非线性结构周期解共振峰值的优化方法

非线性结构周期解共振峰值的优化方法

非线性模态性质的求解方法工程中非线性结构的循环解算方法大致可分为两类：时间间隔方法（如射击法）和频率范围方法（如波形平衡法及其变体）。除了周期解的求解方法研究外,周期解的稳定性分析是很重要的当非线性结构某个参数连续变化时,连续延拓方法通常用于跟踪周期解。最近,文献[4]采用打靶法和伪弧长连续方法研究非线性系统的非线性模态性质。在渐近方法(AsymptoticNumericalMeth-od)框架内,文献[5]提出了一种结合谐波平衡法和HILL法的连续方法。在文献[6]中,谐波平衡法和伪弧长方法被用于分析几何非线性叶盘结构的自由和强迫振动特性。研究确定非线性结构共振峰值的方法是很有必要的。例如,Petrov应用谐波平衡法计算包括摩擦阻尼影响的失谐叶盘结构最坏振动情形为了克服重复求根计算和处理参数不确定问题,本文提出了一种非线性结构共振峰值求解方法。下面首先介绍确定非线性结构共振峰值的新方法,然后通过典型Duffing振子算例验证本文方法并通过几何非线性叶盘结构数值算例演示本文方法的优点,最后给出相关结论。1非线性系统周期说本节提出了确定非线性结构共振极值的方法,将确定非线性结构共振峰值问题转换为非线性约束优化问题,首次采用非线性代数方程组等式约束和稳定性不等式约束计算非线性系统的周期解。下面首先研究基于时域打靶法的非线性等式约束,其次分析基于状态转移矩阵稳定性分析方法的非线性不等式约束条件,然后综合非线性等式约束和不等式约束限制条件,给出基于时域打靶法和状态转移矩阵稳定性分析方法的共振峰值求解方法,最后采用OQNLP多重启全局优化算法求解该非线性约束优化问题。1.1刚度运动方程采用打靶法求解非线性系统的周期解,考虑具有n个自由度机械系统的运动方程式中M,C和K分别表示质量、阻尼和刚度矩阵;引入状态向量打靶法的实质是求解边界值问题,该边界值问题通过如下打靶函数定义式中打靶法的关键是寻找满足式(3)所示打靶函数的初始条件z1.2基于状态转移矩阵特征乘子求解采用状态转移矩阵法来判定周期解的稳定性。定义D为导算子,则状态转移矩阵式中通过对式(4)在一个周期内数值积分便得到状态转移矩阵。最终,便可计算得到状态转移矩阵在周期T处的N=2n个Floquet特征乘子:ρ其中ρ=[ρ采用Floquet理论,通过解式(4)所示的初始值问题,得到状态转移矩阵的特征乘子。最终,式(5)表示的周期解稳定性条件便构成了非线性约束优化问题的非线性不等式约束条件。1.3使用oqnlp多时间节点计算本文目标是求解非线性结构的共振峰值,所以式(3)表示的非线性代数方程组和式(5)表示的周期解稳定性条件必须联立。因而,寻求非线性结构中具有最大振动幅值的周期解可转化为下述非线性约束优化问题:式中‖u‖非线性约束优化问题式(6)的求解和有效计算是很重要的问题。在本文研究中,采用文献[8]的OQNLP多重启算法求解式(6)。OQNLP多重启算法优化过程分为两个主要阶段。在第一阶段计算所有试点的罚函数,从OptQuest数据库选择具有最好罚函数值的试点作为SQP算法的起始点。在主要迭代循环第二阶段,选取满足位移过滤和绩效过滤条件的试点启动局部搜索算法进行优化求解。OQNLP多重启算法的具体原理论述可参考文献[8]。2计算值的示例为验证本文方法,并演示其能力,本节给出2个数值算例。2.1duffing振子采用Duffing振子作为算例。为验证本文方法并分析其精度,本文方法结果将与文献[6]中HBM-ANM-HILL方法得到的结果进行比较。Duffing振子的运动方程为式中μ,β表示阻尼系数和非线性刚度系数;f表示力幅值。给定f=1.25,μ=0.1和β=1,使用HBM-ANM-HILL方法得到的Duffing振子的频率响应曲线如图1所示,其中H从图1中可观察到典型的骨架曲线。图1中在激励频率ω=2.44时,系统达到共振峰值2.624,并存在2个分叉点S1和S2。在激励频率ω=2存在多解C,D和E,其中D是不稳定的周期解。下面研究三种情形以验证本文方法:a找到共振峰值p为搜寻共振峰值P,式(6)中优化目标设置为具有稳定周期解的Duffing振子振动幅值最大化。需要确定的未知优化变量为初始条件z稳定性正则方程对于求解分叉点S1和S2,根据Floquet理论,分叉点的所有Floquet乘子的模的最大值等于1,考虑到数值精度,式(6)稳定性不等式约束条件更改为|max(|ρ|)-1|<10仿真结果及分析在计算多解集合C,D和E时,振动频率不包括在优化变量中,因而在非线性优化问题式(6)中只有2个优化变量,即初始位移和初始速度。在求解周期解D时,式(6)中周期解稳定性条件要改变符号以寻求不稳定的周期解。应用OQNLP多重启算法和SQP优化算法优化求解以上三种情形对应的周期解。优化算法设置为:序列二次规划方法最大迭代次数设置为600。非线性等式约束和非线性不等式约束误差ε设置为10在OQNLP多重启算法优化成功后,优化结果示于表1,为与HBM-ANM-HILL比较,表2列出了HBM-ANM-HILL对应结果。通过比较表1和2可知,虽然存在微量差异,本文方法与HBM-ANM-HILL方法得到的结果是一致的。表3列出了本文方法在这些周期解的非线性等式约束和稳定性不等式约束条件。由表3可知,所有打靶函数值的最大绝对误差为8.3933×10为与HBM-ANM-HILL方法对比,表4列出了该法得到的这些周期解的Floquet乘子。比较表3和4的Floquet乘子表明本文方法和HBM-ANM-HILL方法的结果是一致的,差异很小。由表3和4可知,解P,C,E是稳定的,因为Floquet乘子的模均小于1。对于周期解D,Floquet乘子的模最大值为2.2343。而分叉点S1和S2的Floquet乘子的模的最大值为1.0000。以上说明,通过改变稳定性不等式约束条件和优化目标,本文方法能正确地获取共振峰,分叉点和多解集合,包括不稳定周期解。图2给出了本文方法得到的周期解的时域响应及其与时域积分方法的位移绝对误差。由图2(b)可知,两种方法具有较好的一致性。本文方法在振动频率2.4396rad/s处达到共振峰值2.6239,通过与图1所示HBM-ANM-HILL方法相应结果比较可知本文方法正确地得到共振峰值点P。2.2约束响应和稳定性约束第二个数值算例研究具有几何非线性和不确定参数的叶盘结构振动问题。采用文献[6]中的典型叶盘结构,图3给出了几何模型。图3所示模型共有6个扇区叶片,每个扇区叶片根部采用固定支撑边界条件,该模型运动微分方程为式中u=[u采用文献[6]所示系统参数仿真值a=8.7662×10采用叶片刚度不确定,模拟形式为式中a(i)表示第i个叶片的刚度,v为考虑参数不确定对共振峰值的影响,不确定向量v不同阶次激励作用下优化解的非线性等式约束和稳定性不等式约束条件示于表6。由表6可知,非线性代数方程组等式约束和稳定性不等式条件均得到满足,优化解对应的Floquet乘子的模最大值都小于1,因而这些解是稳定的。对应于不同阶次激励作用下的系统时间历程响应示于图4。在阶次激励2作用下,2,4和6号叶片相对于其余3个叶片振动强烈。在3阶次激励作用下出现了强烈的振动响应局部