2021年上海市春季高考数学试卷和答案

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝．2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．（4分）不等式＜1的解集为5．（．4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．6．（4分）若方程组无解，则＝．7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．9．（5分）在无穷等比数列{an}中，（a1﹣an）＝4，则a2的取值范围是．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示.A运动B运动C运动D运动E运动7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．（5分）已知椭圆x+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F、F2，21F为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，2．12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sinxC．f（x）＝2D．f（x）＝12x14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中（）A．A⊆BB．∁RA⊆∁RBC．A∩B＝∅D．A∪B＝R15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）（）A．f（x）为偶函数且关于点（B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，使得＝0，使得∥（+）；它们的成立情况是（）1，1）对称A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立5题，共17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大4，P﹣ABCD的体积；18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2．（1）若sinA＝2sinB，求b、c；1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站测量距离发现一点P满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、x轴正y轴正双曲线标准方程和P点坐标．B为焦点的双曲线上，东侧为半轴，北侧为半轴，P（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米（精确到1米）20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若（2）若a≠0，若（3）是否存在实数a，使得函数若存在a＝1，求函数的定义域；f（ax）＝a有2个不同实数f（x）在定义域根；内具有单调性？21．（18分）已知数列{an}满足an≥0，对任意n≥2，an和an+1中存在一项使其为另一项与a的等差中项．n1﹣（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a的所有可能取值；3（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即ar＝as＝at＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a+as+1+at+1的最大值．r+1第4页（共59页）

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）3，公差为2，n故答案为：21．故答案为：．3．参考解答：圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2，S＝4πrh＝2π×1×8＝4π．侧4．参考解答：＜1⇒解得，﹣4＜x＜2．故答案为：（﹣7，5）．5．参考解答：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，故答案为：．，，所以D＝0，即，故答案为：0．x＝7，（1+x）的系数和为6故答案为：64．8．参考解答：f（x）＝3+﹣1≥，xx故答案为：9．9．参考解答：∵无穷等比数列{a}，∴公比1，1），q∈（﹣na﹣a）＝a＝5，1n1∴a2＝a1q＝5q∈（﹣4，0）∪（4．4，0）∪（8．10．参考解答：由题意知，至少要选2种运动，AB、EB的组合不符所以满足条件的运动组合方式为：+++﹣3＝10+10+5+8﹣3＝23（种）．故答案为：23种．11．参考解答：设F（﹣c，0），F5（c，0）＝26cx，1直线PF1：y＝x+c，联立方程组，y＝2c，，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，x＝7﹣．12．参考解答：在单位圆中分析，由题意可得nθ+φ的终边要落在图n∈N*都成立，所以∈N*，k∈N*，故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题13．参考解答：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，A错误，B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，B错误，选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，D错误，C．14．参考解答：已知集合A＝{x|x＞﹣B＝{x|x≥2或x≤﹣6，x∈R}，A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁B＝{x|﹣1＜x＜2}；5分，共20分)根据函数的定义可得函数不存在反函数，选项根据函数的定义可得函数不存在反函数，C正确，故选：1，x∈R}2﹣x﹣5≥0，x∈R}，解得∁RR则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，D．15．参考解答：根据题意，依次判断选项：故选：对于A，f（x）＝cos，f（x）为偶函数，1）对称，A错误，B，f（x）＝cos（πx），存在最大值，对于C，假设f（x）有最大值，其最高点的坐标为（f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，﹣M），f（x）的图象关于点（7，1）对称，﹣M）关于点（a，1，2+M），与最大值为M相矛盾，则此时f（x）无最大值，对于D，f（x）＝sin，D错误，C．16．参考解答：不妨设A（2x，2y），7），0），0），y），①＝（﹣5﹣2x，＝（x﹣1，＝42＝0，即﹣（6+2x）（x﹣1）＝6y2，x，y）存在，），②F为AB中点，（+）＝2，因为G为AD的三等分点，E为AD中点，所以与不共B．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）E为AB中点，∴PE＝2，P﹣ABCD的体积（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF为等V＝PE•S＝×28＝．∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E、AB⊂平面PAB，18．参考解答：（1）因为sinA＝2sinB，可得a＝2b，由于cosC＝＝＝﹣．（2）因为cos（A）＝，第10页（共59页）又cos2A+sin2A＝7，可解得cosA＝，sinA＝，cosA＝，因为cosC＝﹣，可得sinC＝，可得C为钝角，若sinA＝，cosA＝，可得tanB＝﹣tan（A+C）＝＝B为钝角，这与所以sinA＝，由正弦定理19．参考解答：（1）由题意可得a＝10，c＝202＝300，1，直线OP：y＝x，联立双曲线方程，y＝，P的坐标为（，）．（2）①|QA|﹣|QB|＝30，则a＝15，所以1；C为钝角矛盾，所以双曲线的标准方程为﹣＝b＝175，2双曲线方程为﹣＝②|QC|﹣|QD|＝10，则a＝3，所以b＝200，1，两双曲线方程联立，得Q（，），所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66°．20．参考解答：（1）当a＝1时，f（x）＝，由|x+1|﹣1≥5，得|x+1|≥1．2所以双曲线方程为﹣＝第11页（共59页），，时，﹣∞，﹣，函数nn28133713344733228或nn+1n+1n，由第（2）问可知，a＝0，则a＝5a，即a﹣a＝﹣a，rr2r1r1r7r1﹣﹣﹣﹣﹣第12页（共59页）r∴，+a+a的最大值．s+5t+1第13页（共59页）考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含2．注意观察两个集合的3．可以利用集合的元素个数从少到多排列．公共元素，以及各自的特殊元素．特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．第14页（共59页）

2．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）A∪B）∩（A∪C）．＝（集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．3．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题不成立．这就是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定第15页（共59页）

是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则p是q成q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p称条件立的充要条件，或称条件与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小原则，判断命题p与命题q的关系．谁充分”的第16页（共59页）

【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函第17页（共59页）

数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．5．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将第18页（共59页）

定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区f′（间内的单调性；求极值、最值．第五步：立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数结形合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理6．有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义第19页（共59页）例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）＝﹣1B、＝aC、＝03分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．0∴B不正确；点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运【有理数指数幂】①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；第20页（共59页）②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（a）＝a（a＞0，r，s∈Q）；rsrs③（ab）＝ab（a＞0，b＞0，r∈Q）．rrr例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、B、am•an＝aC、（am）＝nam+nmn•D、1÷an＝a0n﹣分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，a÷a＝a，故不成立；mnmn﹣B中，a•a＝am+n≠a，故不成立；mnmn•C中，（a）＝a≠am+n，故不成立；mnmn•D中，1÷a＝a，成立．n0n﹣故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．7．反函数第21页（共59页）【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（x）反函数y＝f（x）的定义域y＝f数中的任何一个值，通过那么，的函数、值域分别是函数1（﹣）1（﹣）（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，（1）函数f（x）与他的反函数f（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数x和y互换了角色1﹣存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数（4）大部分偶函数f（x）＝C（其中C是常数），偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数被与y轴垂直的2个及以上点即没有反函数．若一个奇与它的反函数在相应区间上单调性一致；当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）是不存在反函数（则函数不一定存在反函数，直线截时能过函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；第22页（共59页）

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．8．函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x+5x﹣27x2﹣101x﹣70的零点．43解：∵f（x）＝x+5x﹣27x2﹣101x﹣7043＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x+5x﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、43﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者基本函数等于0时的解即说求可．第23页（共59页）

考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．9．极限及其运算③对于任意实常数，当|a|＜1时，an＝0，当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n当|a|＞1时，an＝不存在．特别地，如果C是常数，那么．第24页（共59页）求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x（但不等于x）时，如果函数f00（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x时，函数f（x）0a．记作＝a或当x→x时，f（x）→a．0x→x时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，0x→x并不x＝x．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）00否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．（2）函数极限的，那么四则运算法则：如果第25页（共59页）．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）g（x）≠0）在点x＝x0处都连续．±g（x），f（x），g（x），（（2）函数f（x）在点x＝x处连续必须满足三个条件：0f（x）在点x＝x处有定义；②存在f（x）即．＝f（x0）．f（x）在点x＝x处不连续（0在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，（3）函数f（x）在点x＝x处有间断）的判定：0如果函数下列三种情况之一时，则称x0为函数0f（x）的不连续点．第26页（共59页）x＝x处没有定义，即f（x）不存在；②不存00010．其他不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（6）含绝对值不等式第27页（共59页）①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．11．基本不等式及其应用基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式a≥0，b≥0），变形为ab≤（）或者a+b≥2．常2A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．第28页（共59页）A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．解：当x＝0时，y＝0，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．第29页（共59页）例1：求下列函数的值域．3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用第30页（共59页）点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数y＝x（8﹣2x）＝[2x（•8﹣2x）]≤（）＝82当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．第31页（共59页）评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）y＝＝当x＞﹣＝（x+1）++5，y≥2+5＝9（当且仅当x＝11，即x+1＞0时，时取“＝”号）对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换第32页（共59页）点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．12．等差数列的通项公式【知识点的认识】第33页（共59页）等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一a，公差d，那么第n1项为a＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a，则第n项为a＝a+nmnm（n﹣m）d．eg1：已知数列{a}的前n项和为S＝n+1，求数列{a}的通项公式，2nnn{a}是不是等差数列n解：当n＝1时，a＝S1＝12+1＝2，1当n≥2时，a＝S﹣S＝n2+1﹣（n﹣1）﹣1＝2n﹣1，2nnn1﹣∴an＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数n列的通项公式为解：∵等差数列{a}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，n∴2（2a+1）＝a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，a﹣1+a+7，解得第34页（共59页）∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识1、数列与函数的综合数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．单位向量，与和夹角为θ，（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）第35页（共59页）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）＝22±2•+2．②（﹣）（+）＝﹣．③（••）≠（•）•，从这里可以看出它22•＝”；⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“第36页（共59页）⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，⇒”，∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，”不能类比得到，即⑥错误．∴第37页（共59页）向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m⇒”；||≠||•||，故“|m＝n”不•n|＝|m|•|n|”不能类比得到合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到能类比得到．“||＝||•||”；向量的数量积不满足结•＝”；这个知识点和三角函数多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希1．复数的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别模：的长度叫做复数第38页（共59页）16．二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）＝n∁ian﹣i•bi．通n例1：用二项式定理估算1.0110＝1.105．（精确到0.001）这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．解：由题意T＝C7×＝120×3i＝360i．810故答案为：360i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）的二项n展开式．其中各项的系数注意：叫做二项式系数．第39页（共59页）（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁r；nn．（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n第40页（共59页）为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．17．反证法【知识点的认识】反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法．【解题思路点拨】用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知公理、定理、事实矛盾等．1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结矛盾，或与假设矛盾，或与定义、论2．反证法的一般步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）作出与命题结论相（3）由假设出发，应用正确的（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论矛盾的假设；推理方法，推出矛盾的结果；第41页（共59页）成立，从而间接地证明命题为真．18．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；αβ（﹣）（2）C：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；α+β（）（3）S：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；α+β（）（4）S：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；αβ（﹣）α+β19．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理＝2R内容a2＝b2+c2﹣2bccosA，（R是△ABC外接圆半径）b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形①a＝2RsinA，b＝2RsinB，ccosA＝，cosB＝，形式＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinCcosC＝＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；第42页（共59页）解决①已知两角和任一边，求另一①已知三边，求各角；三角角和其他两条边；②已知两边和它们的夹角，求形的②已知两边和其中一边的对第三边和其他两角问题角，求另一边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况图形关a＝bsinA系bsinA＜a＜ba≥ba＞b式解一解的两解一解一解个数由上表可知，当A为锐角时，a≤b，无解．2、三角形a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，常用面积公式第43页（共59页）aa2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此第44页（共59页）不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．20．余弦定理内容a2＝b2+c2﹣2bccosA，（R是△ABC外接圆半径）b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C形式＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinCcosC＝③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；第45页（共59页）④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA解决①已知两角和任一边，求另一①已知三边，求各角；三角角和其他两条边；②已知两边和它们的夹角，求形的②②已知两边和其中一边的对第三边和其他两角问题角，求另一边和其他两角【正余弦定理的应用】1、解2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题用正弦定理就可解决．直角三角形的基本元素．斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．第46页（共59页）

①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】到三角函数的定义、域值、域单调性和它们的图象．在求例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）第47页（共59页）这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]t＝∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是∴当t＝时函数t＝﹣y＝（﹣1）﹣（﹣有最小值，而函数的最大值为1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，1）+3＝5，当t＝1时，y＝1﹣1+322＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时，函数的最大值为元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数元二次函数，在换注意到三角函数的定义域1时y的值即sinx＝﹣5．这个题就是典型的换看成是一个一元的时候要和相应的值域．【考点点评】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．第48页（共59页）1、直线的到角：（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，l按逆时针方向旋转到与l重合时所转的角，叫做l到121（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′＝，l1到l2的角的取值范围是（0，π）．l到l的角是θ，l到l1的角是θ1221212＝π﹣θ1，当直线l与l相交但不垂直时，θ和π﹣θ1，仅有一个角121（2）直线l和l2的夹角公式：tanθ＝（θ不为90°），l11（1）首先应注意到在tanθ′＝，中两个斜率k1，k2的顺序是θ′是直线l到直线l的角，若写成tanθ′＝，不能改变的，12第49页（共59页）则θ′为直线l到直线l的角，这两者是有区别的，而在夹角公式tanθ21中，两直线的斜率没有顺序要求．（2）在两直线的夹角为900时，我们有kk+1＝0若kk＝﹣1则直1212123．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A（﹣a，0），A（a，0），B（0，﹣b），B1212第50页（共59页）（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率焦距与长轴长的比叫做