电磁场与电磁波（第五版）完整全套教学课件

1.1节矢量及其代数运算1.2节圆柱坐标系和球坐标系1.3节矢量场1.4节标量场1.5节亥姆霍兹定理本课件是可编辑的正常PPT课件全套教学课件第1章矢量分析与场论1.1矢量及其代数运算本节要点标量与矢量矢量的代数运算本课件是可编辑的正常PPT课件1.标量与矢量◆标量(scalar)--一个仅用大小就能够完整地描述的物理量如：电压、温度、时间、质量、电荷等◆矢量(vector)----

一个有大小和方向的物理量如：电场、磁场、力、速度、力矩等本课件是可编辑的正常PPT

课件(1)矢量的表示◆矢量的一般表示A=aA代表矢量A

的方向◆a为单位矢量(unit

vector)◆

A=0,空矢(nullvector)或零矢(zerovector)本课件是可编辑的正常PPT课件矢量A的大小(2)位置矢量(positionvector)●从原点指向空间任一点P

的矢量，称为位置矢量。o位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。直角坐标系中的一点P

的位置矢量●任一矢量可以表示为：本课件是

可编辑

E

常

PPT课件结论：矢量的加减运算同向量的加减，

符合平行四边形法则。本课件是可编辑的正常PPT课件(3)矢量的代数运算加法和减法矢量的乘积1.矢量的加法和减法矢量的代数运算结论■如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。■在直角坐标系中本课件是可编辑的正常PPT课件也称为标量积(scalar

product)。它等于一个矢量在

另外一个矢量上投影与该矢量大小之乘积。(1)点积(dotproduct)A·B=ABcosθ2.矢量的乘积0.785398矢量的标量积本课件是可编辑的正常PPT课件A=

{0.1}B={1.06066,1.06066}(2)叉积(cross

product)任意两个矢量的叉积是一个矢量，故也称为矢量积。方向垂直于矢量A

与B

组成的平面，且A

、B与C成右手螺旋关系A本课件是可编辑的正常PPT课件大小等于两个矢量的大小与它们的夹角的正弦之乘积=Q

ABsinθoC=A×BBNotebook$$13

日a

1.76408AxB1.472071.5AxB

ABsin1.00.53.0本课件是可编辑的正常PPT课

件矢量的叉积(2)叉积(续)◆在直角坐标系中，叉积还可以表示为结论o如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量

必然相互平行。o在直角坐标系中本课件是可编辑的正常PPT课件结论◆矢量的加减运算同向量的加减，符合

平行四边形法则。◆任意两个矢量的点积是一个标量，任

意两个矢量的叉积是一个矢量◆如果两个不为零的矢量的点积等于零，

则这两个矢量必然相互垂直。◆如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。本课件是可编辑的正常PPT

课件●圆柱坐标系●球坐标系●与直角坐标系的关系1.2

圆柱坐标系和球坐标系本课件是可编辑的正常PPT课件本节要点XX本课件是可编辑的正常PPT课件1.1圆柱坐标系φ=常数yz=常数P点x=pcosφy=psinz=zp=

常数Z圆柱坐标系6.28319Z-0.655x=1.00,y=0.00,z=-0.66

p=1.00,φ=360.00,z=-0.661.2圆柱与直角坐标系的转换关系本课件是可编辑的正常PPT课件(2)圆柱坐标系的拉梅系数◆圆柱坐标系中任意点P

沿p、φ和

z方向的长度增量它们与各自坐标增量之比分别为拉梅系数(lameconstant)本课件是可编辑的正常PPT课件z=常数dSφ=常数p

=常

数xX

dV

pd(

0本课件是可编辑的正常PPT课件(3)圆柱坐标系的积积分用拉梅系数表达是否更容易记忆?Z0Xr=rayX2.1球坐标系x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθyφ

=

常

数本课件是可编辑的正常PPT课件Z

θ=常数P点φr7球坐标系a2.55726

a2.48875x=-0.44,y=0.34,z=-0.832.2-1球坐标与直角坐标系的转换(1)单位矢量之间的转换本课件是可编辑的正常PPT课件(2)球坐标系的拉梅系数口空间一点沿r

、和φ方向的长度增量分别为◆球坐标中的拉梅系数为本课件是可编辑的正常PPT课件(3)球坐标系的积分XdV=r

²

sinθdrdodφ本课件是可编辑的正常PPT课件1.3矢量场(vectorfield)◆赋予物理意义的矢性函数称为矢量场◆本节要点●矢量线o通量和散度●环量和旋度本课件是可编辑的正常PPT课件如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等矢量线的方程为A×dr=0在直角坐标系中，其表达式为力线图PT课件1.矢量线(vectorline)所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一

点处，场的矢量都位于该点处的切线上。设点电荷q位于坐标原点,它在空间任一点处所产生的电场强度矢量为式中,q和ε

线均为常数内场点的位置矢量。求的矢量方程并画出矢量线图。解:矢量线方程为得本课件是可编辑的正常PPT课件例1-2设无限长直线通有电流I,

方向沿z轴，它所产生的磁场在圆柱坐标系中的表达式为试画出矢量线图◆解：其矢量线图为讨论◆如果将产生场的物理量称为源，有标量源和矢

量源；◆点电荷为标量源，它所产生的场是从源点出发

的发散场。◆我们是否可以得到结论：由标量源所产生的场

均为发散场，或者称为无旋场?◆

电流源为矢量源，它所产生的场是连续的，或

者说是有旋的场?◆实际上，后面的分析就会证明上述结论的正确。本课件是可编辑的正常PPT

课件dS=ndSA·dS=AcosθdS矢量场A

与面元dS

的标量积---通量通过闭曲面的总通量可表示为本课件是可编辑的正常PPT课件2.通量(flux)单位矢量n为面元dS

的外法向矢量ndS面元矢量矢量场的通量本课件是可编辑的正常PPT课件1.19076a

-1.3577

a

0.3θφ

通量密度Fhux=0.094142讨论假定矢量场A

为流体的速度，通量的物理意义：单位时间内流体从曲面S内穿出的正流量与从曲面S外流入的负流量的代数和。·

当Φ>0,流出多于流入，表示在S内必有产生流体的正源；·

当Φ<0,流入多于流出，表示在S内必有吸收流体的负源；·

当Φ=0,流入等于流出，表示在S内正源与负源的代数和为零，或者说S内没有源。PPT课

件矢量场在闭合面S上的通量是由S内的源决定的，它是一个积分量3.散度(divergence)散度的定义divA为一数量，称为该点处源的

强度。它表示场中一点处的通量

对体积的变化率。在直角坐标系中，散度的表达式本课件是可编辑的正常PPT课件·

当divA>0,称为源点(source

point)---表

示矢量场在该点处有散发通量之正源；·

当divA<0,

称之为汇点(sink

point)---表

示矢量场在该点处有吸收通量之负源；·

当divA=0,表示矢量场在该点处无源。讨论divA=称divA=0的场是连

续的(continuous)或

无散的(螺线管式)矢量场(solenoidal

vector

field)。本课件是可编辑的正常PPT课件源与汇4.哈米尔顿(Hamilton)算子矢性微分算子，在直角坐标系中本课件是可编辑的正常PPT课件矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的

闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分本课件是可编辑的正常PPT课件5.散度定理(divergencetheorem)高斯散度定理◆在矢量场A=a

x²+a

xy+a₂yz中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，试求矢量场A的散度

从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。;解：本课件是可PPT课件编辑的正常的通量为2,且有本课件是可编辑的正常PPT课件环量(circulation)的定义●矢量的环量也是一数量·如果环量T≠0,则在内必然

有产生这种场的旋涡源；·如果环量I=0,则我们说在1

内没有旋涡源。矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘

矢量场性质的重要物理量，它同样是一个积分量。本课件是可编辑的止常PPT

课件6.环量矢量场的环量9矢量场的线积分{x,y}line

segment

circle

sinusoidline

integral

=-2.50691×10fieldpath7.环量面密度环量面密度lim△S→P·

若极限存在，则称它为矢量场在点P

处

沿

方向n的

环量面密度。·若面元与旋涡面间有一夹角，环量面密度总是小于最大值；·若面元与旋涡面的方向重合，则环量面密度最大；·若面元与旋涡面相垂直，则环量面密度等于零。本课件是可编辑的正常PPT课件必存在某一

固定矢量R,这个固定矢量在任意面元方向

上的投影就给

出该方向上的环量面密度!旋涡面在点P处沿n方向的环量面密度与旋度的关系旋涡面在直角坐标系中，旋度的表达式8.旋度(curl或rotation)矢量R称为矢量A的旋度rotA=R

o

○本课件是可编辑的正常PPT课件矢量场的旋

度仍为矢量旋度和环量面密度θV×AA

随角度θ变化7rotA若rotA=0,则称此矢量场是无旋的(irrotational)或保守的场(conservative)矢量场的旋度表示该矢量每单位面积的环量，它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。本课件是可编辑的正常PPT课件a旋度的一个重要性质：旋度的散度恒等于零!若rotA≠0,则该矢

量场是有旋的(rotational)讨论龙卷风的旋度rotA·dS它表明矢量场A围绕

曲线边界的线积分等于该矢量场的旋度

沿此沿曲线所包围曲面的面积分。本课件是可编辑的正常PPT课件9.斯托克斯定理(Stokes'theorem)·d已知一矢量场F■求该矢量场的旋度■求该矢量沿如图所示的半径为3的四分之一圆盘的线积分，验证斯托克斯定理。■解：rot本课件是可编辑的正常PPT课件圆盘的线本件的正常FT课件课◆矢量场的性质可以用其散度和旋度来表征：■散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律；■旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。◆如果矢量场的散度为零，则该矢量场是连续的或无散的(螺线管式);如果矢量场的旋度等于零，则称此

矢量场是无旋的或保守的。▽·B=0B=▽×A该矢量可以用另一个

矢量的旋度来表示讨论本课件是可编辑的正常PPT

课件矢量场的散度等于零1.4标量场(scalarfield)一个仅用其大小就可以完整表征的场称为标量场本节要点■等值面■方向导数■梯度■梯度的积分本课件是可编辑的正常PPT课件1.等值面u(x,y,z)=C称为标量场u的等值面，随着C的取值不同，得到一系列不同的等值面.◆例如，根据地形图上等高线及其所标出的高度，我们就能了解到该地区的高低情况，根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。本课件是可编辑的正常PPT

课件本课件是可编辑的正常PPT课件等值面与等值线标量场在不同方向上的变化率一般说来是不同的在直角坐标系中2.方向导数(directionalderivative)如果上式的极限存在，则称它为

函数在点P₀

处沿l方向的方向导数本课件是可编辑的正常PPT课件方向导数沿不同方向的变化率3.梯度(gradient)梯度就是变化率最大方向上的方向导数。gradu=Vu梯度的性质方向导数等于梯度在该方向上的投影即■标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。梯度的旋度恒等于零

V×Vu=0如果一个矢量场满足V×F=0,即是一个无旋场，则该矢

量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即F=Vu本课件是可编辑的正常PPT课件等值线与梯度4.梯度的积分由斯托克斯定理，无旋场沿闭合路径的积分必然为零如在静电场中，已知电场强度，就可求得电位函数(第二章介绍)本课件是可编辑的正常PPT课件假如选定始点P₁

为不动

的固定点(参考点)沿闭合路径的积

分为零等价于积

分与路径无关，

仅与始点和终点的位置有关P₂点为任意动点，则P₂点的函数值可表示为无旋场沿闭合路径的积分结论◆一个标量场，求其梯度得到的矢量场一定为无旋场；◆无旋场沿闭合路径的积分一定等于零，或者说积

分与路径无关；◆无旋场可以用一个标量函数的梯度来表示。◆无旋场也称为保守场或有势场。本课件是可编辑的正常PPT

课件1.5亥姆霍兹定理本节要点矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场的重要量度，亥姆霍兹定理(Helmholtztheorem)是

矢量场共同性质的总结。本课件是可编辑的正常PPT课件亥姆霍兹定理◆矢量场的性质，完全可以由它的散度和旋度来表

明；标量场的性质则完全可由它的梯度来表明。◆如果一个场的旋度为零，则称为无旋场；如果一个场的散度为零，则称为无散场。◆就矢量场的整体而言，无旋场的散度不能处处为

零；同样无散场的旋度也不能处处为零，否则场

就不存在◆源看作是场的起因◆散度对应发散源(divergence

source)◆旋度对应旋涡源(rotational

source)本课件是可编辑的正常PPT

课件设一个矢量场既有散度，又有旋度，则它可以表示为一个无旋场分量和无散场分量之和，即

A=A₁+A₂其中无旋场分量A₁

的散度不等于零，设为p,

无散场分量A₂的旋度不等于零，设为J,

则▽

·AA的散度代表着形成矢量场的一种源—标量源A

的旋度代表着形成矢量场的另一种源—矢量源。本课件是可编辑的正常PPT课件亥姆霍兹定理无旋部分a2²a,3x²y

a2z矢量场a

3(2²@3²y

a27矢量场的分解本课件是可编辑的正岸亥姆霍兹定理告诉我们，研究任何一个矢

量场(如电场、磁场)等，

需要从散度和旋度两个

方面去研究，或者是从

通量和环量两个角度去

研究。一般来说，当一个矢量场的两类源(p

、J在空间的分布确定时，

该矢量场就唯一地

确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理本课件是可编辑的正常PPT课件标量源无旋场有势场保守场V×A=0A=dl=0矢量源无散场有旋场连续场V·A0V×J=A=A=▽×F源和场的关系小结本课件是可编辑的正常PPT课件第2章静电场与恒定电场2.1节电场强度与电位函数2.2节

真空中静电场的基本方程2.3节电介质的极化及介质中的场方程2.4节导体的电容及电耦合2.5节静电场的边界条件2.6节恒定电场本课件是可编辑的正常PPT

课件2.1电场强度与电位函数◆静电场(electrostatics):由静止的且其电量不随时间变化的电荷产生的电场。◆本节要点■点电荷的电场和电位分布电荷的电场和电位■电场与电位的关系■电偶极子的电位与电场本课件是可编辑的正常PPT

课件库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力的大小和方向点电荷的电场强度1.电场强度(electricfieldintensity)取极限是为了使引入试验电荷

时不致影响源电荷的状态库仑定律(Coulom'slaw)本课件是可编辑的正常PPT课件(1)点电荷的电场场点(观察点)P(x源点S(x',y′距离矢量

yX本课件是可编辑的正常PPT课件点电荷的电场◆在一个空间中存在两个点电荷n个点电荷的电场：本课件是可编辑的正常PPT课件两电荷的电力线本课件是可编辑的正常PPT课件线电荷密度：面电荷密度：体电荷密度：分布电荷的电场：(2)分布电荷的电场本课件是可编辑的正常PPT课件两边积分无限长的线电荷产生的电场强度是一个沿径

向发散的场，这是由源的性质决定的电力线无限长线电荷例2-1(续)如果直线无限长，

则本课件是可编辑的正常PPT课件2.电位函数(electric

potential)◆若正试验电荷q₁

从P点到Q

点的过程中电场力所做

的功为W,则P点处的电位当电荷不延伸到无穷远处时，一般把参考点Q

选在无穷

远处，这时P点处的电位本课件是可编辑的正常PPT

课件3.电位与电场强度电场强度表达为某个标量函数的梯度本课件是可编辑的正常PPT课件体电荷分布的电位：面电荷和线电荷分布的电位：电场强度与电位关系本课件是可编辑的正常PPT课件4.

电位表达式点电荷产生的电位：参考点选在无穷远点C=0,

若源延伸到无穷

远处，参考点就要重新

选择，以表达式简捷、

有意义为原则。线电荷的电位与电场本课件是可编辑的正常PPT课件例2-2真空中一个带电量为Q

的导体球，试计算球内外的电位与电场。解：孤立的带电导体球的电荷必定均匀分布于球表面上，因而它在空间产生的电位是球对称的。为了方便，我们将场点选在z轴上。球面上面元dS'在场点产生的电位为V

.2

+a²-2arcosθ'本课件是可编辑的正常PPT课件带电导体球的电位分布E=0导体内带电导体球的电场本课件是可编辑的正常PPT课件例2-2

(

续等位体导体球结论◆上述结果表明：■总带电量为Q

的导体球产生的电位和电场与集中在球心处的电荷为Q的点电荷所产生的电位和电场相同；

■

电位在r=a处是连续的，导体是一等电位体，它的表面是等位面；

■

导体球的内部电场为零，在r=a处电由于球面上的存在面电荷的缘故；■在导体的表面上只有电场的法向分场有一跃变，这

是量，切向分量等于零。■这是对静电平衡状态下导体的普遍适用的结论。本课件是可编辑的正常PPT课件练习题一个半径为a,带电量为Q

的圆盘，试计算过圆心的轴线上任一点处的电位与电场.提示：ZX结果：本课件是可编辑的正常PPI课

件选择面元dS',其上的电荷为ps

dS",由它所产生的电位为ZR偶极矩矢量(dipole

moment

vector)本课件是可编辑的正常PPT课件5.电偶极子(electricdipole)○相距很近的两个等值异号的电荷。o

P

点的电位：电偶极子的场电偶极子的电力线与等位面根据亥姆霍兹定理，研究一个矢量，从积分的角度就是研究其通量

和环量，得到两个基本方程的积分形式；从微分的角度就要研究其散

度和旋度，得到两个基本方程的微分形式。高斯定律电场强度的环量

静电场的性质本课件是可编辑的正常PPT课件2.2真空中静电场的基本方程电通量与电通密度本节要点◆力线(line

offorce)或通量线(flux

line):

试验电荷在电场中移动的路线人为地规定一个电荷产生

的力线条数等于用库仑表

示的电荷的大小。力线(field

line)表示电通量。孤立正电荷的电通量线本课件是可编辑的正常PPT课件1.电通量和力线2.电通密度和电通量

电通量的性质：与媒质无关；大小仅与发出电通量的电荷有关；如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通

量必将垂直并均匀穿过球面；单位面积上的电通量，即电通密度反比于R²。除了第一条外，电通量的性质与电场强度相同，引入电通密度本课件是可编辑的正常PPT

课件电通量为练习题轴

上一个点电荷电量为q,

试计算穿过半径为a

的圆盘的电通量.◆提示：X结果：本课件是可编辑的正常PPT

课件选择面元dS,穿过dS的通量为RZ从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该

封闭面内的净正电荷。本课件是可编辑的正常PPT课件3.高斯定律(Gauss'

law)高斯定律(Gauss'law)◆如果封闭曲面包围的是分布电荷，则dV利用高斯通量定理▽空间任意存在正电荷密度的点都发出电通量线，如果电荷密度为负，电通量线指向电荷所在的点。本课件是可编辑的正常PPT课件[例2-3]●用高斯定律求无限长线电荷P₁

在任意点P

产生的电

场强度。解：

过P点作一单位长度的高斯柱面由于上下底面的贡献为零，且在圆柱

面电通量密度D=常数本课件是可编辑的正常PPT课件练习题已知同轴线的内外导体半径分别为a和b,

求同轴线各区域的电场。本课件是可编辑的正常PPT课件本课件是可编辑的正常PPT课件小结◆已知电荷求电场强度有三种方法：■用电场强度的矢量积分式(最麻烦!!)■先求电位，再根据E=-Vφ■用高斯定理，但要想得到其解析解，要

求电荷必须对称分布(最简单!!!)本课件是可编辑的正常PPT

课件半径分别为a和b,球心距离为c的两球面间均匀分布有

体密度为pv的电荷，求空间各区域的电场强度。空腔本课件是可编辑的正常PPT课件练习题4.电场强度的环量和性质▽×E=0电场强度沿任意闭合路径的积分等于零，电场强度为无旋

场或保守场。积分形式o

静电场基本方程微分形式本课件是可编辑的正常PPT课件02.3电介质的极化及介质中的场方程本节要点◆极化的概念◆极化强度矢量◆束缚面电荷密度◆束缚体电荷密度◆本构方程◆介质中的场方程本课件是可编辑的正常PPT课件1.电介质的极化(polarized)无极分子正负电荷的作用中心重合有极分子

正负电荷的作用中心不相重合而形成一个电偶极子通常所有分子等

效电偶极矩的矢量和为零本课件是可编辑的正常PPT课件极化后介质中的合成电场E+E

'小于外加电场外加电场因因因因因士因士因士因因④因极化前不呈现电性本课件是可编辑的正常PPT课件(b)根化电介质等效电偶根矩在外加电场作用下，发生了极化极化的示意图(a)正常状态下正负

电荷中心重合束缚电荷

产生的场外加电场束缚面电荷E'极化和击穿◆在外加电场力的作用下，它们的等效电偶极矩的矢量和不为零，这种情况称为电介质的极化。◆极化的结果在介质的内部和表面形成极化电荷，这

些极化电荷在介质内激发与外电场方向相反的电场◆当加大外加电场，当电荷所受的电场力大于其内部

束缚力时，电子将摆脱内部束缚力而成为自由电子

,这种现象称为击穿。◆击穿场强：电介质在击穿前所能承受的最大电场强

度(也称为电介质强度),如空气的击穿场强为本课件是可编辑的正常PPT

课件30kV/cm2.极化强度极化强度矢量(polarization

intensity

vector)某些聚合物材料极化后，即使去掉外加电场，极化强度

一直保留，可成为永久性极化体，称为驻极体。在线性、均

匀、各向同性的介质中极

化强度与电场强度的关系单位体积内的电偶极知本课件是可编辑的正常PPT课件3.极化介质所产生的电位◆在极化介质中取一体积元dV,其内的电偶极矩

为dp=PdV,

它在P产生的电位R=r-

=RaR本课件是可编辑的正常PPT

课件极化介质的电位表达式对上式积分，并对第一项应用散度定理本课件是可编辑的正常PPT课件如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则自由

电荷的作用也必须考虑在内以决定电介质中的电场4.束缚电荷密度◆束缚面电荷密度◆束缚体电荷密度本课件是可编辑的正常PPT课件媒质的本构方程媒质的介电常数对于线性各向同性媒质

E,≥1相对介电常数在自由空间中ε=1,因此有D=

ε₀E本课件是可编辑的正常PPT课件5.媒质的本构方程6.介质中的静电场方程本课件是可编辑的正常PPT课件本节要点■电容器的电容■双导体的电容■单导体的电容■多导体系统的电容本课件是可编辑的正常PPT课件2.4导体的电容C=Q./U

ab一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比1.双导体的电容电容器(capacitor)电容(capacitance)相互接近而又相互绝缘的任意形状的导

体构成电容器本课件是可编辑的正常PPT课件任意形状导体构成的电容器(1)双导线的电容设双导线单位长度上的电荷为p,

由高斯定理

P点处电场强度为平行双导线单位长度…的电容本课件是可编辑的正常PPT课件平行双导线的电场与电容本课件是可编辑的正常PPT课件平行双导线单位长电容随线间距的变化同轴线单位长度的电容(2)同轴线的电容(练习题)本课件是可编辑的正常PPT课件2.单导体电容◆以单导线为例。设导线单位长度上所带电荷

为p,

则它在空间产生的电场为■则单导线与大地间的电位差为单位长度的单导线与大地间的电容为本课件是可编辑的正常PPT课件3.多导体系统的电容◆当有三个或三个以上导体存在时，称之

为多导体系统。◆此时每两个导体间的电压要受到其余导

体上电荷的影响，这时要计算系统中两

导体之间的电容时就必须考虑其它导体

的存在，◆引入部分电容的概念。本课件是可编辑的正常PPT

课件口若已知各导体的电位，则各导体上的电荷量可以表达为本课件是可编辑的正常PPT课件(1)电容系数◆在有N

个导体组成的系统中，若已知各导体的电荷，则

根据电位叠加原理，各导体上的电位φ;可以表示为◆所有部分电容都为正值，且C=C;i。从系统来看，

一个多导体静电系统等效于一个多端电容网络。本课件是可编辑的正常PPT课件导体与大地间的自有部分电容(2)部分电容导体与j互有部分电容(3)考虑大地时的双导线和同轴线◆导

地体的2等两效端输、入导电容体分对地及导体2对2为2地后，由以上三式即可求得各部分电容。事实上,多导体之间分主要布

原电因容的存在也高是速信号相系互统串的扰(cross-talk)的之一。在数字设计中必须予以考虑。本课件是可编辑的正常PPT课件用实验测得C

C

和C别2.5静电场的边界条件边界条件(boundaryconditions)决定分界面两侧各场量变化关系的方程O

本节要点●电通量密度的法向分量●电场强度的切向分量●分界面上电场的方向●电位函数的边界条件●两种常用的媒质分界面本课件是可编辑的正常PPT课件分界面在两种理想电介质之间分界面在理想电介质与导体之间(媒质2为导体)D₁n=Ps本课件是可编辑的正常PPT课件1.电通量密度的法向分量在两种媒质的分界面上作一高度趋于零的高斯面在两种媒质的分界面上作一宽度h趋于零、长度为△l的矩形a,为分界面的切线方向，n

为分界面的法线，s为有向闭合路径的法线方向，它们的关系为S×

n

=a2t本课件是可编辑的正常PPT课件2.电场强度的切向分量讨论分界面为两种理想电介质时，分界面上电场的方向满足tanθ₁/tanθ₂=E₁

C₂一

般情况下，在两种不同介质的分界面上，电场强度和电通量密度一定要改变方向；只有当θ₁或θ₂等于零时，分界面上的电场方向才不改变，象平行板、同轴线和同心球中的电场就是这种情况。本课件是可编辑的正常PPT

课件[例2-4]◆平行板电容器的长和宽分别为a和b,板间距离为d,

电容器的

一半厚度用介电常数为ε的玻璃介质填充，另一半为空气，若板

上外加电压为U₀,

求■分别求出有介质填充区域和无填充区域

中

的

电

场

强

度

，■板上及分界面上的自由面电荷密度、束

缚电荷密度电容器的电容量

平行板电容器■若玻璃的相对介电常数ε=7,绝缘强度为60kV/cm,

空

气的绝缘强度

为30kV/cm,

板间距离为d=0.5cm,

当两极板间接电压为10kV

时电容器是否会击穿?解

：

由

边

界

条

件本课件是可编辑的正常PPT课件例2-4](续)域中的电场强度分别E⁰E₂两区为平行板电容器上极板(z=d)上自由电荷面密度下极板(z=0)上自由电荷面分界面上的自由电荷面密度为零介质中的极化强度本课件是可编辑的正常PPT课件[例2-4]续在z=d/2和z=0处介质上的束缚电荷面密度Z结论：介质中的电场强度小于真空中的电场强度，这是由于介质表面的束

缚电荷产生的电场与外加电场相反所致，且介质填充后电容器的电容增大。本课件是可编辑的正常PPT课件电容器的总电荷和电容d

E₀

E₂E₁介质[例2-4]续将ε,=7

和d=0.5cm及U,代入电场的表达式得可

见

，E₂大于空气的绝缘强度，空气介质被击

穿。空气击穿后，玻璃板承受全部电压，其场强为由于E′<60kV/cm,所

以玻璃介质不会被击穿。

本课件是可编辑的正常PPT

课件两层同轴线的电场两层同轴线内的电力线与等位线两层同轴持分界面上电场p=b边界十

床

1

十EH

牛

耳AJ

币

厂

厂II

十2.6恒定电场(steady

field)恒定电场：恒定电流在空间中存在的电场。它是由作恒定运动但不随时间变化的分布电荷所产生的。本节要点■电流与电流密度■恒定电场的基本方程■接地电阻

■电动势■边界条件■恒定电场与静电场的比较本识设空间分布的电荷在电场作用下作定向运动，在该体积

空间中任取一个面积S,

若在时间内穿过△t的电量为△q,

则电流的大小定义为恒定电流(steady

current)-----若电荷流动的速度不变，即电流是一个标量，从场的观点来看，它是一个具有通量概念的量，它没有表明导体横截面上每一点的电流分布状况。1.电流本课件是可编辑的正常PPT课件■

J的方向规定为正电荷的运动方向电荷流动的空间是一个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流量为2.电流密度(currentdensity)在垂直于电荷流动的方向上取一面积元△S,若

流

过△S的电流为△I,

电流密度矢量J的大小电流密度与电流的关系，就是一个

矢量场与它的通量的关系本课件是可编辑的正常PPT课件体电流密度线

电

流—

—

当电荷在一根很细的导线中流过或电荷通过的横截

面很小时，可以把电流理想看作为线电流I。不论是体电流、面电流还是线电流，它们的大小都正比于相应电荷

的运动速度，方向均为正电荷的运动方向。本课件是可编辑的正常PPT课件则定义面电流的线密度矢量Js的大小为面电流与体电流的概念的区别!Js

的方向仍为正电荷的运动方向。电流密度(currentdensity)在垂直于电荷流动的方向上取一线元△l,

若流过△l线元的电流为△I电流方向△l对于恒定电流此时电流连续性方程简化为·dS=0

▽.J=0通过任一闭合曲面的净恒定电流为零，导电媒质通

过恒定电流时，其内部电流密度是无散或连续的。本课件是可编辑的正常PPT课件3.恒定电场的基本方程电流连续性方程(equation

of

current

continuity)从任意闭合面S

流出的电流应等于由S

所包围

的体积V

中单位时间内电荷减少的数量微分形式任意闭合曲面。电流密度与电场强度的关系，对于线性媒质：

J=oE电导率越大，E

越小；σ→

α时，

E→0。

即只有理想导体内才

有E=0

与静电场不同。◆焦耳定律(Joule's

law)的微分形式

p=J·E=σE²=J²1σ本课件是可编辑的正常PPT课件恒定电场的基本方程(续)恒定电场(电源外空间)为保守场电流恒定时，电荷分布pv不随时间变化，所以恒定电场必定与静

止电荷产生的静电场具有相同的性质，因此f,E·d=0V×E=0

(或E=-Vφ)讨论当电流密度J已知时，

E=J/o—小结在电源外的空间，恒定电场所满足的方程dS

=0

▽·J=0=0

▽×E=0导电媒质的本构方程

J=σE单位体积所消耗的功率

p=J

·E1)恒定电场与静电场

有什么不同?2)能量来自何方?本课件是可编辑的正常Pr下4.接地电阻(groundresistance)将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接，这种埋在地内的导体或导体系统称为接地体或接地电极。接

地

电

阻

：电流由电极流向大地时所遇到的电阻跨步电压(

stepping

voltage):人跨一步的两脚间的电压我们来研究半径为a的半球形良导体接地电极的接地电阻。设经引线由O

点流入半球形电极的电流为I,

则距球心为r处的地中任一点的电流密度为本课件是可编辑的正常PPT课件接地半球中的电流本课件是可编辑的正常PPT课件减小接地电阻的方法相应的电场强度为电流在大地中的电压为接地电阻为■增大接地电极面积的具体办法有：简单采用大块接地导体；或采用由

若干个具有一定粗细、一定长度的导体柱组成的一个接地系统；或采用

多根细长导体辐射状散开平铺于地下。本课件是可编辑的正常PPT课件接地电极尺寸越大，或者说接地体的表面积越大，接地电

阻越小，此时接地仪器设备的外壳越接近大地的电位。例[2-5]一个半

径为10cm的半球形接地导体电极,电极平面与地面重合,如图所示。已

知土壤的导电率为σ=0-²S/m。求:接地电阻;■若距脚有半短路球电中流心10点的0A

距流

离

地入为2电阻地

米

为,某求人此人正的以0跨.5米的步步电压及土壤距向接地点

的损耗功率前。前地电极的接20.5解：

接F已知流入地中的电流为I,则在距球心r处的电场强度为跨步电压损耗功率P=I²R=1.59×10⁶W本课件是可编辑的正常PPT课件进，中，在电源内部，有非静电力即非库仑场强E'(非静电

力与电荷的比值)存在，使正电荷由负极向正极运动，它只存在于电源内部。■库仑场强E:不仅存在于电源内部，还存在于电源外部，且在电源内部与E

'的方向相反。包含电源的欧姆定律的微分形式：要在导体中维持一恒定电流，就必须给导体接上电源。

电源是一种将其它形式的能量转换为电能的装置。5.电动势(electromoti电流是静电力

与非静电力共

同作用的结果!自由电子在电场作

用下逆电场方向运

动形成电流；本课件是可编辑的正常PPT课件J=σ(电源电动势本课件是可编电动势(electromotiveforce)(续)◆这说明含电源的闭合回路中的总电场为E'+E,

若回路中有恒定电流I

且是均匀分布的，则相应的总功率为与静电平衡

状态下导体

电荷分布在非保守场沿闭合路径的积

表面的结论一致!-在电源外的导体中，电场都具有无旋特性，可以用E=-Vφ米分析。假设导体是均匀的，导电率是常数，由基本方程V.J=0可得▽·D=0

这表明在均匀导体中不会有体电荷存在，即达到稳态时导体内自由电荷体密度处处等于零。本课件是可编辑的正常PPT课件6.边界条件电流密度J的法向分量连续

J₁n=J₂n

电场强度E的切向分量连续

E₁,=E用电位函数表示的边界条件两种媒质交界面上场的方向结论只要媒质2为理想导体，那么媒质1中的J₁和E₁一定垂直于交界面，此交界面可认为是等位面分界面上必有电荷分布本课件是可编辑的正常PPT课件[例2-6]两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a,分界面半径为b,外导体半径为c;

漏电导率为ơ₁和σ₂。当外加电压为U

时，计算介质中的电场强度、分界面上的自由面电荷密度及单位长度的

漏电导。解：设单位长度上同轴线的漏电流为I,

由电流密度的法向分量连续

保证了在两种漏电媒质中半径为p

处的电流密度为本课件是可编辑的正常PPT课件由此可求得由此可求得单位长度上的漏电导两介质中的电场强度分别分界面上的面电荷密度本课件是可编辑的正常PPT课件恒定电场(电源外)静电场(Pv=0的区域)本课件是可编辑的正常PPT课件7.恒定电场与静电场比较练习题两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱

面，内导体半径为a,

分界面半径为b,

外导体半径为c;两层介质的介电常数分为c₁和ε₂、当外加电压为U

时，计算单位长度的电容。答案：本课件是可编辑的正常PPT

课件两层介质的同轴中的电场本课件是可编辑的正常PPT课件3.1边值问题的提法.2

唯一性定理3

镜像法.4

分离变量法◆3.5

有限差分法本课件是可编辑的正常PPT课件第3章边值问题的解法◆所谓边值问题就是给定边界条件下，求解

电位函数所满足的方程。◆就边界条件而言，不同的问题有不同的给

定方式，通常可以分为三类；◆而求解区域电位函数所满足的方程通常有

泊松方程和拉普拉斯方程本课件是可编辑的正常PPT

课件1.边值问题的提法第一类边界问题：已知场域边界面S上各点电位的○,即第二类边界问题：已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即第三类边界问题：已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值，即本课件是可编辑的正常PPT课件2.边值问题的分类如果边界面是导体，三类问题如何描述?3.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程(Poisson'sequation)在线性、各向同性、均匀的电介质中对电荷分布在导体表面即pv=0,则拉普拉斯方程(Laplace'sequation)本课件是可编辑的正常PPT课

件圆上的拉普拉斯方程本课件是可编辑的正常PPT课件本节要点唯一性定理描述■唯一性定理证明■唯一性定理应用3.2唯一性定理本课件是可编辑的正常PPT课件给定边界条件

给定边界条件唯一性定理(uniqueness

theorem)描述静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。本课件是可编辑的正常PPT课件1.唯一性定理描述静电场问题通常都可以归结为：在给定边值条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。即2.唯一性定理证明在第一类边界条件下，来证明唯一性定理。由格林第一定理D,

同时考虑▽²φ=0;

则设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有两解φ1和由于方程是线性的，两个解的差φ=φ₁

φ,也满足方程，,即本课件是可编辑的正常PPT课件唯一性定理的证明

(

续

)在边界上，φ'在边界上的值而(Vφ')²非负，故只有Vφ'=0即φ'=常数,所以φ′=0,因而可以推得φ因此在第一类边界条件下拉普拉斯方程的解是唯一的。o

唯一性定理也适合其它两类边界条件。本课件是可编辑的正常PPT课件3.唯一性定理的应用◆唯一性定理给出了拉普拉斯方程(或泊松方

程)定解的充分必要条件。◆这个定理启发我们，不管采用什么方法，只

要能找到一个既能满足给定的边界条件，又

能满足方程的电位函数，则这个解就是正确

的。◆镜像法、分离变量法等求解方法就是唯一性

定理的具体应用。本课件是可编辑的正常PPT

课件本节要点■镜像法■点电荷与平面边界■点电荷与球面边界■线电荷的镜像3.3

镜像法本课件是可编辑的正常PPT课件1.镜像法(imagemethod)◆镜像----暂时忽略边界的存在，在所求的区域

之外放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复

杂的电荷分布来进行计算，这个虚拟的电荷

被称为实际电荷的镜像。◆原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边

界条件。◆镜像法---唯一性定理的应用■

电荷产生的电位在源点外一定满足拉普拉斯方程。■原电荷与镜像电荷共同作用在边界上满足边界条

件，以决定镜像电荷的大小及位置。本课件是可编辑的正常PPT

课件注意!◆镜像电荷是虚拟电荷◆镜像电荷置于所求区域之外◆导电体的表面是等位面本课件是可编辑的正常PPT课件2.点电荷与平面边界◆无限大导电平面上方d处有一点电荷q,

则导电平面对点

电荷的影响可以用置于导电平面下方的镜像电荷-q来代

替，空间任一点P处的电位为口显然，电位函数在上半平面(除点电荷所在的点外)均满

足拉普拉斯方程；在边界分界平面上，电位函数满足边界条

件。根据唯一性定理，上式必是我们所求问题的解。本课件是可编辑的正常PPT

课件(1)镜像电荷的确定镜像电荷的数目若两平面的夹角为θ°,而360°10°=

n(偶数),则可以用

镜像法求解，且镜像电荷数为n-1。若360°10°不是偶数，则镜像电荷就会出现在所求区域之内，这将改变该区域内电位所满足的方程，因而不能用镜像法求解。■对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于

边界对称的位置上，且其两者大小相等、符号相反。本课件是可编辑的正常PPT

课件例3-1]自由空间垂直

于(3,4,0),放置的两无限

求(3,5,0)大导电平面，电量为100nC

的点电荷点的电位和电场强度。

置解：两平面夹角为90°,n=360°/90°=4

φ=735.2(3,5,0)点的电位和电场强度分别为：E=-19.8a,+891.36a本课件是可编辑的正常PPT课件所求点P(x,y,z)的电位：

其中

在3.点电荷与球面边界自由空间中一接地导体球半径为a,

一点电荷q置于距球心距离d处。计算导体球的表面电荷密度。解

：

q，,

-

荷;球内，且位于球心与实际电荷的连线上。任意点的电位为在一应上置量位数其在mq电设为此镜像假因般不等于真实电荷由于导电球面弯曲Cosθ

cosθ由电位函数在球表面处满足电位为零的边界条件，求出本课件是可编辑的正常PPT课件点电荷与球面边界(

续

)◆

导体球的表面电荷密度显然，只有当真实电荷在球面上时，镜像

电荷在数量上才等于真实电荷。当电荷远离

球体移动时，镜像电荷则趋向于球心。如果导体球不接地，结果又如何?本课件是可编辑的正常PPT课件点电荷与球面边界接地球的镜像电荷及场分布

非接地球的镜像电荷及场分布y-2-24.

线电荷的镜像◆自由空间中无限长接地导体圆柱半径为a,

一

个

线

电荷密度为p

的无限长带电直线置于离圆柱轴线距

离d处，求圆柱外空间任一点处的电位。口分析：导体圆柱在带电线的作用下，在柱面上出现感应电荷。假设感应电荷

为-p₁';

其位置在距原点b处，则柱外任

意点P处的电位为本课件是可编辑的正常PPT

课件□在导体圆柱表面电场强度的切向分量等于零，即利用上述条件得到本课件是可编辑的正常PPT课件(1)边界条件电位函数在圆柱表面处满足电位为零的边界条件，即在p=a

处对任意角度有□单位长度圆柱上的感应电荷为本课件是可编辑的正常PPT课件(2)结果◆此时圆柱外空间任一点处的电位感应电荷的总量与

镜像电荷的大小相等。镜像法的本质就是用集中镜像电

荷代替分布感应电用。□圆柱面上的感应电荷面密度为线电荷的镜像

3◆两半径均为a的无限长平行双导线，导线间距为D,

若导线间电压为U,

求空间任一点的电位和单位长

度的电容。口利用接地导体圆柱的镜像(上面的分析)得b=a²/h本课件是可编辑的正常PPT课件由于h+b

=D,因

而为参考点,线电荷在任意点处的电位分别为口任意点P处的总电位为位为□右、左边圆柱上任一点的电课件是可编辑的正常F1不iTPP00本结论◆因此，两圆柱导体间的电压为单位长度的电容C=πE

如果D>>

a,则In

-1□可见，不考虑两电荷之间的影响时的结果与第2章的结果完全一致。本课件是可编辑的正常PPT课件3.4

分离变量法分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单

变量函数乘积的方法。在直角、圆柱、球等坐标

系中都可以应用分离变量法。直角坐标系分离变量法■圆柱坐标系分离变量法■球坐标系分离变量法本课件是可编辑的正常PPT课件本节要点1.直角坐标系中的分离变量法如果待求问题的边界面形状适合用直角坐标系表示，待求

偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个

函数仅是一个坐标的函数。■电位函数的拉普拉斯方程为代入拉普拉斯方程可得到以下四个方程：本课件是可编辑的正常PPT课件k₂称为分离常数，它们三个中只有两个是独立的，

且它不能全为实数，也不能全为虚数或者为零。本课件是可编辑的正常PPT课件分离变量法(

续

)分离变量法(

续

)若k

为实数f(x)=Asink,x+A₂

cosk,x若k

为虚数，令

k=ja,则f(x)=Bsinhax+B₂coshax或

f(x)二

B'exp

B,若k=0,则微分方程的解为(x)

二

C

十Cg(y)和h(z)的情况类似因而求得

x)

)h(

Z对于给定边界条件的具体问题的解，拉普拉斯方程解的形式由边界条件来确定。本课件是可编辑的正常PPT课件例3-长方形截面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与槽绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为U₀,

求槽内的电位函数。解：这是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为：由分离变量法得以下三个方程本课件是可编辑的正常PPT课件且k

的取值为nπlamsin(nπxla)称为在上述边界条件下的本征函数k=nπla为本征值本课件是可编辑的正常PPT课件要满足(x=

在f(x)的三种可能的解中，只=0

的边界条件isink[例3-3]

续由常数方程得即k,为虚数，因此g(y)的解必为第二种。若要g(y)满足(y=0,0φ

=0的边界条件只有■电位函数的通解为本课件是可编辑的正常PPT

课件系数D

U₀

的边界条件决定，即利用三角函数的正交性质将等式两边同乘以sin-

X,

再对x从0到a积分得因此电位函数本课件是可编辑的正常PPT课件求和阶数

◎1

O3O5O10

O30电压位置

up

dow

ight电位函数与求和的阶数本课件是可编辑的正常PPT课件U₀=100V

槽内电位分布、等位线及梯度本课件是可编辑的正常PPT课件边界条件改变槽内电位分布、等位线及梯度本课件是可编辑的正常PPT课件分离变量法(小结)◆根据问题所给定的边界情况，选定适当的坐标系，写出

该坐标系的拉普拉斯(或泊松)方程的表达式；◆

确定待求电位函数为几个变量函数；◆

把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一

个函数仅是一个坐标变量的函数；◆

若待求位函数为二维函数，则将其表示成两个单变量函数的乘积；◆

将二个未知函数的乘积代入拉普拉斯(或泊松)方程，分解出二个常微分方程和一个常数方程。◆根据给定的边界条件和而二个常数之间的关系，写出二

个常微分方程解的通解形式；◆用给定的边界条件及三角函数的正交性，确定待定常数。

本课件是可编辑的正常PPT

课件练习题长方形截面的导体槽，边界条件如图所示，求槽内的电位函数。本课件是可编辑的正常PPT课件以上为直角坐标系中二维拉普拉斯方程的求解过程，三维拉普拉斯方程的求

解与上述类似，只是解答形式较复杂，在展成傅立叶级数时会遇到双重傅立叶

积分。本课件是可编辑的正常PPT课件边界条件变化对结果的影响2.圆柱坐标系中的分离变量法在求解圆柱空间或有柱面边界的场问题时，采用圆

柱坐标较为方便。圆柱坐标中电位的拉普拉斯方程为式中的所有系数均由边

界条件确定!口采用分离变量法，圆柱坐标系中拉普拉期方程的一个解为φ=(Asinh

kz+Bcoshkz)(Csinnφ+Dcosnφ)[FJn(kp)+GNn(n阶第一类贝塞尔函数本课件是可编辑的正常PPT

课件n阶第二类贝塞尔函数

或纽曼函数第一类贝塞尔函数曲线本课件是可编辑的正常PPT课件特殊情况1◆如果我们研究的问题是圆柱沿方向无限长，则电

位与z无关，此时拉普拉斯方程变为式中的所有

系数由边界

条件确定!口应用分离变量法上述方程的解为本课件是可编辑的正常PPT课件特殊情况2◆如果圆柱的电位是圆对称的且z方向无限长，即电位

与z和φ方向无关，此时拉普拉斯方程为口以上分析了几种条件下圆柱结构拉普拉斯方程

解的可能形式，下面举例来说明其具体应用。本课件是可编辑的正常PPT

课件□此时方程的解为φ=C₁In

p+C₂式中的系数同样由边界条件确定![例3-5]◆半径为a、介电常数为ε的无限长介质圆柱置于

均匀电场E₀中，圆柱轴线与E₀

垂

直

，求圆柱内、

外的电位和电场分布。□分析：在均匀电场作用下，介质圆柱表面将出现极化电荷，因而空间任一点的电位是均匀

场的电位和圆柱面上的极化电荷所产生的电位

的叠加。根据坐标面一致的要求，选择圆柱坐

标系如图所示。此时，均匀电场的电位和圆柱

表面的极化电荷所产生的电位均与坐标z无关。本课件是可编辑的正常PPT

课件设柱内、的电位分别为φ1和φ₂,其表达式分别为其边界条件为

(1)在圆柱轴线p=0处，φ₁应为有限值；(

2

)

当p→c

时，

φ₂应为-E₀pcosφ;(3)在p=a的圆柱面上本课件是可编辑的正常PPT

课件外[例3-5](续)◆由条件(1)得C₂=0、Fn=0,

此时圆柱内电位表达为由条件(2)得C{=0,C₂=0,

二口圆柱外的电位表达式为本课件是可编辑的正常PPT课件面两式任意角度都成立，比

较sinφ和cosφ的系数得=0仍

3由

条

件

(

3

)

得本课件是可编辑的正常PPT课件联立两组方程解得[例3-5](续)◆再比较其它正弦和余弦项的系数得=Bn=B′=0,综合上述各系数，可得到圆柱内、外的电位为本课件是可编辑的正常PPT课件可见，介质圆柱内的电场比原外加电场要小，这是由于介质圆柱在外加电场作用下发生极

化，极化后在右半圆柱面上产生正的极化电

荷，在左半圆柱面上产生负的极化电荷，极

化电荷在圆柱内产生的电场与外加电场E₀反向，因而总电场减弱。[例3-5](续)◆分别对电位函数求负梯度，可得相应外加电场中的介质柱外加电场中介质枉内外的等电位分布外加电场中介质枉内外的电场分布介质柱半径介质相对介电常数外加电场大小

O1

O5本课件是可编辑的正常PPT课件3.球坐标系中的分离变量法在求解球空间或有球面边界的场问题时，采用

球坐标较为方便。球坐标中电位的拉普拉斯方程为，利用分离变量法求得方程的通解为m

阶l

次第一类连带勒让德函数本课件是可编辑的正常PPT课件球对称性问题的解◆具有球对称性问题的拉普拉斯方程的通解为勒让德多项式例3-7]◆设有一半径为a的接地导体球，放置于均匀的外电场E₀中球外为真空，试求空间任一点处的电位和电场分布。,相等，由于导体球接地，所以球面和球内电位均为零。由于电位对极轴对称，电位与坐标φ无关，此时电位函数的通解应为：

其边界条件为(1)当r→0时，φ=-E₀rcosθ

(2)在导体球上有j_a=0本课件是可编辑的正常PPT课件分析：静电平衡状态下球面和球内电位处处◆所以上式展开成如下形式cosθ)

十

.

.

=

0因而有B

₁=E

0

U(l≠1本课件是可编辑的正常PPT课件由条件(1)可得A₁=-E₀,当

l≠1时A,=0[例3-7](续)由上式可见：在导体球表面仅有电场的法向分量，导体表

面感应电荷密度为3c₀E₀

cosθ,导体球外的电位(电场)是

由均匀电场E₀

和感应电荷共同产生的。本课件是可编辑的正常PPT课件[例3-7](续)◆所以球外任意点的电位为事实上能用分离变

量法进行求解的结构是

十分有限的，对于复杂

结构的电磁场问题，一采用数值法求解。球外任意点的电场强度为外加电场中的接地导体球当所求问题的边界比较复杂，通常采用数值解法。目前，

比较成熟的求解电磁场问题的数值解法很多，如主要有矩量

法、有限差分法、有限元法、边界元法等等，采用计算机求

数值解，理论上可以得到任意要求的精度。■差分方程的建立

简

单迭代法■超松弛法本课件是可编辑的正常PPT

课件3.5有限差分法本节要点□有限差分法是把微分方程在给定点附近用差分代数方程代替而计算电位的一种近似方法。1)一般来说，网格划分得

愈细所能达到的精度愈高，

但计算时间也愈长；2)网格的划分有不同的方

法，这里仅介绍正方形网格

划分。◆首先把求解区域划分成网格，把求解区域内连续的

场

分布用网格节点上的离散的数值解代替。1.差分方程的建立本课件是可编辑的正常PPT课件φ-1,;和φi+1,;可以用在点(i,j)附近的泰勒级数展开为本课件是可编辑的正常PPT课件差分方程的建立(续)设二维平面场中每个正方形格子的边长为h设区域中某点(i,j)

的电位为φ;

,

则其上下左右四个点的电位分别为线与线的交

点为节点差分方程的建立(续)□同理φ;j+1和φ;j-1在点(i,j)附近的泰勒级数展开为□在h足够小的情况下，忽略4阶以上的高次项，将以上四式相加得本课件是可编辑的正常PPT课件泊松方程与拉普拉斯方程的差分形式设所研究区域中电荷密度为pv,

点

(i,j)电位满足泊松方程在没有体电荷分布的区域，任意点的电位等

于围绕它的四个点的电位的平均值。本课件是可编辑的正常PPT课件如果所研究的区域pv=0,

则二维拉普拉斯方程的有限差分形式为1.简单迭代法口首先对待求节点设置初值；口当初值给定后，利用拉普拉斯方程的有限差分形式，按一

个固定的顺序(从左到右，从下到上)依次计算每点