课件：第4讲 3.6 劳斯稳定判据VIP

1、系统稳定的充分必要条件？

系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于s平面的虚轴之左。2、系统稳定的必要条件？

对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项式系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统，系统稳定的必要条件特征方程的多项系数均为正值且无零项即无缺项.若系统稳定,特征方程的多项式系数均为正值.一调速系统的特征方程为3.6劳斯稳定判据令系统特征方程为排劳斯表：一:结论（1）若劳斯表中第一列的系数均为正值,则系统稳定（2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在s右半平面上的个数，相应的系统为不稳定例1:判断一调速系统的稳定性,其特征方程为由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有2个根在s的右半平面，因而系统是不稳定的。解:列劳斯表例2设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412劳斯表介绍劳斯表特点4

每两行个数相等1

右移一位降两阶2

行列式第一列不动3

次对角线减主对角线5

分母总是上一行第一个元素7

第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε6一行可同乘以或同除以某正数排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：1）劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素不全为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。解决的办法是以一个很小正数ε来代替为零的这项。然后完成劳斯表的排列。结论：如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于该方程在s平面右半面上根的数目。劳斯判据系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数均大于零!例3:已知系统的特征方程为试判别相应系统的稳定性解：列劳斯表方程中有一对虚根，系统不稳定。劳斯表出现零行例4设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:①

有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:

2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!另两个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:

s1,2=±j劳斯表出现零行系统一定不稳定2）劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的。

例5：解:列劳斯表11令系统特征方程为排劳斯表：解：列劳斯表有一个根在垂直线s=-1的右方。是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直线s=-1的右方？例6:用劳斯判据检验下列方程二:应用求系统稳定的K值范围.欲使系统稳定则应满足应用之二:用劳斯判据确定系统参数

解不等式组得：例7:

已知系统的特征方程为解:列劳斯表

例8:系统结构图如图所示，试确定系统稳定时K的取值范围.解：系统的闭环传递函数

列劳斯表

按劳斯判据，要使系统稳定，应有K>0，且30-K>0，故K

的取值范围为0<K<30。其特征方程式为：

例9:pp104例题3-5已知一单位反馈控制系统,试回答:(1)

Gc(s)=1时,闭环系统是否稳定?(2)

若

闭环系统稳定的条件是什么?例10:系统结构图如图所示，判断系统的稳定性，如果不稳定，采取什么办法可使系统稳定？并确定参数变化范围。解:系统的闭环传递函数特征方程为:

由于特征方程缺