江苏省苏州市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷（含答案）

江苏省苏州市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设函数f(x)=1−x2，则f(x)在A．-2 B．0 C．1 D．22．已知Cn2=28（n∈N，且n≥2A．30 B．42 C．56 D．723．设f'(x0)为函数f(x)在xA． B．C． D．4．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（）A．156 B．180 C．194 D．6725．在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N(75，16).如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，【附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.A．75 B．79 C．83 D．916．∀x1，x2∈[1，A．1e2 B．1e C．7．讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（）A．0.275 B．0.28 C．0.32 D．0.68．设a=1.A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b二、多选题9．已知f'(x)是函数f(x)的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数A．在(−∞，1)上单调递减 B．在C．在x=1处取得极小值 D．在x=4处取得极大值10．在(xA．常数项为212 B．x3C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项11．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（）A．A与B互斥 B．A与C独立 C．P(C|A)=12 12．设函数f(x)=eA．fB．函数f(x)的图象过点(−1，1eC．函数f(x)既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D．方程f(x)=k有两个不等实根，则实数k的取值范围为(0三、填空题13．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有个.14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=.①定义域为R，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(−x)+f(x)=0；③f'(x)为函数15．在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：自左向右，第n行第i+1个数记为Cni（n，i∈N且i≤n）.若C15k=C152k−3（n，k∈N且k≤n），则k的值为16．已知函数f(x)=lnx，g(x)=12x四、解答题17．从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，（1）至少选到1名女生的的方法有多少种?（2）设随机变量X表示所选2人中女生的人数，求X的分布列及期望、方差.18．在①只有第6项的二项式系数最大；②第5项与第7项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数之和为512；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知(2x−1)n注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求a1（2）求a119．将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V表示为盒底边长x的函数；（2）x多大时，盒子的容积V最大?20．近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：评价等级★★★★★★★★★★★★★★★人数23101075以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取4名，（1）求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；（2）记其中评价为五星的观众人数为X，求X的分布列与数学期望.21．已知函数f(x)=x（1）求f(x)的极值；（2）设曲线f(x)在点T(t，f(t))处的切线为l，记l在y轴上的截距为b=g(t)，当l的斜率为非负数时，求22．已如函数f(x)=e（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；（2）当a=1时，求证：函数f(x)存在极小值点x0，且f(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】f(x)=1−x2，f'故答案为：A

【分析】利用导数的运算法则，瞬时变化率的定义求解，即可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】因为Cn2=28，所以n(n−1)2=28所以An故答案为：C

【分析】由已知结合排列数及组合数公式即可求解出答案.3．【答案】D【解析】【解答】结合图象根据导数的几何意义可得：对于A：由图可得f'对于B：由图可得f'对于C：由图可得f'对于D：由图可得f'故答案为：D.

【分析】由导数的几何意义可得f'(x0)4．【答案】C【解析】【解答】所选4名志愿者来自同一单位的共有C6同一个单位的选法种数为C10故答案为：C

【分析】先求出所选的4名志愿者来自于一个单位的结果数，然后用总数去掉不符合条件的情况即可求解出答案.5．【答案】B【解析】【解答】设测验数据为X，依题意X∼N(75，16)，则μ=75，设等级为A的测验数据的最小值为a，则P(X≥a)=0.因为P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，所以所以P(X≥79)≈0.1587，所以故答案为：B

【分析】设测验数据为X，依题意X∼N(75，16)，根据正态分布的性质可得6．【答案】B【解析】【解答】因为∀x1，x2即lnx1−令h(x)=lnx−ax，x∈[1，e]，则即h(x)=lnx−ax在[1，又h'(x)=1x−a所以a≤1x在[1，e]上恒成立，因为所以g(x)min=g(e)=1e，所以a≤故答案为：B

【分析】令h(x)=lnx−ax，x∈[1，e]，求导，根据导数的符号可得g(x)=1x在[1，7．【答案】C【解析】【解答】p=40%故答案为：C

【分析】利用全概率公式进行求解，可得答案.8．【答案】A【解析】【解答】ln令f(x)令f'(x)当0<x<e时，f'所以f(x)所以f所以lna<lnb令g(x)令g'(x)=0当0<x<1时，g'当x>1时，g'所以g(x)在(0所以g(x)≤g(1)=ln因为ln所以b<e，即所以a<b<c.故答案为：A.

【分析】令f(x)=lnxx，，求导，根据导数符号可得f(x)9．【答案】B,D【解析】【解答】由题意可得：当x<4时，f'(x)≥0；当x>4时，所以f(x)在(−∞，4)上单调递增，在(4，+∞)上单调递减，则A不符合题意，B符合题意，C不符合题意，D符合题意；故答案为：BD.

【分析】由f'(x)的图像可知10．【答案】B,C,D【解析】【解答】(x−1对于A：令9−3r2=0，解得r=3，可得即常数项为−21对于B：令9−3r2=3，解得r=1，可得即x3项的系数为−对于C：由通项公式可得：第r+1项的系数为ar当r为偶数时，ar>0；当r为奇数时，取r为偶数，令ar≥a整理得3r2+29r−64≥0所以系数最大项为第3项，C符合题意；对于D：令9−3r2∈Z，则所以有理项共有5项，D符合题意；故答案为：BCD.

【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】对A：A与B是互斥事件，正确；对B：P(A)=46=23P(A)⋅P(C)≠P(AC)，错误；对C：P(C|A)=P(AC)对D：P(C)=4故答案为：ACD

【分析】根据互斥事件的定义，条件概率公式，全概率公式，即可求解出答案.12．【答案】A,D【解析】【解答】由题意可知f对于A，由f'(x对于B，设切点为(切线方程y−ex0(2+1x令h所以函数f(x)在(−1，1e)因为h(12所以存在x0∈(1所以过点(−1，1e)的直线与函数f(x)所以过点(−1，1对于C，f(x)的定义域为(−∞令f'(x)=0，当x∈(−∞，−1)∪(当x∈(−1，0)∪(0所以f(x)在(−∞，−1)和(12，当x=−1，时，f(x)取得极大值为f(−1)=当x=12，时，f(x)因为1所以极大值小于极小值，C不符合题意；对于D，由C选项知，作出f(x)的图象如图所示要使方程f(x)=k有两个不等实根，只需要y=k与f(x)有两个交点，由图可知，k∈(0所以实数k的取值范围为(0，故答案为：AD.

【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程f(x)=k有两个不等实根转化为y=k与f(x)有两个交点，再利用数形结合即可求解，逐项进行判断，可得答案.13．【答案】108【解析】【解答】若个位为0，则有A53=60个，若个位为5综上可得组成的四位数中，能被5整除的有60+48=108个.故答案为：108

【分析】分末位是数字0和末位是数字5两种情况讨论，利用排列组合知识，结合计数原理得到答案.14．【答案】sinx+x【解析】【解答】取f(x)=sin函数定义域为R，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；f(−x)=sinf'故答案为：sin

【分析】取f(x)=sinx+x，根据已知条件，结合奇偶函数的定义判定出函数为奇函数，可得15．【答案】3或6；1819【解析】【解答】C15k=C152k−3，则k=2k−3，k=3或k+2k−3=15，C=C故答案为：3或6；1819

【分析】由已知结合组合数公式的性质即可求解出答案.16．【答案】[−【解析】【解答】∵f(x)=lnx，则设切点坐标A(x1，ln故切线方程为y−lnx1又∵g(x)=12x设切点坐标B(x2，故切线方程为y−(12x由题意可得1x1=构建F(x)=12x∵x>0，可得x+1>0，令F'(x)>0，解得x>1；令F'∴F(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，当x趋近于0时，F(x)趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，F(x)趋近于正无穷大，可得F(x)的值域为[−12，故答案为：[−1

【分析】根据导数的几何意义分析可得12x217．【答案】（1）解：从4名男生和2名女生中任选2人有C62种方法，不含女生的方法C4（2）解：随机变量X的可能取值为0，PPP故X的分布列为X012P681所以ED【解析】【分析】(1)利用间接法及组合数公式即可求解出至少选到1名女生的的方法数；

(2)根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列，利用随机变量的期望公式及方差公式即可求解出X的分布列及期望、方差.18．【答案】（1）解：二项式(2x−1)n的展开式第r+1项为Tr+1=Cnr(2x)选择①，因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以在Cnr（n，r∈N且r≤n）中只有Cn选择②，因为展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，所以Cn4=选择③，因为展开式中的奇数项的二项式系数之和为512，所以Cn0+所以(2x−1)n=在(*)式中令x=0，得(2×0−1)10=a在(*)式中令x=12，得(2×1所以a1（2）解：对(*)式两边求导得10×(2x−1)令x=1，得10×(2×1−1)9×2=所以a1【解析】【分析】(1)选①②③时，求出n=10，利用展开式和赋值法求出结果即可；

(2)利用函数的求导和赋值法求出结果.19．【答案】（1）解：如图，易得MN=CD=x，(0<x<1)，AC=1−x2，则盒子的高所以盒子的底面积S=6S所以盒子的容积V=Sh=332（2）解：由（1）可得V(x)=94x所以V'(x)=94(2x−3x2所以当0<x<23时V'当23<x<1时V'所以当x=23时所以当x=2【解析】【分析】(1)正六棱柱铁皮盒的底面边长为x(0<x<1)，求出正六棱柱容器的高，表示出正六棱柱容器的容积V表示为盒底边长x的函数；

(2)利用导数研究函数V(x)的最值.20．【答案】（1）解：依题意样本中抽取1人，评价为五星的频率为P5=75所以从全国所有观众中随机抽取4名，恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率P=C（2）解：依题意X的可能取值为0、1、2、3、4，且X∼B(4，所以P(X=0)=C40P(X=2)=C42P(X=4)=C所以随机变量X的分布列为：X01234P13272781所以E(X)=4×3【解析】【分析】(1)首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算即可；

(2)依题意可得X∼B(4，21．【答案】（1）解：因为f(x)=x2+x−1f'令f'(x)=0，解得x1所以f'(x)、x(−∞−1(−12(2f−0+0−f(x)单调递减极小值−e单调递增极大值5单调递减所以当x=−1时f(x)取极小值，即f(x)极小值=−e，当x=2时f(x)（