2021-2022学年数学北师大版必修一练习：二十七实际问题的函数建模

二十七实际问题的函数建模

【基础全面练】(15分钟30分)

1.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设

这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到()

A.300只B.400只C.500只D.600只

选A.由题意得100=alog2(l+1),所以a=100,所以y=1001og2(x+

1).当x=7时，y=1001og2(7+1)=300.

2.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其

中变速车存车费是每辆每次0.8元，普通车存车费是每辆每次0.5元,

若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数

关系式是()

A.y=0.3x+800(0<x<2000)

B.y=0.3x+1600(0<x<2000)

C.y=-0.3x+800(0<x<2000)

D.y=-0.3x+1600(0<x<2000)

选D.由题意知，变速车存车数为(2000-x)辆次，则总收入y=0.5x

+

（2000-x）x0.8=-0.3x+1600（0<x<2000）.

3.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对x,y最适合的拟合函数是（）

A.y=2xB.y=x2-1

C.y=2x-2D.y=log2X

选D.根据x=0.50,y=-0.99，代入计算，可以排除A；根据x=2.01,

y=0.98，代入计算，可以排除B,C；将各数据代入函数y=log2x,

可知满足题意.

4.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙.研究某种鸟类的

专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关

系为v=a+log2M（其中a是实数）据统计该种鸟类在静止的时候其

耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2

m/s,其耗氧量至少需要_______个单位.

由题意a+log2^Q=0,a=-1,

即v=-1+log2M,

由-1+log2^>2,解得Q>80.

答案：80

5.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的

“经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物

的阅读量统计如下：

小明阅读“经典名著”的阅读量f(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满

足二次函数关系，部分数据如表所示.

t0102030

f(t)0270052007500

阅读“古诗词”的阅读量g(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满足如图

所示的关系.

⑴请分别写出函数f(。和g(。的解+析式；

⑵在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古

诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？

(1)因为f(0)=0,

所以可设f(t)=at2+bt,

代入(10,2700)与(30,7500),

解得a=-1,b=280.

所以f(。=-t2+280t,

又令g(t)-kt,(0<t<40),

代入(40,8000),解得k=200,令g(t)=mt+n(40<t<60)，代入(40,

8000),(60,11000),

解得m=150,n=2000,

[200t(0<t<40),

所以虱t)=

[150t+2000z(40<t<60).

⑵设h⑴为小明的总阅读量，小明对“经典名著”的阅读时间为

t(0<t<60),则对“古诗词”的阅读时间为60-t,

当0<60-t<40,即20<t<60时,h(t)=f(t)+g(t)=-t2+280t+

200(60-t)

=-t2+80t+12000=-(t-40)2+13600,

所以当t=40时，h(t)有最大值13600.

当40<60-t<60,即0<t<20时,h(t)=f(t)+g(t)=-t2+280t+

150(60-t)+2000=-t2+130t+11000,因为h(t)的对称轴方程为

t=65,所以当0<t<20时，h(t)是增加的，

所以当t=20时，h(t)有最大值为13200.

因为13600>13200,所以总阅读量h(t)的最大值为13600,此时对

“经典名著”的阅读时间为40分钟对，古诗词的阅读时间为20分钟.

【综合突破练】（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.一种药在病人血液中的含量保持1500mg以上才有效，而低于500

mg病人就有危险.现给某病人注射了这种药2500mg,如果药在血

液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么

从现在起经过_______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗

效.（附：1g2=0.301,1g3=0.4771,答案采取四舍五入精确到0.1

h）（）

A.2.3小时B.3.5小时

C.5.6小时D.8.8小时

选A.设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗

效.

则2500x0.8x=1500,08=0.6,lg0.8x=lg0.6,x1g0.8=1g0.6,

.6

lg0.6喧10lg2+lg3-1

=

x=]g0.8­8：3lg2-l

lg10

0.301+0.4771-1

二---------------七23

3x0.301-1…

2.已知A,B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速

度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度

返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，解+析式

是（；）

A.x=60t

B.x=60t+50t

60t,0<t<2.5,

C.x=S150,2.5<t<3.5,

J50-50(t-3.5),3.5<t<6.5.

[60t,0<t<2.5,

D.x=，

1150-50t,t>3.5.

选C.应分三段建立函数关系，当0<t<2.5时，x=60t；当2.5<t<3.5时,

汽车与A地的距离不变是150；当3.5〈区6.5时，x=150-50（t-3.5）.

3.今有一组试验数据如表所示：

t1.993.04.05.16.12

U1.54.047.51218.01

则能体现这些数据关系的函数模型是（）

A.u=log2tB.u=2*-2

t2-1

C.u=~D.u=2t-2

【解题指南】可以先根据表中数据建立平面直角坐标系，并描出各点,

并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画

它.

选c根据表中数据画出函数图像如图所示，由图可知，图像不是直

线上的点，排除D；图像不符合对数函数的图像特征，排除A；当t

t2-132-1

=3时，2,-2=23-2=6,~Y~--2-=4,由表格知当t=3时，

t2-1

u=4.04,模型u=丁能较好地体现这些数据关系.

20---------------------------------------------；-------------

15'I

10-1

5].

«246

4.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业

计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%,则该企业全年投入的

研发资金开始超过200万元的年份是（）

（参考数据：1g1.08-0.033,1g2-0.301,1g3-0.477）

A.2020B.2021C.2022D.2023

选C.设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则

21g2-lg3

150x(1+8%)n-2018>200,贝!]n>2018+।।m-2018+

1g1.VO

0.602-0.477

—万丽--2021.8,取n=2022.

【误区警示】取对数的时候运算易出错.

5.某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为

R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为130-（R）万件，要使

附加税不少于128万元，则R的取值范围是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

选A.根据题意，要使附加税不少于128万元,需（30-到

X160XR%>128,

整理得R2-12R+32<0,解得4<R<8,因此，实数R的取值范围是

[4,8].

【光速解题】选A.代入选项检验比较简便.

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数

据：

X1.99345.18

y0.991.582.012.353.00

现有如下5个模拟函数：(Dy=0.58x-0.16；(2)y=2X-3.02；(3)y=x2

-5.5x+8；④y=log2X；⑤y=+1.74

请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选

________（填序号）.

画出散点图如图所示.

4-

3-•

2-•*

*

1-•

~O-12345678~

由图可知上述点大体在函数y=log2x的图像上，故选择y=Iog2x可

以近似地反映这些数据的规律.

答案：④

7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的

质量M（千克）、火箭（除燃料外）的质量m（千克）的函数关系式是v=2

000.In（1+黑•当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大

速度可达12千米/秒.

由题意可得12000=2OOOln11+知，

In（1+制=6,解得1+黑=e6,

所以葛=e6-1.

答案：e6-1

【易错警示】本题易错点在没有注意单位，函数关系式中速度v的单

位是（米/秒），问题当中的单位是火箭的最大速度可达12千米/秒，所

以需要统一单位为（米/秒），再利用对数式与指数式互化.

8.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3

mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减

少.为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09

mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过_____小时才能开车.（精确到1

小时,参考数据炫2-0.30,1g3-0.48）.

设经过n小时才能开车，

由题意得0.3（1-0.25）咚0.09,

所以用咚0.3,所以nig|<lg1<0,

lg3-113

所以它二;二，即n*,

1g3-21g23

故至少经过5小时才能开车.

答案：5

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：

2019年9月份第x（l<x<30,x£N+）天的单件销售价格（单位：元）f（x）

20+x,l<x<15,

第x天的销售量(单位：件)g(x)=m-x(m为

50-x,15<x<30,

常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格x

销售量）.

⑴求m的值.

⑵该月第几天的销售收入最高？最高为多少？

20+x,l<x<15,

⑴销售价格f(x)=<

50-x,15<x<30,

第X天的销售量(单位：件)g(x)=m-x(m为常数),

当x=20时,

由f(20)-g(20)=(50-20)(m-20)=600,

解得m=4