(新高考)高考物理一轮复习课时加练第2章　微专题14　平衡中的临界极值问题 (含解析)

微专题14平衡中的临界极值问题1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.2.多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．1.如图所示，一质量为2kg的物块甲放在水平台面上，与水平台面之间的动摩擦因数为0.6.三根轻质细绳OA、OB、OC一端结于O点，绳OA另一端固定在天花板上，与竖直方向的夹角为θ＝37°，且绳OA能承受的最大拉力为22N，绳OB的另一端水平连接在物块甲上，绳OC竖直悬挂另一物块乙．取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若要使O点静止不动，则悬挂的物块乙的质量不能超过()A．1.2kg B．1.6kgC．2.0kg D．2.2kg答案B解析绳子OB的最大拉力为FOB＝μm甲g＝12N，假设O点静止不动，绳OA能承受的最大拉力为22N时，根据平衡，绳子OB的拉力为FOB′＝FOAsin37°，解得FOB′＝13.2N，假设矛盾，则绳子OB达到最大拉力时，O点静止不动，绳子OC的拉力最大，根据平衡条件得，FOC＝eq\f(FOB,tan37°)＝16N，则悬挂的物块乙的质量m乙＝eq\f(FOC,g)，解得m乙＝1.6kg，故选B.2．用一根轻质细绳将一幅质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m，已知绳能承受的最大张力为10N，为使细绳不断裂，轻质细绳的长度至少为()A.eq\f(\r(2),2)m B.eq\f(\r(3),2)mC.eq\f(\r(3),3)m D．1m答案C解析以画框为研究对象，受力分析如图所示，受到重力mg和两个大小相等的细绳拉力F的作用而处于静止状态，当F＝Fmax＝10N，对应于细绳不被拉断的最小长度L，作细绳拉力的合力F合，由平衡条件得F合＝mg＝10N，所以两绳拉力的夹角是120°，绳子的最小长度L＝eq\f(L0,sin60°)＝eq\f(0.5,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),3)m，故选C.3.用细绳AC、BC吊一重物，两绳子能承受的最大力均为100N，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，如图所示．若使绳子不断，最多能悬挂重物的重力为()A.eq\f(100,3)eq\r(3)N B.eq\f(200,3)eq\r(3)NC．100eq\r(3)N D．200N答案B解析以重物为研究对象，受力如图所示，由平衡条件得：FTACsin30°＝FTBCsin60°①FTACcos30°＋FTBCcos60°＝G②由①式可知：FTAC＝eq\r(3)FTBC当FTBC＝100N时，FTAC＝100eq\r(3)N>100N，AC将断；当FTAC＝100N时，FTBC＝eq\f(100,3)eq\r(3)N<100N，BC不断；故当FTAC＝100N时悬挂重物的重量最大，将FTAC＝100N，代入②式，解得G＝eq\f(200\r(3),3)N，综上分析，最多能悬挂重物的重力为G＝eq\f(200\r(3),3)N，A、C、D错误，B正确．4.(2023·广西柳州市模拟)如图，某同学通过一细绳拉动木箱，使木箱沿水平面运动，细绳与水平方向的夹角为α.已知细绳能承受的最大拉力为100N，木箱和地面的动摩擦因数为μ＝0.5，则木箱的质量不能超过(木箱可视为质点，sinα＝0.6，重力加速度g＝10m/s2)()A．10kg B．16kgC．22kg D．28kg答案C解析若要满足木箱沿水平面运动，对木箱受力分析可得：水平方向FTcosα＝μFN，竖直方向：FTsinα＋FN＝mg，解得FN＝160N，m＝22kg，故选C.5.重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点(如图所示)，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为()A.eq\f(1,2)G B.eq\f(\r(3),3)GC．G D.eq\f(2\r(3),3)G答案A解析对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0.对B球受力分析如图所示，则当F与O、B间绳垂直时F最小Fmin＝Gsinθ，其中sinθ＝eq\f(l,2l)＝eq\f(1,2)，则Fmin＝eq\f(1,2)G，故A项正确.6．(多选)如图所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝eq\f(1,\r(3))，g取10m/s2，当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是()A．牵引力F的最小值为25NB．牵引力F的最小值为eq\f(25,3)eq\r(3)NC．牵引力F与水平面的夹角为45°D．牵引力F与水平面的夹角为30°答案AD解析物体受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff和拉力F的共同作用，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示．由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有Fcosθ＝μFN，在竖直方向上有Fsinθ＋FN＝mg，联立解得F＝eq\f(μmg,cosθ＋μsinθ)，设tanφ＝μ，则cosφ＝eq\f(1,\r(1＋μ2))，所以有F＝eq\f(μmg,cosθ－φ)·eq\f(1,\r(1＋μ2))，当cos(θ－φ)＝1，即θ－φ＝0时，F取到最小值Fmin＝eq\f(μmg,\r(1＋μ2))＝25N，tanφ＝μ＝eq\f(1,\r(3))，所以解得φ＝30°，θ＝30°，故A、D正确．7.如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，设物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝eq\f(\r(3),3)，则这一临界角α的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°答案C解析设斜面倾角为α时，无论F多大都不能推动物体．受力情况如图所示．对物体进行受力分析，建立沿斜面方向与垂直于斜面方向的直角坐标系，沿斜面方向，有Fcosα＝mgsinα＋Ff，垂直于斜面有FN＝mgcosα＋Fsinα，又Ff＝μFN，联立解得F＝eq\f(mgsinα＋μmgcosα,cosα－μsinα)，故当cosα＝μsinα时，分式趋于无穷大，此时μ＝eq\f(1,tanα)，又因μ＝eq\f(\r(3),3)，解得α＝60°，故C正确．8.如图所示，质量为m1＝4kg的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态．(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？(3)若人的质量m2＝60kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量最大不能超过多少？答案(1)50N30N(2)30N水平向左(3)24kg解析(1)以结点O为研究对象，建立直角坐标系，将FOA分解，如图所示，由平衡条件得：FOB－FOAsinθ＝0FOAcosθ－m1g＝0代入数据解得：FOA＝50N，FOB＝30N(2)对人受力分析，如图所示，由平衡条件得：Ff＝FOB＝30N方向水平向左(3)当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值，则有：Ffm＝μm2g由平衡条件得：FOBm＝Ffm又FOBm＝m1mgtanθ＝eq\f(3,4)m1mg代入数据解得：m1m＝24kg.9.如图，在粗糙的水平地面放置一重力为50N的劈形木块，在劈形木块斜面上有一个重力为100N的光滑小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为30°，斜面倾角为30°，整个装置处于静止状态．则：(1)斜面对小球支持力的大小为多少？(2)地面与木块间的动摩擦因数至少多大？(3)若在小球上施加一个外力F，让小球脱离劈形木块，这个外力的最小值为多少？答案(1)eq\f(100\r(3),3)N(2)eq\f(\r(3),6)(3)50N解析(1)以小球为研究对象，受力分析如图所示由平衡条件得FNsin30°＝FTs