【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 相似三角形的基本六大模型(解析版)

相似三角形的基本六大模型考点一（双）A字型相似考点二（双）8字型相似考点三母子型相似考点四旋转相似考点五K字型相似考点六三角形内接矩形/正方形考点一（双）A字型相似1．（2021·山东临沂·三模）如图在△ABC中DE∥BC若AE＝2EC＝3则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．【详解】解：∵AE=2EC=3∴AC=AE+EC=5∵DEBC∴△ADE∽△ABC∴故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2021·安徽·安庆市石化第一中学九年级期中）图点H在BC上AC与BD交于点GAB＝2CD＝3求GH的长．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理由可证△CGH∽△CAB由性质得出由可证△BGH∽△BDC由性质得出将两个式子相加即可求出GH的长．【详解】解：∵∴∠A=∠HGC∠ABC=∠GHC∴△CGH∽△CAB∴∵∴∠D=∠HGB∠DCB=∠GHB△BGH∽△BDC∴∴∵AB=2CD=3∴解得：GH=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质平行线性质熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图在△ABC中点D在边AB上点E、点F在边AC上且DEBC．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2EF＝4AB＝6．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得则有进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知然后可得进而可证最后问题可求证．【详解】解：（1）∵DEBC∴∵∴∴DFBE；（2）∵AF＝2EF＝4∴由（1）可知AE=6∵AB＝6∴∴∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．4．（2021·江苏扬州·九年级期中）王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD当他走到点P时发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部当他向前再步行12m到达Q点时发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m两个路灯的高度都是9.6m．(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时他在路灯AC下的影子长是多少？【答案】(1)18m(2)3.6m【分析】（1）如图1先证明△APM∽△ABD利用相似比可得AP＝AB即得BQ＝AB则AB+12+AB＝AB解得AB＝18（m）；（2）如图2他在路灯AC下的影子为BN证明△NBM∽△NAC利用相似三角形的性质得然后利用比例性质求出BN即可．(1)如图1∵PMBD∴△APM∽△ABD即∴AP＝AB∵QB=AP∴BQ＝AB而AP+PQ+BQ＝AB∴AB+12+AB＝AB∴AB＝18．答：两路灯的距离为18m；(2)如图2他在路灯AC下的影子为BN∵BMAC∴△NBM∽△NAC∴即解得BN＝3.6．答：当他走到路灯BD时他在路灯AC下的影长是3.6m．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质要求学生能根据题意画出对应图形能判定出相似三角形以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等蕴含了数形结合的思想方法．5．（2022·湖南·宁远县水市镇中学九年级阶段练习）如图在中点分别在上且．（1）求证：；（2）若点在上与交于点求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC于是可得△AEG∽△ABD△AGF∽△ADC再根据相似三角形的性质即可推出结论．【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中∵∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC∴∠AEF=∠ABC∴EF∥BC∴△AEG∽△ABD△AGF∽△ADC∴,∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质属于常考题型熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．6．（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）中现有动点P从点A出发沿AC向点C方向运动动点Q从点C出发沿线段CB也向点B方向运动如果点P的速度是4cm/s点Q的速度是2cm/s它们同时出发当有一点到达所在线段的端点时就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少秒时P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若的面积为求关于t的函数关系式．（3）当t为多少时以点CPQ为顶点的三角形与相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根据题意得到AP=4tcmCQ=2tcmAC=20cmCP=（20-4t）cm根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为ts则CP=（20-4t）cmCQ=2tcm利用三角形的面积计算公式即可得出S=20t-4t2再结合各线段长度非负即可得出t的取值范围；（3）分①和②利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）解：由运动知AP=4tcmCQ=2tcm∵AC=20cm∴CP=（20-4t）cm在Rt△CPQ中即；∴秒或秒（2）由题意得则因此的面积为；（3）分两种情况：①当时即解得；②当时即解得．因此或时以点、、为顶点的三角形与相似．【点睛】本题考查了勾股定理相似三角形的性质用方程的思想解决问题是解本题的关键．7．（2022·上海·九年级专题练习）已知：矩形ABCD中AB＝9AD＝6点E在对角线AC上且满足AE＝2EC点F在线段CD上作直线FE交线段AB于点M交直线BC于点N．（1）当CF＝2时求线段BN的长；（2）若设CF＝x△BNE的面积为y求y关于x的函数解析式并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形若能请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）0＜x＜3；3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【分析】（1）由得△CFE∽△AME△NCF∽△NBM进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形作EG⊥BC于G根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BEEM＝BEEN＝BM三种可根据BM＝9﹣2CF求得．【详解】解：（1）如图1在矩形ABCD中BC＝AD＝6∴△CFE∽△AME△NCF∽△NBM∴,∴AM＝2CF＝4∴BM＝AB﹣AM＝5∴∴BN＝10；（2）当CF＝BM时此时△BEN不存在∴CF＝9﹣2CF∴CF＝3当点M和B点重合时AB＝2CF∴CF＝4.5∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5如图2当0＜x＜3时作EG⊥BC于G由（1）知EG＝3AM＝2CF＝2x∴BM＝9﹣2x由得∴∴y＝＝＝；如图3当3＜x＜4.5时由得∴CN＝∴y＝＝；（3）如图4∵∴∴CG＝CB＝2∴GB＝CB﹣CG＝4∴BE＝5当BM＝BE＝5时9﹣2x＝5∴x＝2如图5当EM＝EB＝5时作EH⊥AB于H∴BM＝2BH＝2EG＝6∴9﹣2x＝6∴x=如图6当EM＝BM时作MH⊥BE于H在Rt△BMH中BH＝cos∠MBH＝cos∠BEG＝∴BM＝∴9﹣2x＝∴x＝综上所述：x＝2或或．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质锐角三角函数勾股定理解直角三角形矩形的性质正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．考点二（双）8字型相似1．（2021·海南海口·九年级期末）如图在▱ABCD中E为CD的中点连接AE、BD且AE、BD交于点F则：为（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根据平行四边形对边互相平行可得然后求出和相似再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4设再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出然后表示出的面积再根据平行四边形的性质可得然后相比计算即可得解．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形AB=CD∵E为CD的中点∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽：：：4EF:AF=1:2设则：：2：：：2是平行四边形ABCD的对角线：：：5．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质平行四边形的性质熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图在平行四边形ABCD中点E是AD上一点连接BE交AC于点G延长BE交CD的延长线于点F则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD则可判断△ABG∽△CFG△ABE∽△DFE于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD∴△ABG∽△CFG∴＝∵△ABE∽△DFE∴＝∵AE＝2ED∴AB＝2DF∴＝∴＝．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质相似三角形的判定和性质解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．3．（2021·内蒙古·中考真题）如图在中过点B作垂足为B且连接CD与AB相交于点M过点M作垂足为N．若则MN的长为__________．【答案】【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC得,可得,因为,列出关于MN的方程即可求出MN的长．【详解】∵MN⊥BCDB⊥BC,∴AC∥MN∥DB∴∴即,又∵∴解得,故填：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．4．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD中E是CD的中点F是AE的中点CF交BE于点G若则___．【答案】2【分析】延长CF、BA交于M根据已知条件得出EF＝AFCE＝DC根据平行四边形的性质得出DC∥ABDC＝AB根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF根据全等三角形的性质得出CE＝AM求出BM＝3CE根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG根据相似三角形的性质得出比例式再求出答案即可．【详解】解：延长CF、BA交于M∵E是CD的中点F是AE的中点∴EF＝AFCE＝DC∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥ABDC＝AB∴CE＝AB∠ECF＝∠M在△CEF和△MAF中∴△CEF≌△MAF（AAS）∴CE＝AM∵CE＝AB∴BM＝3CE∵DC∥AB∴△CEG∽△MBG∴∵BE＝8∴解得：GE＝2故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质平行四边形的性质全等三角形的性质和判定相似三角形的性质和判定等知识点能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．5．（2021·重庆·九年级期末）如图与交于且．（1）求证：∽．（2）若求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；（2）因为∽根据相似三角形的性质可知代入数据解答即可．【详解】证明：（1）∽；（2）∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的性质是解题的关键．6．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图四边形ABCD是平行四边形在边AB的延长线上截取BE＝AB点F在AE的延长线上CE和DF交于点MBC和DF交于点N联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF求证：CM•AB＝DM•CN．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CDAB∥CD再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE根据相似三角形的判定方法由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD则∠1=∠F再根据平行线的性质得∠F=∠4∠2=∠3所以∠3=∠4加上∠NMC=∠CMD于是可判断△MNC∽△MCD所以MC：MD=CN：CD然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CDAB∥CD而BE=AB∴BE=CD而BE∥CD∴四边形BECD为平行四边形∴BD∥CE∵CM∥DB∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF∴AD：AB=AF：AD而∠DAB=∠FAD∴△ADB∽△AFD∴∠1=∠F∵CD∥AFBD∥CE∴∠F=∠4∠2=∠3∴∠3=∠4而∠NMC=∠CMD∴△MNC∽△MCD∴MC：MD=CN：CD∴MC•CD=MD•CN而CD=AB∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件以充分发挥基本图形的作用寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．7．（2021·四川广元·中考真题）如图在平行四边形中E为边的中点连接若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G若的面积为2求平行四边形的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【分析】（1）根据E是边DC的中点可以得到再根据四边形ABCD是平行四边形可以得到再根据即可得到则答案可证；（2）先证明根据相似三角形的性质得出进而得出由得则答案可解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴∴∵点E为DC的中点∴在和中∴∴∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形点E为DC的中点∴∴∴∵的面积为2∴即∵∴∴∴∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质相似三角形的判定和性质解答本题的关键是明确题意利用数形结合的思想解答．8．（2020·四川成都·八年级期末）如图1在矩形ABCO中OA＝8OC＝6DE分别是ABBC上一点AD＝2CE＝3OE与CD相交于点F．（1）求证：OE⊥CD；（2）如图2点G是CD的中点延长OG交BC于H求CH的长．【答案】（1）见解析；（2）CH的长为6．【分析】（1）根据四边形ABCO是矩形可得OA=BC=8OC=AB=6根据勾股定理可得OE和CP的长进而得EF和CF的长再根据勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中CB=8BD=AB-AD=6-2=4根据勾股定理可得CD=4根据点G是CD的中点可得CG=DG=2所以得点G是CP的三等分点根据OA∥BC对应边成比例即可求出CH的长．【详解】（1）∵四边形ABCO是矩形∴OA=BC=8OC=AB=6在Rt△OCE中CE=3∴OE=∵AB∥OC即AD∥OC且AD=2∴∴∴PA=4∴PO=PA+OA=12∴在Rt△OPC中OC=6∴CP=∵OA∥BC即OP∥CE∴∴∴EF=OE=CF=CP=∵()2+()2==9∴EF2+CF2=CE2∴△CEF是直角三角形∴∠CFE=90°∴OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中CB=8BD=AB﹣AD=6﹣2=4根据勾股定理得CD=∵点G是CD的中点∴CG=DG=2由（1）知：CP=6∴DP=CP﹣CD=2∴点G是CP的三等分点∵OA∥BC即OP∥CH∴∴∴CH=6．答：CH的长为6．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理解决本题的关键是掌握矩形的性质．考点三母子型相似1．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）如图中点在边上且若则的长为______．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A即可得出△ABC∽△ACD根据相似三角形的性质可得出代入AC、AD的值可求出AB的长再根据BD=AB-AD即可求出结论．【详解】解：∵∠ACD=∠ABC∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴．∵AC=AD=1∴∴AB=3∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．2．（2021·山西·中考真题）如图在中点是边上的一点且连接并取的中点连接若且则的长为__________．【答案】．【分析】延长BE交AC于点F过D点作由可得此时为等腰直角三角形E为CD的中点且则在等腰中根据勾股定理求得长度由可得,即由可得即,求得．【详解】如下图延长BE交AC于点F过D点作∵∴为等腰．由题意可得E为CD的中点且∴在等腰中又∵在∴（AAS）∴∵∴∴∴．故答案为：．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质勾股定理求对应边的长度全等三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定构造合适的相似三角形综合运用以上性质是解题的关键．3．（2021·安徽滁州·九年级期中）如图在△ABC中D是BC上的点E是AD上一点且∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出得进而求出再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证进而得出再由（1）可证由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：．（2）解：AD是△ABC的中线即：∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识根据已知得出是解题关键．4．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图在△ABC中点D在BC边上点E在AC边上且AD＝AB∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1EC＝3求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长再结合AD=AB即可得出AB的长．【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE∠ADB=∠DAE+∠C∠DEC=∠ADB∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC∴即∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB∴AB＝2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质求出AD的长．5．（2020·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形则的值可能为（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如图1中是的角平分线．求证：与互为母子三角形．（3）如图2中是中线过射线上点作交射线于点连结射线与射线交于点若与互为母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；（2）根据两角对应相等两三角形相似得出再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；【详解】（1）∵与互为母子三角形∴或2故选：C（2）是的角平分线．又与互为母子三角形．

（3）如图当分别在线段上时与互为母子三角形是中线又．．如图当分别在射线上时与互为母子三角形是中线又．．综上所述或3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件在分析与解决问题的过程中要考虑全面进行分类讨论避免漏解．考点四旋转相似1．（2022·吉林长春·九年级期末）在同一平面内如图①将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起点A为公共顶点．如图②若△ABC固定不动把△ADE绕点A逆时针旋转使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合点N不与点C重合．【探究】求证：．【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．(1)的值为______．(2)若则MN的长为______．【答案】(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性质可证又由可证明结论；【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长再由得则；（2）由得由（1）知得从而得出答案．(1)∵△ABC为等腰直角三角形∴同理∵∴∴；(2)（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4∴∵∴∴∴故答案为：8；（2）∵∴∵∴∴故答案为：．【点睛】本题是相似形综合题主要考查了等腰直角三角形的性质相似三角形的判定与性质利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图1在Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°BC＝1点DE分别为ACBC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转设旋转角为α（0°≤α≤360°）记直线AD与直线BE的交点为点P．(1)如图1当α＝0°时AD与BE的数量关系为______AD与BE的位置关系为______；(2)当0°＜α≤360°时上述结论是否成立？若成立请仅就图2的情形进行证明；若不成立请说明理由；(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．【答案】(1)AD＝BEAD⊥BE(2)结论仍然成立证明见解析(3)P点运动轨迹的长度是π；P点到直线BC距离的最大值是【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；（2）先证明△BCE∽△ACD可得＝∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°由弧长公式可求P点运动轨迹的长度由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可．（1）解：在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°BC=1∴AC=BC=AB=2BC=2AD⊥BE∵点DE分别为ACBC的中点∴AD=CD=AC=BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案为：AD＝BEAD⊥BE．（2）解：结论仍然成立理由如下：∵AC＝BC＝1CD＝EC＝∴＝∴∵△CDE绕点C顺时针旋转∴∠BCE＝∠ACD∴△BCE∽△ACD∴＝∠CBO＝∠CAD∴AD＝BE∵∠CBO+∠BOC＝90°∴∠CAD+∠AOP＝90°∴∠APO＝90°∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°

∴点P在以AB为直径的圆上如图3取AB的中点G作⊙G以点C为圆心CE为半径作⊙C当BE是⊙C切线时点P到BC的距离最大过点P作PH⊥BC交BC的延长线于H连接GP∵BE是⊙C切线∴CE⊥BE∵＝∴∠EBC＝30°

∴∠GBP＝30°

∵GB＝GP∴∠GBP＝∠GPB＝30°

∴∠BGP＝120°∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C∴P点运动轨迹的长度＝×2＝π∵∠ABP＝30°BP⊥AP∴AP＝AB＝1BP＝AP＝∵∠CBP＝30°PH⊥BH∴PH＝BP＝．

∴P点到直线BC距离的最大值．【点睛】本题是几何变换综合题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点灵活应用相关知识是解答本题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）（1）尝试探究：如图①在中点、分别是边、上的点且EF∥AB．①的值为_________；②直线与直线的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②若将图①中的绕点顺时针旋转连接则在旋转的过程中请判断的值及直线与直线的位置关系并说明理由；（3）拓展运用：若在旋转过程中当三点在同一直线上时请直接写出此时线段的长．【答案】（1）①②；（2）证明见解析；（3）或【分析】（1）①由锐角三角函数可得AC＝BCCF＝CE可得AF＝AC−CF＝（BC−CE）BE＝BC−CE即可求；②由垂直的定义可得AF⊥BE；（2）由题意可证△ACF∽△BCE可得∠FAC＝∠CBE由余角的性质可证AF⊥BE；（3）分两种情况讨论由旋转的性质和勾股定理可求AF的长．【详解】解：（1）∵∴∴∵∴∴∴∴∴∵∴故答案为：；（2）如图连接延长交于交于点∵旋转∴∵∴且∴∴∵∴∴；（3）①如图过点作交的延长线于点∵∴∵∴且三点在同一直线上∴∵旋转∴∴且∴∴∴；②如图过点作于点∵∴∵∴∵旋转∴且∴∴∴．【点睛】本题是相似综合题考查了平行线的性质直角三角形的性质相似三角形的判定和性质勾股定理熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．4．（2022·全国·九年级课时练习）一次小组合作探究课上老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）发现且．小组讨论后提出了下列三个问题请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1）还能得到吗？若能请给出证明请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2）试问当与的大小满足怎样的关系时；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形且（如图3）连接．试求的值（用ab表示）．【答案】（1）见解析；（2）当时理由见解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性质得出得出则可证明从而可得出结论；（2）由菱形的性质得出则可证明由全等三角形的性质可得出结论；（3）设与交于Q与交于点P证明得出得出连接由勾股定理可求出答案．【详解】（1）∵四边形为正方形∴又∵四边形为正方形∴∴∴在△AEB和△AGD中∴∴；（2）当时理由如下：∵∴∴又∵四边形和四边形均为菱形∴在△AEB和△AGD中∴∴；（3）设与交于Q与交于点P由题意知∵∴∴∵∴∴连接∴∵∴在Rt△EAG中由勾股定理得：同理∴．【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质三角形全等的判定与性质三角形相似的判定与性质勾股定理等知识熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时四边形两组对边的平方和相等．考点五K字型相似1．（2021·湖南长沙·九年级专题练习）如图在矩形ABCD中BC＝6AB＝2Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动且∠BEF＝90°EF＝BEDF＝则BE＝_____．【答案】3．【分析】过F作FG⊥CD交CD的延长线于G依据相似三角形的性质即可得到FG＝ECGE＝2＝CD；设EC＝x则DG＝xFG＝x再根据勾股定理即可得到CE2＝9最后依据勾股定理进行计算即可得出BE的长．【详解】如图所示过F作FG⊥CD交CD的延长线于G则∠G＝90°∵四边形ABCD是矩形∴∠C＝90°AB＝CD＝2又∵∠BEF＝90°∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC∴∠FEG＝∠EBC又∵∠C＝∠G＝90°∴△BCE∽△EGF∴＝＝即＝＝∴FG＝ECGE＝2＝CD∴DG＝EC设EC＝x则DG＝xFG＝x∵Rt△FDG中FG2+DG2＝DF2∴（x）2+x2＝（）2解得x2＝9即CE2＝9∴Rt△BCE中BE＝＝＝3故答案为：3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用在判定两个三角形相似时应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件以充分发挥基本图形的作用寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．2．（2022·全国·九年级单元测试）如图在等边△ABC中P为BC上一点D为AC上一点且∠APD＝60°2BP＝3CDBP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等边三角形证明∠B＝∠C＝60°再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC从而可得结论；（2）由先求解设再利用相似三角形的性质可得：列方程解方程即可得到答案．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC∠B＝∠C＝60°∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°∴∠DPC＋∠PDC＝120°∴∠BPA＝∠PDC∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD且BP＝1∴∵△ABP∽△PCD设则∴经检验：是原方程的解所以三角形的边长为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质相似三角形的判定与性质分式方程的解法掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1在四边形ABCD中点P为AB上一点当时求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2）其他条件不变上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3在中以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上点E在AC上点F在BC上且若求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立理由见解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°可得∠ADP＝∠BPC即可证到△ADP△BPC然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α可得∠ADP=∠BPC即可证到△ADP△BPC然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE求出DF=4再证△EFC△DEC可求FC＝1进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1∵∠DPC=∠A=∠B=90°∴∠ADP＋∠APD=90°∠BPC＋∠APD=90°∴∠ADP=∠BPC∴△ADP△BPC∴ADBC=APBP（2）结论仍然成立理由如下又设∴ADBC=APBP（3）是等腰直角三角形,．【点睛】本题考查相似三角形的综合题三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．4．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①在四边形ABCD中点P在边AB上（点P不与点A、B重合）．易证．（不需要证明）【探究】如图②在四边形ABCD中点P在边AB上（点P不与点A、B重合）．若求AP的长．【拓展】如图③在中点P在边AB上（点P不与点A、B重合）连结CP作PE与边BC交于点E当是等腰三角形时直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；拓展：证明△ACP∽△BPE分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∵是的外角∴即∵∴又∵∴∴∵∴解得：；拓展：∵AC=BC∴∠A=∠B∵∠CPB是△APC的外角∴∠CPB=∠A+∠PCA即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA∵∠A=∠CPE∴∠ACP=∠BPE∵∠A=∠B∴△ACP∽△BPE当CP=CE时∠CPE=∠CEP∵∠CEP＞∠B∠CPE=∠A=∠B∴CP=CE不成立；当PC=PE时△ACP≌△BPE则PB=AC=8∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时∠CPE=∠ECP∵∠B=∠CPE∴∠ECP=∠B∴PC=PB∵△ACP∽△BPE∴即解得：∴AP=ABPB=综上所述：△CPE是等腰三角形时AP的长为4或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（2021·全国·九年级专题练习）如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°CD⊥AB于点D点E是直线AC上一动点连接DE过点D作FD⊥ED交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1若m＝n点E在线段AC上则＝；（2）数学思考：①如图2若点E在线段AC上则＝（用含mn的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝BC＝2DF＝4请直接写出CE的长．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代换判断出得到∽再判断出∽即可；（2）方法和一样先用等量代换判断出得到∽再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽判断出求出DE再利用勾股定理计算出即可．【详解】解：当时即：即∽∽即∽∽成立如图3又即∽∽．由有∽如图4图5图6连接EF．在中如图4当E在线段AC上时在中根据勾股定理得或舍如图5当E在AC延长线上时在中根据勾股定理得或舍③如图6当E在CA延长线上时在中根据勾股定理得或（舍）综上：或．【点睛】本题是三角形综合题主要考查了三角形相似的性质和判定勾股定理判断相似是解决本题的关键求CE是本题的难点．考点六三角形内接矩形/正方形1．（2022·山东东营·中考真题）如图在中点F、G在上点E、H分别在、上四边形是矩形是的高．那么的长为____________．【答案】##4.8【分析】通过四边形EFGH为矩形推出因此△AEH与△ABC两个三角形相似将AM视为△AEH的高可得出再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH是矩形∴∴∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高∴∴∵代入可得：解得∴故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．2．（2021·全国·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为一条直角边为怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求需要先求出两种加工方式中正方形的边长边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形根据相似三角形对应变成比例可求出