九年级数学上册专题14 圆的综合问题（专项突破）-解析版

/专题14圆的综合性问题【思维导图】◎突破一：圆与三角形的综合问题例．（2021·江苏南通·一模）(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．(2)如图2，按以下步骤画图：①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．【答案】(1)证明见解析(2)①作图见解析，②作图见解析，③【分析】（1）根据SAS证明△ACB≌△DEC即可．（2）证明△COD是等边三角形，即可解决问题．(1)证明：如图所示：∵∠ACB＝∠1+∠ACE，∠DCE＝∠2+∠ACE，∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A＝∠D；(2)解：如图2中，连接AC，BD．由作图可知，AC＝OA＝OC＝BD＝OD＝OB，∴△AOC，△BOD都是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴S△COD＝×22＝．【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．专训1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．(1)若的半径为5，求的长；(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，，即四边形是矩形，所以，

根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OD，根据HL得，即可得，所以，即可得．(1)解：如图所示，连接．∵，∴，∵，∴，∵为的切线，C为切点，∴，∴，∵，垂足为F，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∴．∵的半径为5，∴，∵是的直径，∴，∴在中，．(2)，证明如下证明：方法一：如图所示，∵，∴，∴．∵，∴为等边三角形，∴．∵，∴．∴在中，，∴，即；方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，

∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴CE=OD，∵，在和中，∴（HL），∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．专训2．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）如图，已知为不完整的直径，为弦且，，点M、N为上的点，连接，点N从点A开始沿优弧运动，当点M与点B重合时停止．已知，以为直径向内作半圆P．(1)求的半径；(2)当点N与点A重合时，求半圆P与所围成的弓形的面积；(3)①点P的运动路径长是___________；②当半圆P与相切时，求与夹角的正切值．【答案】(1)4(2)(3)①；②【分析】（1）根据为的直径，可得∠ABC=90°，再由锐角三角函数，即可求解；（2）设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，可证得△OAM是等边三角形，从而得到∠OAM=60°，AP=2，进而得到△APQ为等边三角形，再由半圆P与所围成的弓形的面积等于，即可求解；（3）①由BC=4，，可得点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，求出OP，即可求解；②设半圆P与相切于点D，连接PD，OP，分两种情况讨论：当点D在线段OC上时，当点D在线段OA上时，即可求解．(1)解：∵为的直径，∴∠ABC=90°，∵，，∴，∴BC=4，∴的半径为4；(2)解：如图，设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，由（1）得：OA=OM=4，∵，∴OA=AM=OM，∴△OAM是等边三角形，∴∠OAM=60°，AP=2，∵AP=PQ，∴△APQ为等边三角形，∴，AQ=2，∴半圆P与所围成的弓形的面积等于；(3)解：①如图，连接OP，OM，ON，∵BC=4，，∴当M与点B重合时，点N与点C重合，∴点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，由（1）得：OA=OM=ON=4，BC=4，∵，∴ON=AM=OM，∴△ONM是等边三角形，∴∠NOM=60°，∴，∴点P的运动路径长是；故答案为：②如图，设半圆P与相切于点D，连接PD，OP，当点D在线段OC上时，PD⊥OC，由（2）得：PD=2，由①得：，∴，∴；当点D在线段OA上时，PD⊥OA，同理，综上所述，与夹角的正切值为．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．专训3．（2021·安徽·一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半径r．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据圆周角定理得到，进而证明，得到，根据切线的性质得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；（2）根据三角形中位线定理求出OF，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．(1)证明：由圆周角定理得：，∵，∴，∴，∵DE与⊙O相切于点D，∴，∴，∴，∴，∴AD平分．(2)∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，即，解得：，（舍去），∴⊙O的半径r为5．【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．专训4．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图，以AE为直径的交直线于A、B两点，点C在上，过点C作于点D，连接，，，其中与交于点F，且平分．(1)求证：是的切线；(2)若，．①求的长；②求的值．【答案】(1)见详解(2)①3；②【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠OCA＝∠OAC，根据角平分线得出∠OCA＝∠OAC＝∠DCA，推出OC∥AB，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；（2）①由（1）知，∠OCD＝90°，所以∠OCA+∠ACD＝90°，因为AE是⊙O的直径，所以∠ACE＝90°，则∠OCA+∠OCE＝90°，所以∠ACD＝∠OCE，又OC＝OE，所以∠OCE＝∠E＝∠B＝∠ACD，可得△ADC∽△CDB，所以AD：CD＝CD：BD，则CD²＝AD•BD，又BD＝AD+AB＝9，所以CD2＝1×9＝9，即CD＝3．②过点C作CG⊥AE于点G，过点O作OH⊥BC于H，因为CD⊥AB，CD＝3，BD＝9，所以BC＝3，因为OH⊥BC，则CH＝BC＝，易证△ADC∽△ACE，所以AD：AC＝AC：AE，因为CD⊥AB，AD＝1，CD＝3，所以AC2＝10，则AE＝＝10，OA＝AE＝5＝OC；易证△ACD≌△ACG（AAS），所以AG＝AD＝1，CG＝CD＝3，OG＝OA﹣AG＝5﹣1＝4，因为OH⊥BC，OC＝5，CH＝，所以OH＝，易证△CFG∽△OFH，所以CG：OH＝CF：OF＝GF：FH，即3：＝CF：（4﹣GF）＝GF：（﹣CF），整理得，CF＝12﹣3GF，GF＝﹣3CF，解之，求解的CG和GF的值，因为CG⊥AE，CG＝3，GF＝，所以tan∠AFC＝＝．(1)证明：连接OC．∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA．∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC．∵CD⊥DA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°，即CD⊥OC，∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．(2)解：①由（1）知，∠OCD＝90°，∴∠OCA+∠ACD＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠OCA+∠OCE＝90°，∴∠ACD＝∠OCE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠E，∵∠E＝∠B，∴∠ACD＝∠B，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD：CD＝CD：BD，∴CD2＝AD•BD，∵AD＝1，AB＝8，∴BD＝AD+AB＝9，∴CD2＝1×9＝9，∴CD＝3．②过点C作CG⊥AE于点G，过点O作OH⊥BC于H，∵CD⊥AB，CD＝3，BD＝9，∴BC＝3，∵OH⊥BC，∴CH＝BC＝，∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠ACD＝∠AEC，∴△ADC∽△ACE，∴AD：AC＝AC：AE，∴AE＝，∵CD⊥AB，AD＝1，CD＝3，∴AC2＝10，∴AE＝＝10，∴OA＝AE＝5＝OC，在△ACD和△ACG中，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠CAD＝∠CAG，AC＝AC，∴△ACD≌△ACG（AAS），∴AG＝AD＝1，CG＝CD＝3，∴OG＝OA﹣AG＝5﹣1＝4，∵OH⊥BC，OC＝5，CH＝，∴OH＝，∵∠CFG＝∠OFH，∠CGF＝∠OHF＝90°，∴△CFG∽△OFH，∴CG：OH＝CF：OF＝GF：FH，∴3：＝CF：（4﹣GF）＝GF：（﹣CF），整理得，CF＝12﹣3GF，GF＝﹣3CF解得GF＝，∵CG⊥AE，CG＝3，GF＝，∴tan∠AFC＝＝，∴tan∠AFC的值为．【点睛】本题考查了切线的判定、平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是综合运用定理进行推理的能力，结合方程思想求解．◎突破二：圆与四边形的综合问题例．（2022·广东广州·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，弧AD=弧DC．(1)求边CD的长；(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．①尺规作图:作△ABE；（保留作图痕迹，不写作法）②连接DE，求线段DE的长．【答案】(1)(2)①图见解析②14【分析】（1）先求出直径AC，再得到△ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；（2）①以B点为圆心，BD为半径，和以A点为圆心，AD为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可；②过A点作AH⊥BD，先求出BD的长，再证明△BDE是等腰直角三角形，故可求出DE的长．(1)∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°，∴AC=，AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°∵弧AD=弧DC∴AD=CD∴△ADC是等腰直角三角形∴AD2+CD2=AC2解得CD=；(2)①如图，△ABE为所求；②过A点作AH⊥BD，∵弧AD=弧DC∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=45°∴△ABH是等腰直角三角形∵AB2=BH2+AH2，AH=BH∴AH=BH=3∵AD=CD=5∴在Rt△ADH中，DH=∴BD=BH+DH=∵△ABE与△ABD关于直线AB对称∴∠EBD=2∠ABD=90°，BE=BD=∴△BDE是等腰直角三角形∴DE=．【点睛】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰直角三角形的判定与性质及对称性的应用．专训1．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．(1)求圆⊙的半径；(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．【答案】(1)2.5(2)【分析】（1）连接AE，可得∠AEB=90°，从而得到四边形ADCE是矩形，进而得到AE=CD=4，CE=AD=2，设AB=x，则BC=x，BE=x-2，然后根据勾股定理可得AB=5，即可求解；（2）连接AM，可证得△ABM≌△CBM，从而得到AM=CM，∠BAM=∠BCM=90°，设AM=CM=m，则DM=CD-CM=4-m，然后根据勾股定理可得，即可求解．(1)解：如图，连接AE，∵AB圆O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠C=∠D=90°，∴∠C=∠D=∠AEB=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AE=CD=4，CE=AD=2，设AB=x，则BC=x，∴BE=x-2，∵，∴，解得：x=5，即AB=5，∴圆⊙的半径为2.5；(2)解：如图，连接AM，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵AB=BC，BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴AM=CM，∠BAM=∠BCM=90°，设AM=CM=m，则DM=CD-CM=4-m，∵，∴，解得：即，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．专训2．（2016·江苏无锡·九年级阶段练习）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（5，0），点E在OB上，∠AEO=45°，点P从点Q（﹣3，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t（t≥0）秒．（1）求点E的坐标；（2）当∠PAE=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【答案】（1）点E的坐标为（3，0）；（2）t=（3+）s或（3+3）s；（3）t=0或4或4.6秒时，⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切．【详解】试题分析：（1）在Rt△AOE中求出OE，即可得出点E的坐标；（2）如图1所示，当∠PAE=15°时，可得∠APO=60°，从而可求出PO=，求出QP，即可得出t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，只有一种情况，也就是⊙P与AE边相切，且切点为点A，如图2所示，求出PE，得出QP，继而可得t的值．试题解析：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=45°，∴OE=AO=3，∴点E的坐标为（3，0）；（2）如图1所示：∵∠PAE=15°，∠AEO=45°，∴∠APO=∠PAE+∠AEO=60°，∴OP=AOtan30°=，∴QP=3+，∴t=3+（秒）；如图2，∵∠AEO=45°，∠PAE=15°，∴∠APE=30°，∵AO=3，∴OP=3÷=3，∴t=QP=OQ+OP=（3+3）s；∴t=（3+）s或（3+3）s．（3）∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，∴点A为切点，如图3所示：∵AO=3，∠AEO=45°，∴AE=3∴PE=∴QP=QE﹣PE=6﹣6=0，∴当⊙P与四边形AEBC的边AE相切时，Q，P重合，t的值为0．∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，∴点A为切点，如图4所示：当点P与O重合时，⊙P与AC相切，∴t=3秒；当PA=PB时，⊙P与BC相切，设OP=x，则PB=PA=5﹣x，在Rt△OAP中，x2+32=（5﹣x）2，解得：x=1.6，∴t=3+1.6=4.6（秒）；∴t=0或4或4.6秒时，⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切．考点：圆的综合题．专训3．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）如图，在中，以为直径的半经过点，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)连接，，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据BC为直径可得，从而得到，再由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD=BC，可得四边形ACDE是平行四边形，即可求证；（2）过点作，过点F作，四边形ABCF是圆内接四边形，可得，从而得到DG=FG，再由，可得，，从而得到DF=2，在矩形ACDE中，可得∠DAE=∠ADC=∠DFH，从而得到，，从而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)证明∶为直径，，，，在平行四边形中，AB∥CD，AD=BC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵AC⊥AB，四边形是矩形，，，；(2)解：过点作，过点F作，在平行四边形中，，∵四边形ABCF是圆内接四边形，∴∠B+∠AFC=180°，∵∠DFC+∠AFC=180°，∴，，，∴DG=FG，∵，∴CG=2DG，，，∴，，，，在矩形ACDE中，AE∥CD，AE⊥DE，∴∠DAE=∠ADC=∠DFH，∴tan∠DFH=2，即DH=2FH，∴，，，，．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键．专训4．（2022·浙江湖州·八年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．(1)如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连接BD和CE，延长CE交BD于点F．求证：BD＝CE；(2)在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠AFD的度数；(3)如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)45°(3)PB﹣PCPA，理由见解析【分析】（1）由两个等腰直角三角形得到两个三角形全等的条件，即可；（2）利用（1）得到的结论，判断出点A，E，F，D四点共圆，即可；（3）利用三角形相似的判定和性质，再利用勾股定理，即可．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAB＝90°，在Rt△EAC和Rt△DAB中，，∴Rt△EAC≌Rt△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）解：如图1，由（1）有，Rt△EAC≌Rt△DAB，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE+∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝∠ABD+∠BEF＝90°，∵∠DAE＝90°，∴点A，E，F，D四点共圆，∴∠AFE＝∠ADE＝45°，∴∠AFD＝45°；（3）解：结论：PB﹣PCPA．理由：如图2，在PB上截取PM＝PC，由（2）有，∠BPC＝90°，∴CMPC，∠PMC＝45°，∴∠BMC＝135°，∵∠APB＝45°，∴∠APC＝135°，∴∠APC＝∠BMC，∵∠ACP+∠ACM＝∠BCM+∠ACM＝45°，∴∠ACP＝∠BCM，∴△APC∽△BMC，∴，∴BMPA，∴PB＝PM+BM＝PCPA，∴PB﹣PCPA．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、同弧所对圆周角相等、三角形相似的判定与性质，掌握这些才能正确解题．◎突破三：圆与函数的综合问题例．（2021·湖北荆门·模拟预测）我们把方程称为圆心为、半径长为的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点，且点的坐标为，与轴相切于点，过点，，的抛物线的顶点为．(1)求的标准方程；(2)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(3)连接，求的值．【答案】(1)(2)直线与相切，理由见解析(3)【分析】（1）连接、，过点作于点，设的半径为，根据与轴相切于点，可得四边形是矩形，从而得到，，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解；（2）先根据垂径定理可得到，从而得到抛物线解析式为，进而得到，然后分别求出AC、AE、CE的长，再利用勾股定理的逆定理，即可求解；（3）在中，利用锐角三角函数，即可求解．(1)解：如图1，连接、，过点作于点，设的半径为，与轴相切于点，轴，，，四边形是矩形，，，∵点的坐标为，∴OB=8，，，，即，解得：，，，的标准方程为；(2)解：直线与相切，理由如下：由（1）知：，，，，∴OF=5，∵OB=8，∴AF=BF=3，∴OA=2，，∴可设经过点、、的抛物线解析式为，∵点，则，解得：，，，如图2，连接，，，，，，，，，，，，即，为的半径，与相切于点；(3)解：如图2，由（2）知：，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，垂径定理，求正弦值，熟练掌握相关知识点，理解圆的标准方程是解题的关键．专训1．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【答案】(1)45°(2)①（4，0）或（8，4）；②【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的度数；（2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于、两点，由AH＝4=OH＝BH，得到坐标为（4，0）．连接，由，，得到坐标为（8，4）；②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题．(1)∵，点B为抛物线顶点，∴点B的坐标为（4，－4）．作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，∴∠AOB＝45°．(2)①，解得，，∴A点坐标为（8，0）．作OB的垂直平分线交⊙A于、两点，∵⊙A半径为4，AH＝4，∴点H在⊙A上，此时OH＝BH，∴点H与点重合，∴坐标为（4，0）．连接，∵，，∴，则坐标为（8，4），综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）．②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，∵点N为OM中点，∴．如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，∵点A、D横坐标相同，∴此时MD⊥x轴，∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4，∴，∴．【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．专训2．（2022·辽宁·沈阳市外国语学校一模）如图1，已知抛物线顶点A在x轴上，直线l：y=x-交抛物线于A，B两点，且AB=2(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交于C点，点P在抛物线上，且在第一象限，∠APC=45°，求P点坐标；(3)如图2，过点M（1，-1）作直线交抛物线与E、F，点N在抛物线上且NE∥x轴，连FN，试证明：直线FN过定点，并求定点的坐标．【答案】(1)y=（x-1）2(2)（2，1）(3)直线FN为y=kx+1-k=k（x-1）+1经过点（1，1），证明见解析【分析】（1）y=x-交x轴于A，则点A（1，0），设点B（m，m-），AB＝2，求出点B（1＋，3），即可求解；（2）∠APC＝45°，则点P在（1，1）为圆心半径为1的圆上，即可求解；（3）设直线FN为y＝kx＋b，直线FM为y＝mx−1−m，分别联立，再根据根与系数的关系得到FN的解析式，故可求解．(1)y=x-交x轴于A，令y=0，x-=0，解得x=1，则点A（1，0），设点B（m，m-），AB=2，则（m-1）2+（m-）2=（2）2，解得：m=1+（负值已舍去），故点B（1+，3），则抛物线的表达式为：y=a（x-1）2，将点B的坐标代入上式并解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=（x-1）2；(2)∵∠APC=45°，则点P在（1，1）为圆心半径为1的圆上，设P（m，n），则（m-1）2+（n-1）2=1，又∵n=（m-1）2，∴（n-1）2+n-1=0，解得：n=1，∴m=2，∴P点的坐标为（2，1）；(3)∵M（1，-1），∴设直线FN为y=kx+b，直线FM为y=mx-1-m，且M（x1，y1），M（x2，y2），联立，∴x2-（k+2）x+1-b=0，则x1+x2=k+2，x1x2=1-b，又∵EN∥x轴，∴E（2-x1，y1），联立，∴x2-（m+2）x+m+2=0，则2-x1+x2=m+2，（2-x1）x2=m+2，∴x1+x2=2+x1x2，∴k+2=2+1-b，b=1-k，∴直线FN为y=kx+1-k=k（x-1）+1经过点（1，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、根与系数的关系的运用等，其中（2），确定点P是圆上的点，是本题解题的难点．专训3．（2022·江苏无锡·一模）如图，抛物线经过，且与y轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是x轴的正半轴上一点，，求点P的坐标；(3)当点P是抛物线上第一象限上的点，，直接写出点P的坐标为______．【答案】(1)(2)点P的坐标为(3)点P的坐标为【分析】（1）把抛物线解析式设成交点式求解即可；（2）根据得到即可得到答案；（3）如图所示，取点M（9，0），由（2）可知，推出A、C、M、P四点共圆，再证明∠ACM=90°，得到AM是点A、C、M、P所在圆的直径，则A、C、M、P所在圆的圆心坐标为（4，0），半径为5，由此求解即可．(1)解：设抛物线解析式为，代入点C的坐标得：，∴，∴抛物线解析式为(2)解：∵，点C的坐标为（0，-3），∴，∴点P的坐标为（9，0）；(3)解：如图所示，取点M（9，0），由（2）可知，∴∠APC=∠AMC，∴A、C、M、P四点共圆，∵点A（-1，0），C（0，-3），M（9，0），∴AM=10，，，∴，∴∠ACM=90°，∴AM是点A、C、M、P所在圆的直径，∴A、C、M、P所在圆的圆心坐标为（4，0），半径为5，当