利用余角与补角的性质求值【例3】（2023上·吉林·七年级东北师大附中校考期末）已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，．（1）求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据）证明：∵，∴____________，，又∵平分，∴__________．（________________）∴__________．（________________）∴是的平分线．（2）图中的补角是____________．【答案】（1）；；角平分线的定义；；等角的余角相等；（2）【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键．（1）根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线；（2）根据补角的定义进行求解即可．解：（1）证明：∵，∴，，又∵平分，∴．（角平分线的定义）∴．（等角的余角相等）∴是的平分线．故答案为：；；角平分线的定义；；等角的余角相等．（2）解：∵，，∴，∴的补角是．故答案为：．【变式1】（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）如图，，，下列说法中错误的是（

）A．与相等 B．与互余C．与互余 D．与互余【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和余角的定义逐一判断即可．解：∵，，∴，∴与相等，与互余，与互余，与相等，∴只有D选项说法错误，符合题意；故选D．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，余角的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式2】（2019上·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，，有下列结论：①与互为余角；②；③；④与互为补角；⑤与互为补角；⑥与互为余角，其中错误的有（填序号）．【答案】③⑤/⑤③【分析】根据互余、互补的性质，结合图形，对顶角的性质判断即可．解：∵，∴∠AOE=90°，∴与互为余角；故①正确；；故②正确；无法判定，故③错误；与互为补角；故④正确；无法判定与互为补角；故⑤错误；∵，∴∠AOE=90°，∴与互为余角；∵；∴与互为余角，故⑥正确，故答案为：③⑤．【点拨】本题考查了互余、互补的性质，对顶角的性质，熟练掌握互余、互补的性质是解题的关键．【考点4】利用对顶角和邻补角性质求值【例4】（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，平分，平分．（1）射线与是什么位置关系？为什么？（2）若，求的度数．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了对顶角．邻补角以及角平分线的定义（1）由平分、平分，可得出、，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出；（2）由结合邻补角互补、对顶角相等，可求出的度数，根据平分、平分，可得出的度数以及，再根据邻补角互补结合，可求出的度数．（1）解：．证明：平分，平分，，．，．．（2）解：∵，，∴．，，．平分，平分，，．，，．【变式1】（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）如图，直线与相交于点O，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据邻补角定义和对顶角性质求得和的度数，然后求和即可．解：∵，∴，∴．故选：C．【点拨】本题主要考查邻补角定义、对顶角性质等知识点，掌握对顶角的性质是解答本题的关键．【变式2】（2024上·重庆沙坪坝·七年级统考期末）如图，直线、相交于点G，，平分，若，则°．

【答案】30【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用平角定义进行计算，即可解答．解：∵，∴设，，∴，∵，∴，∴，∵平分​，∴，∴，解得：，∴，∴，故答案为：30．【考点5】利用平行线间距离相等求距离【例5】（2020下·湖南益阳·七年级统考期末）如图，已知直线m//n，A，B为直线m上的两点，C，P为直线n上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：；（2）如果A，B，C为三个定点，点P在直线n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有．理由是：．【答案】（1）与、与、与；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见分析．【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．解：（1）设平行线m与n之间的距离为h则和的边CP上高均为h，和的边AB上高均为h由同底等高得：与的面积相等，与的面积相等又，即与的面积相等故答案为：与、与、与；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．【点拨】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键．【变式1】（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图所示，，则平行线l与n间的距离是（

）．

A．线段的长度 B．线段的长度C．线段的长度 D．线段的长度【答案】A【分析】根据平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．解：∵于点，∴平行线与间的距离是线段的长度，故选项正确；∵线段、线段、线段都不是与之间的垂线段，故选项B、C、D都错误；故选：A．【点拨】本题考查了平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离是解答此题的关键．【变式2】（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图，，，且三角形面积为12，则点C到的距离为．

【答案】4【分析】先利用三角形的面积，求出其边上的高，再利用平行线间距离处处相等，得到C到的距离为4．解：如图，过A作于E，

∵三角形面积为12，，∴，∴，过C作于F，∵，∴，∴点C到的距离是4，故答案为：4．【点拨】本题考查了三角形的面积，点到线段的距离的概念，利用平行线间距离处处相等是解决本题的关键．【考点6】作图并求值【例6】（2022下·北京海淀·七年级统考期末）如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．（1）在直线上作点，使，连接；（2）在的延长线上任取一点，连接；（3）在，，中，最短的线段是______________，依据是______________．【答案】（1）图见分析；（2）图见分析；（3），垂线段最短【分析】（1）利用直角三角板作，再利用直尺连接即可得；（2）利用直尺连接即可得；（3）根据垂线段最短即可得．（1）解：利用直角三角板和直尺作图如下：

（2）解：利用直尺连接，作图如下：

（3）解：在，，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，故答案为：，垂线段最短．【点拨】本题考查了利用三角板和直尺作图、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．【变式1】（2018下·七年级课时练习）下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可；