2021年广西壮族自治区河池市板岭乡中学高三数学文月考试卷含解析

2021年广西壮族自治区河池市板岭乡中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A．66条 B．72条 C．74条 D．78条参考答案：B考点： 直线与圆的位置关系；计数原理的应用．

专题： 数形结合．分析： 先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有3个，依圆的对称性知，圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有12个点任取2点确定一条直线，利用计数原理求出直线的总数，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax+by﹣1=0不经过原点，如图所示上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线利用总数减去12，再减去6即可得到满足题意直线的条数．解答： 解：当x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1，7）、（5，5）、（7，1），根据题意画出图形，如图所示：根据圆的对称性得到圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C122=66条，过每一点的切线共有12条，上述直线中经过原点的有6条，如图所示，则满足题意的直线共有66+12﹣6=72条．故选B点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，以及计数原理的运用．根据对称性找出满足题意的圆上的整数点的个数是解本题的关键．2.在R上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则实数的最大值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.若，且，则下列不等式成立的是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B，所以选B.4.过点（，0）引直线与曲线交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（

）A.

B. C. D.参考答案：【答案解析】B解析：由，得x2+y2=1（y≥0）．

所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），

设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，

则-1＜k＜0，直线l的方程为y-0=k(x?)，即kx?y?k＝0．

则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．

则S△ABO＝

=．

令，则S△ABO＝，当t＝，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=．故选B．【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．5.已知复数，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.6.已知函数，若则的取值范围是（

）

A.

参考答案：【知识点】函数的奇偶性，解不等式.

B4

E3【答案解析】C

解析：因为，所以是偶函数，所以为，解得，所以选C.【思路点拨】先确定是偶函数，所以为，解得.7.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处于C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域．该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为(

) A． B．1﹣ C． D．1﹣参考答案：B考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．解答： 解：信号覆盖范围为阴影区域，其面积之和2=2，则该地点无信号的面积S=e2﹣2，则对应的概率P==1﹣；故选：B．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，平面图形面积的计算，根据条件求出对应的面积是解决本题的关键．8.函数的图像如图所示，则的值等于A． B．

C． D．1参考答案：C9.在平面直角坐标系中，已知，，，则的值为（

）． A． B． C． D．参考答案：B解：，，∴．故选．10.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性都相同的是参考答案：D为奇函数，单调递增.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是

▲

．参考答案：12.已知两曲线参数方程分别为它们的交点坐标为____________参考答案：13.给出下列命题中①非零向量满足，则的夹角为；②＞0，是的夹角为锐角的充要条件；③将函数的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为；④在中，若，则为等腰三角形；以上命题正确的是

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：①③④①由得，三角形为等边三角形，所以与的夹角为。所以正确。②当夹角为时，满足，但此时夹角不是锐角，所以错误。③函数按平移，相当于沿着轴向左平移1个单位，此时得到函数的图象，所以正确。④，即，所以为等腰三角形，所以正确。综上命题正确的是①③④。14.以线段AB：为直径的圆的方程为

参考答案：15.若函数在区间是减函数，则的取值范围是

.参考答案：．16.下列命题①②③函数的最小值是4④其中正确命题的序号是

参考答案：②④略17.如图，△ABC内接于,AB=AC，直线MN切于点C，弦，AC与BD相交于点E．若AB=6,

BC=4，则DE=__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】（1）可确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x+﹣3=，从而确定函数的单调区间；（2）求导f′（x）=，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=x2+lnx﹣3x+1，f′（x）=2x+﹣3=，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；故f（x）的单调减区间是（，1），单调增区间是（1，+∞）和（0，）；（2）f′（x）=，当a≥1时，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（1）=﹣1，当0＜a＜1时，f（x）在（1，）上单调递减，所以，当x∈（1，）时，f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，当a≤0时，f′（x）＜0，即f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．19.（10分）（2010?崇文区一模）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1．（2）求证：MN⊥平面A1B1C．（3）求三棱锥M﹣A1B1C的体积．参考答案：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形．∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≌△AMC．∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A1B1C的高．在直角△MNC中，，∴．又．．20.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.（1）求的值；（2）正数满足，求证：.参考答案：（1）由绝对值不等式要满足题意，则，解得∴（2）由（1）知正数满足∴21.（2016?白山二模）已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若?a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；综合法；集合；不等式．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+，∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+3