对数与对数函数课件

2.5

对数与对数函数-2-知识梳理双基自测234151.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围:

.

指数

对数

幂

真数

底数

a>0,且a≠1-3-知识梳理双基自测23415logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM-4-知识梳理双基自测23415NNlogad-5-知识梳理双基自测234153.对数函数的图象与性质

-6-知识梳理双基自测23415(0,+∞)(1,0)增函数

减函数

-7-知识梳理双基自测234154.由对数函数的图象看底数的大小关系如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b,即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.-8-知识梳理双基自测234155.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数

(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线

对称.

y=logaxy=x2-9-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

-10-知识梳理双基自测23415A.{x|x<1} B.{x|0<x<1}C.{x|0<x≤1} D.{x|x>1}答案解析解析关闭答案解析关闭-11-知识梳理双基自测234153.已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是(

)A.d=ac B.a=cdC.c=ad D.d=a+c答案解析解析关闭答案解析关闭-12-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-13-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.-16-考点1考点2考点3对点训练1(log29)·(log34)=(

)(2)lg25+lg2·lg50+(lg2)2=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-17-考点1考点2考点3答案答案关闭

(1)C

(2)B

-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.-20-考点1考点2考点3答案答案关闭-21-考点1考点2考点3解析:

(1)∵对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),∴f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数.作函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下,-22-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3考向一

比较对数值的大小A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a思考如何比较两个对数值的大小?答案解析解析关闭答案解析关闭-24-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点1考点2考点3考向三

对数型函数的综合问题例5已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.思考在判断对数型复合函数的单调性时需要注意哪些条件?

-26-考点1考点2考点3解

(1)由ax-1>0,得ax>1.当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.故当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,设0<x1<x2,所以f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上也是增函数.-27-考点1考点2考点3解题心得1.对数的大小比较,同底数的可借助对数函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助对数函数的图象;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).2.解简单对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意底数a的分类讨论.3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对增减性的影响,以及真数必须为正的限制条件.-28-考点1考点2考点3A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b(2)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为

.

(3)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.①求f(x)的定义域;②判断f(x)的奇偶性,并予以证明;③当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.答案答案关闭-29-考点1考点2考点3-30-考点1考点2考点3高考大题增分专项四

高考中的立体几何-32-从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.-33-题型一题型二题型三题型四1.在解决线线平行、线面平行问题,若题目中已出现了中点,则可考虑在图形中取中点,构成中位线进行证明.2.要证线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,再利用线面平行的判定定理证明.3.要证线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行.4.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.5.用向量方法证明线线、线面平行或垂直的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面α内相异三点(其中,l1与l2不重合,α与β不重合,l1不在α内),则-34-题型一题型二题型三题型四(1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0.(2)l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α⇔a·e1=0⇔存在非零实数λ1,λ2,使-35-题型一题型二题型三题型四例1(2016山东,理17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;-36-题型一题型二题型三题型四(1)证明设FC中点为I,连接GI,HI.在△CEF中,因为点G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥OB,所以GI∥OB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.-37-题型一题型二题型三题型四(2)解法一连接OO',则OO'⊥平面ABC.又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.-38-题型一题型二题型三题型四-39-题型一题型二题型三题型四-40-题型一题型二题型三题型四对点训练1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.-41-题型一题型二题型三题型四答案：(1)证明

设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B,且DE=B1B,从而DE∥A1A,且DE=A1A,所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.-42-题型一题型二题型三题型四(2)解

(方法一)作A1F⊥BD,且A1F∩BD=F,连接B1F.由AE=EB=,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4.由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB与△B1DB全等.由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角.-43-题型一题型二题型三题型四(方法二)以CB的中点E为原点,分别以射线EA,EB,EA1为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz,如图所示.-44-题型一题型二题型三题型四-45-题型一题型二题型三题型四1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义:判断两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.-46-题型一题型二题型三题型四-47-题型一题型二题型三题型四例2如图,在几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:平面FBC⊥平面ACFE;(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.-48-题型一题型二题型三题型四(1)证明在四边形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2.∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos

60°=3.∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.又BC⊂平面FBC,∴平面FBC⊥平面ACFE.-49-题型一题型二题型三题型四-50-题型一题型二题型三题型四-51-题型一题型二题型三题型四对点训练2如图①,已知在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使DB=,如图②.(1)求证:平面AOD⊥平面ABCO;(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.-52-题型一题型二题型三题型四答案：(1)证明

在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形,∴∠AOB=90°,即OB⊥OA.取AO中点H,连接DH,BH,又DB2=3,∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH.又DH⊥OA,OA∩BH=H,∴DH⊥平面ABCO.而DH⊂平面AOD,∴平面AOD⊥平面ABCO.-53-题型一题型二题型三题型四(2)解

分别以OA,OB所在直线为x轴,y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,-54-题型一题型二题型三题型四即x=y,x=z,令x=1,则y=z=1,n=(1,1,1).设α为直线BC与平面ABD所成的角,-55-题型一题型二题型三题型四1.对命题条件的探索有三种途径:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出探索条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法.从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.-56-题型一题型二题型三题型四例3已知正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由.(2)求二面角E-DF-C的余弦值.(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出

的值;如果不存在,请说明理由.-57-题型一题型二题型三题型四解(1)在△ABC中,由E,F分别是AC,BC的中点,得EF∥AB,又AB⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AB∥平面DEF.(2)以点D为坐标原点,以直线DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,-58-题型一题型二题型三题型四-59-题型一题型二题型三题型四-60-题型一题型二题型三题型四对点训练3如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.(1)求证:AB⊥DE.(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.(3)线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,请说明理由.-61-题型一题型二题型三题型四答案：(1)证明

取AB的中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD,所以AB⊥ED.-62-题型一题型二题型三题型四(2)解

因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,所以EO⊥平面ABCD,所以EO⊥OD.故OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,设OB=1,所以O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).-63-题型一题型二题型三题型四-64-题型一题型二题型三题型四-65-题型一题型二题型三题型四-66-题型一题型二题型三题型四例4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,直线PD与底面ABCD所成的角等于30°,PF=FB,E∈BC,EF∥平面PAC.(2)求二面角P-DE-A的余弦值;(3)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.-67-题型一题型二题型三题型四解(1)∵平面PBC∩平面PAC=PC,EF⊂平面PB