【课件】函数的应用(一)　课件高一上学期数学人教Ａ版(2019)必修第一册

3.4函数的应用（一）课时10函数的应用(一)教学目标1.体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题的方法.2.熟悉建立函数模型解决实际问题的方法和步骤,培养数学应用的意识和能力.3.掌握一次函数、二次函数、幂函数以及分段函数在数学和其他学科中的应用.学习目标课程目标学科核心素养了解根据给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题的方法通过了解运用函数模型解决实际问题的方法,培养数学抽象、数学建模等素养经历建立函数模型解决实际问题的过程,熟悉建立函数模型解题的方法和步骤在建立函数模型解题的过程中,熟悉数学建模的方法,培养数学建模、数据分析等素养掌握一次函数、二次函数、幂函数以及分段函数模型在数学和其他学科中的应用在运用几种常见的函数模型解决实际问题的过程中,培养数学建模、数学运算等素养情境导学某通信公司推出了移动电话的两种计费方式(详情见下表).设一个月内使用移动电话主叫的时间为tmin(t为正整数).当t为何值时，两种计费方式的费用相等？当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式更省钱？月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/(元/min)被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费【活动1】常见函数模型的复习回顾初探新知【问题2】一次函数模型、二次函数模型、反比例函数模型的表达形式分别是什么?【问题3】幂函数模型、分段函数模型的表达形式是什么?

【问题1】我们前面研究了函数的概念和性质,研究了一些常见函数的模型,回忆一下:常见的函数模型有哪些?【活动2】复习回顾建立函数模型解决实际问题的基本步骤【问题4】建立函数模型解决实际问题时,一般要分哪几步进行?哪一步最关键?【问题5】建立函数模型应把握哪三个关口?典例精析

【例1】[教材改编题]某文具厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(个)之间的关系为y＝6x＋30000，而出厂价格为每个12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A.2000个B.3000个C.4000个D.5000个思路点拨：用符号语言表达“不亏本”．【解】利润z＝12x－(6x＋30000)＝6x－30000.“不亏本”即z≥0，解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000个．故选D.D【方法规律】

利用一次函数模型求最大(小)值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0).解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求解.

【变式训练1】

[2020·北京市通州区期中]某条公共汽车线路收支差额y(收支差额=车票收入-支出费用)与乘客量x之间具有某种函数关系.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议:建议(Ⅰ)不改变车票价格,减少支出费用;建议(Ⅱ)不改变支出费用,提高车票价格.下面给出的四个图形中,实线、虚线分别表示目前和建议后收支差额y与乘客量x之间的函数关系,则(

)

①②

③④A.①反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)B.②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)C.①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)D.④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)C【解】

设目前车票价格为k,支出费用为b,则y=kx-b,对于建议(Ⅰ),设建议后的车票价格为k1,支出费用为b1,则y=k1x-b1,显然建议后k1=k,b1<b,故图象①反映了建议(Ⅰ);对于建议(Ⅱ),设建议后的车票价格为k2,支出费用为b2,则y=k2x-b2,显然建议后k2>k,b2=b,故图象③反映了建议(Ⅱ).故选C.

【方法规律】构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最大(小)值,也可以根据二次函数图象的对称轴与函数定义域的位置关系讨论求解,一定要注意自变量的取值范围.

【变式训练2】自来水厂的蓄水池存有400t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，th内供水总量为120

(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80t时，就会出现供水紧张现象，那么，在一天的24h内，会有几小时出现供水紧张现象？【解】

【例3】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)R(x)＝其中x是仪器的产量(单位：台)．(1)将利润f(x)(单位：元)表示为产量x的函数；(利润＝总收益－总成本)(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？思路点拨

(1)利润＝总收益－总成本，由已知分0≤x≤400和x>400两段求出利润函数的解析式．(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值.

【解】【方法规律】生活中利润最大化问题的函数模型为分段函数模型时，要求分段函数的最大值，应先求出函数在各段的最大值，然后取各段最大值中较大的即是整个函数的最大值．【变式训练3】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元．经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当售出这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为

万元．(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润(单位：万元)表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？【解】(1)当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件.所以f(x)＝即f(x)＝

(2)当0<x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5，所以当x＝4.75时，f(x)有最大值，f(x)max＝10.78125.当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75.故该产品的年产量为475件时，当年所得利润最大.

思路点拨

(1)设出函数解析式,根据图象即可求得答案.

(2)确定总利润函数,换元,利用配方法可求最值.（备选例题）某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②.(注:利润和投资单位:万元)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?

【方法规律】(1)建立一次函数、二次函数和幂函数模型,待定系数法是一种常用的方法,建立函数关系式时,需要注意自变量的取值范围.(2)最优化问题的求解,常需要通过求函数的最值,求最值这里运用了换元法和配方法,均值不等式法和函数图象法、单调性法也是解这类题比较常用的方法.

课堂反思通过本节课的学习，你学到了什么？2.你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练1.某汽车油箱中存油22L，油从管道中匀速流出，200min流尽，油箱中剩油量y(L)与流出时间x(min)之间的函数关系为()A.y＝22－

xB.y＝22－

x(x≥0)C.y＝22－

x(x≤200)D.y＝22－

x(0≤x≤200)DB3.(多选)[2021·浙江高一期末]某停车场的收费标准如下：临时停车半小时内(含半小时)免费，临时停车1h收费5元，此后每停车1h收费3元，不足1h按1h计算，24h内最高收费40元．现有甲、乙两车临时停放在该停车场，下列判断中正确的是(

)A.若甲车与乙车的停车时长之和为1.6h，则停车费用之和可能为8元B.若甲车与乙车的停车时长之和为2.5h，则停车费用之和可能为10元C.若甲车与乙车的停车时长之和为10h，则停车费用之和可能为34元D.若甲车与乙车的停车时长之和为25h，则停车费用之和可能为45元ACD

4.一工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,该产品的年产量为