2 1几类不同增长函数模型

函数模型及其应用3.2.1

几类不同增长的函数模型二我们知道，对数函数

y

=

log

a

x数函数

y

=

a

x

（a

>

1）与幂函数（a

>1），指y

=

xn

（n

>

0）在区间（0,+¥

）上都是增函数。从上述两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？函数为例进行探究。y

=

x

2

,

y

=

log

x2下面，我们不妨先以y

=2

x

,利用计算器或计算机，以一定的步长列出自变量与函数值的对应表（表3-5），并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（图3.2-4）。可以看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。表3-5图3.2-4-420-21816141210864201

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11xyy=2^xy=x^2以2为底的对数学函数x0.20.611.41.82.22.633.4y

=

2

x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556y

=

x

20.040.3611.963.244.846.76911.56和 的图象有两个交点，和下面我们在更大的范围内，观察的增长情况y

=

2xy

=

x

2x0246810121416y

=

2

x141664256102440961638465536y

=

x

204163664100144196256>有x时22，x

。2

x<

x

2从图可以看到，y

=2xy

=x2这表明 与

2

x在自x

变2

量不同的区间有不同的大小关系，有时x01020304050607080y

=

2

x110241.E+061.E+091.E+121.E+151.E+181.E+211.E+24y

=

x

2010040090016002500360049006400但是,当自变量x

要越来越大时，可以看到，

y

=2

x的图象就像与x轴垂直一样，2

x的值快速增长，比起x

2来，2

x几乎有些微不足道，如图3.2-6和表3-7所示。探究你能借助图象，对的增长情况进行比较吗？2和y

=log

xy

=

x2请在图象上分别标出使不等式成立的自变量x

的取值范围2log

x

<

x

2

<

2

xlog

x

<

2

x

<

x

22x

˛

(0,2)

¨

(4,+¥

)x

˛

(

2 ,

4

)结论数（a

>1）和幂函一般地，对于指数函数y

=ax个x0

，当x

>x0时，就会有ax的增长，因此总存在一>x。nx，由于a

的增长快于x

nxa

会小于y

=

xnxn上，无论n比a大多少，尽管在x

的一定变化范围内，（n

>0），通过探索可以发现，在区间（0,+¥

），x

（

a

>1）和幂函同样地，对于对数函数

y

=

log

a数y

=xn增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x

的一定变化范围内，log

a

x

可能会大于x

n0

0个x

，当x

>

x

时，就会有alog

x

<。x

n（n

>0）,在区间（0,+¥

）上，随着x

的增大，log

a

x但由于log

a

x

的增长慢于xn

的增长，因此总存在一数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上而。（n

和>1）y

=

log

a

x

（

a

>

1都）是增函综上所述，

在区间（0,+¥

）

上，

尽

管

函

数。随着x因此，总会存在一个x0

，当x

>x0时，就有alog

x

<

xn

<

a

x、y

=

a（x

a

>1）y

=

xn的增大y，=ax（a

>1）

的增长速度越来越快，会（n

>1）

的增长速度，的增长速度则会越来越慢。超过并远远大于y

=xny

=

log

a

x

（

a

>

1）探究你能用同样的方法，讨论一下函数：、y

=

log

a

x

（0

<

a

<

1）减情况吗？（n

<0）、y

=

xny

=

a

x

（0

<

a

<

1）在区间（0,+¥

）上的衰练习P119在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：（1）

y

=

0.1e

x

-