山东省临沂市周庄中学高三数学理上学期期末试题含解析

山东省临沂市周庄中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.【详解】由已知可得，设的夹角为，则有，又因为，所以，故选C.【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.2.已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（

）A.

B.C.

D.参考答案：A,的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于，，，,，，则，，选

3.已知Sn是等差数列{an}(n?N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是(

)(A)公差d<0

(B)在所有Sn<0中，S13最大

(C)满足Sn>0的n的个数有11个

(D)a6>a7参考答案：C4.若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D在第一象限作出幂函数的图象，在内取同一值，

作直线，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知

如图，

故选D．

5.已知，则向量在方向上的投影为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

向量在方向上的投影为，故选择A．6.函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可．【解答】解：函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题．7.设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=(

) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．解答： 解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．点评：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．8.长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，则侧棱AA1的长的最小值为(

)A．a B．2a C．3a D．4a参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+a2=0，由此利用根的判别式能求出侧棱AA1的长的最小值．【解答】解：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴2a2+t2+a2+（x﹣t）2=a2+x2，整理，得：t2﹣xt+a2=0，∵在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣4a2≥0，解得x≥2a．∴侧棱AA1的长的最小值为2a．故选：B．【点评】本题考查长方体的侧棱长的最小值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式的合理运用．9.设向量的模分别为6和5，夹角为等于（

） A． B． C． D．参考答案：C10.已知则“”是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：A解析：，注意不能推出。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为

.参考答案：-1或-512.（﹣）dx=ln2﹣．参考答案：【考点】定积分．【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限作差得答案．【解答】解：（﹣）dx==．故答案为：．13.等差数列中，已知，则．参考答案：【答案解析】1007

解析：由得：.【思路点拨】根据等差数列的性质：当，且时，求解.14.设点满足且，则的最大值为

.参考答案：515.设是单位向量，且，则向量的夹角等于____________参考答案：略16.设，向量，若，则_______.

参考答案：知识点：平面向量数量积的运算解析：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．【思路点拨】由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ。

17.某程序框图如上（右）图所示，该程序运行后输出的的值是

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

晋级成功晋级失败合计男16

女

50合计

（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.025k00.7801.3232.0722.7063.8415.024参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：

晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1﹣0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为X01234P（X=k）数学期望为，或（）．19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．考点：直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角．专题：计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想．分析：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．解答：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．20.（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲如图所示，圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.

(1)求证：△∽△；(2)如果，求的长．参考答案：【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．N1（1）见解析；（2）1解析：（1）

∽

（2）∽又因为为切线，则所以，.

【思路点拨】（1）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圆中同弧所对圆周角相等得出∠BAD=∠BCD，结合公共角∠EFD=∠EFD，证出△DEF∽△EFA（2）由（1）得EF2=FA?FD，再由圆的切线长定理FG2=FD?FA，所以EF=FG=1。21.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且，.（Ⅰ）求a1，a2;

（Ⅱ）求数列{an}的前n项和.判断,,是否为等差数列，并说明理由.参考答案：（Ⅰ）设数列的公比为，则

…………………2分

解得，

……3分

……4分

……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

则

………7分

数列,,是等差数列，证明如下：

………8分

，

,,成等差数列

……10分22.已知函数