石景山区2020届高三一模数学试卷及答案

高三数学试题第高三数学试题第3页（共14页）6.高三数学试题第6.高三数学试题第1页2020年石景山区高三统一测试数学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．设集合P={1,,,},Q={xIIxl<3,xeR}，则PcQ等于A.{1}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{—3,—2,—1,0,1,2,3}在复平面内，复数5+6i,3-2i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A.8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i下列函数中，既是奇函数又在区间（0,+8）上单调递减的是A.y—A.y——x2+2B.y—2—xC.y—Inx1d.y—-x4.圆x2+y2—2x—8y+13—0的圆心到直线ax+y—1—0的距离为1,则a=A.B.C.A.B.C.<3D.25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务,每个场馆至少1人,不同的分配方案有（）种A.36B.64C.72D.81如图,网格纸的小正方形的边长是1,粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图,则该几何体的体积为

如图,网格纸的小正方形的边长是1,粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图,则该几何体的体积为A.2B.4C.5D.87.函数f（宀cos®+6J（•>0）的最小正周期为"，则f（x）满足C兀A.C兀A.在0,厅上单调递增k3丿C.fB.图象关于直线x—对称65兀D.当x—时有最小值-1128设｛an｝是等差数列，其前n项和为Sn则“S1+S3〉2笃”是“｛an｝为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设/（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x,x丘R，使得12fJ:3）—/（兀1）：/（兀2），则称函数f（X）具有性质P，那么下列函数:—x丰0①f（x）彳x:②f（X）—X2；③f（X）—Ix2-11；0x—0具有性质P的函数的个数为A.0B.1C.2D.310.A.[2j5]P10.A.[2j5]P在正方形BCCB1点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD-ABCD中棱BC,CC的中点，动点11111第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．TOC\o"1-5"\h\z1/3F3i已知向量BA—（2，-^），BC=^^<2），则zABC=.已知各项为正数的等比数列｛a｝中，ai—1，其前n项和为S（neN*）,且nin11aa1211aa12-，则s413•能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a>b，则a<b”是假命题的一组整数a，b的值依次为14.已知F是抛物线C：y2—4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN—15.石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是、．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=PB=2\：2，ACcBD=O.p（I）求证：BO丄面PAC；p（II）求二面角A-PC-B的余弦值.17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科

高三数学试题第4页（共14页）高三数学试题第高三数学试题第#页(共14页)2x2—a2a令2x2—a2a令h(x)=二0，解得x=.xV23分x(屈+8)h'(x)一0+h(x)减极小值增当x变化时，h'(x),h(x)的变化情况如下表:5分所以在(0,+乂)的最小值为h(\：2)=2—a叫I=aaaaIn22226分解得0<a<2e.TOC\o"1-5"\h\z所以当0<a<2e时，h(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)恒成立.7分(II)可作出2条切线.8分理由如下：当a=1时，g(x)=lnx.设过点(1，1)的直线l与g(x)=lnx相切于点P(x0,y0)，9分则g'则g'(x0)=1即一=x0lnx—10x—1010分整理得xlnx—2x+1=10分000令m(x)=xlnx―2x+1，则m(x)在(0,+3)上的零点个数与切点P的个数一一对应.11分m(x)=lnx—1，令m(x)=lnx—1=0解得x=11分当x变化时，m'(x),m(x)的变化情况如下表:x(0,e)e(e,+8)m'(x)—0+m(x)减极小值增所以m(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+x)上单调递增.TOC\o"1-5"\h\z1112—+1>0e2且m(—)=xIn-—+1>0e2e2e2e2e2m(e)=exlne—2e+1=—e+1<013分m(e2)=e2xlne2一2e2+1=1>13分所以m(x)在(丄,e)和(e,e2)上各有一个零点，即xlnx—2x+1=0有两个不同的解.e2所以过点(1，)可作出y=lnx的2条切线.14分21.(本小题14分)解：(I)集合A不具有性质P，集合B具有性质P.A+A={2,5,8,11,14},card(A+A)=5丰3(3+1)不具有性质P;2B+B={4,6,8,10,12,16},card(B+B)=6=3(3+1)，具有性质P.3分2(II)若三个数a,b,c成等差数列，则A={a,b,c}不具有性质P，理由是a+c=2b.因为a<a<a<2020且aeN*(i=1,2,3)所以a<2019，123i3要使a1+a2+a3取最大，则a3=2019；a2<2018，易知{2018,2019,2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a=2017；2a<2016，要使a+a+a取最大，检验可得a=2013；11231(a+a+a)=6049…………8分123max

(Ill)集合A具有性质P.设等比数列的公比为为q，所以a二aqn一(a>0)且q为有理数,n11假设当i<k冬1<j时有a+a.=ak+匕成立，则有ijklqj_i—qk_i+qi-i—1m因为q为有理数，设q——(m,neN*)且(m，n互质)，因此有n