材料非线性有限元讲义

第三章材料非线性

有限元分析1非线性弹性问题的有限单元法2弹塑性问题的有限单元法2000.41哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1非线性弹性问题的有限单元法

前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此象线性问题一样，设位移和应变分别为则全量形式的应力为增量形式的应力为2000.42哈尔滨建筑大学王焕定教授制作同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为进行先处理（定位向量）集成，可得与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因此要用第一章介绍的方法来求解。1）切线刚度法——牛顿法集成非线性方程用牛顿法求解时，切线刚度矩阵为(这里认为)2000.43哈尔滨建筑大学王焕定教授制作经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为式中Rn是应力σn引起的结点力，因此其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤，这里不再赘述。(P.22)因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足够小。表示集成2000.44哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

5)由式（3．6）进行迭代，直到满足精度要求。从此可得切线刚度法的计算步骤为：1）设=，求线弹性解；2）由求各单元的应变、应力；3）从计算单元切线刚度矩阵并集装；4）计算并集装；2000.45哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2）应力转移、初应力法——修正牛顿法为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因为初始切线刚度矩阵，故表示集成2000.46哈尔滨建筑大学王焕定教授制作式中是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从修正牛顿法迭代公式可得因为非线性应力所以若将视作“初应力”，并记则表示集成它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力和真实应力之差）。因此也称初应力法。2000.47哈尔滨建筑大学王焕定教授制作4）由(3．8)求，反复迭代，直到足够小。从讲义式（3．8）可得初应力法的计算步骤为：1）

由集装初始切线刚度矩阵；2）由求线弹性的解；3）

由计算各单元的，并集装；2000.48哈尔滨建筑大学王焕定教授制作又设第n步单元非线性应力对应的弹性应变为则非线性的应变可表为残余(初)应变式中也可视作“初应变”，由上式可得因此单元刚度方程为有些问题的本构关系是用应力表示应变,即3）初应变法——修正牛顿法2000.49哈尔滨建筑大学王焕定教授制作也即初应变可作为等效结点荷载考虑由此，象初应力法一样，可得迭代公式为因为它是不断修改初应变，使趋于一常量（总应变和弹性应变之差）。因此也称初应变法。其求解步骤如下页所示。表示集成为了更好地掌握上述知识，讲义上举了一个简单例子，用以说明切线刚度法和初应力法。2000.410哈尔滨建筑大学王焕定教授制作初应变法的计算步骤为：1）由集装初始切线矩阵；2）由求线弹性的解；3）计算单元线弹性应变和单元初应变；4）

由集装;5）由（3．8）求;迭代直到很小。2000.411哈尔滨建筑大学王焕定教授制作为了更好地理解，这一例子各种方法的示意图如下所示。2000.412哈尔滨建筑大学王焕定教授制作20沾00叹.413哈尔拌滨建熊筑大队学着王拿焕定词教授霜制作20搅00乒.414哈尔姻滨建昆筑大蚕学堤王烛焕定尝教授悠制作20园00断.415哈尔穷滨建营筑大步学昼王治焕定裙教授壮制作20激00筐.416哈尔稻滨建丑筑大耕学灭王塔焕定访教授迎制作2耻弹塑轧性问称题的刃有限弹单元译法材料毒应力锋应变除非线惰性、各岩土嫂工程鞠的开赌挖和散施工醉过程痕等对南结果袭有重鞠大影露响的舌问题壮，都亭必须蹦用增边量法闪来求蕉解。在增爷量荷径载ΔRm作用疑下，扁位移馅、应亲力、诸应变扬和内葡变量贴等的环增量搏分别岔为下一跳步迭被代时谊的荷敞载水逮平为设m迭代似步的启结果拔已知嗽，位批移、备应力余、应伯变和母内变暂量等倚分别疼记作20伴00吉.417哈尔秧滨建同筑大势学鹊王随焕定备教授巨制作由于型所讨质论的主是小救变形裤问题嗓，因性此或对弹具塑性祖问题签，本哈构关悄系为也即单元增量应变为。象弹性问题一样，第m+1步单元刚度方程为弹性钩矩阵塑性码矩阵弹塑岁性矩石阵精确特解时20船00同.418哈尔兽滨建写筑大兄学棕王捉焕定民教授接制作因此搞应力吧增量奴为由于利在ΔRm作用拿前后莲，单芬元高浑斯积威分点租的应新力状航态可浪能是箩弹性货，也价可能被是塑急性。床因此兔首先自得解艳决状狮态判绸别问挖题。基于经此，忙由单反元集叠成可徐得整千体非尽线性妥方程旦为在第桐二章革已讨拐论了遭应变碧空间株的加堂、卸揪载的西规则氧，它晓们是20数00申.419哈尔面滨建助筑大设学列王宗焕定臭教授援制作为进砌一步宝讨论妻状态圈判别申，设骡在荷排载Rm作用义下应搭力和纳内变引量对傻应一够弹性停状态本，也静即其几张何解矩释为妈：弹性苹应力勒增量指向紫屈服词面内躲侧或认相切霞时，袍反应刃是弹炭性的描。否庄则是始塑性晌加载彼，反轿应是肃弹塑莲性的累。增加支荷载ΔRm后，甩转入妄塑性团状态垒，即弹性夏应力弹性锁应力20珠00滨.420哈尔吨滨建河筑大投学斥王猎焕定莫教授娇制作也可滋由下更式线珍性内堪插确父定因此惯可用范下式韵确定而中性慨变载关点处寒弹、避塑性甜部分挽的比邮例因拣子r基于顿此，桐加荷级载ΔRm后，全应力赔增量肝为弹性驱应力转图20董00腐.421哈尔友滨建拒筑大债学朋王老焕定链教授多制作当ΔRm足够监小时顺(Δεm足够北小)协，上站式可氏写为跳转式中Dp是按计算的塑性矩阵。当r=1衔时，迈反应责是纯加弹性夸的，掏可以抖是弹饺性到告弹性协、塑侨性卸较载到云弹性虽或中届性变植载。当r=0浙时，老应力季应变层是塑颠性的茅，是陵弹性滑到塑笑性的舌加载毛。0她<r<1焦时，判应力愚应变秆是弹鄙塑性拉的。转图讲义夏上给呼出了结由应限变求寒应力接的计虹算步蹈骤，隐可供赴编程迅时参繁考。总(P稼.3肿1)弹性超应力20牵00者.422哈尔距滨建鞭筑大亩学询王烛焕定症教授悲制作弹性弹性塑性fmfm+1弹性转18有状夹态改谜变无状钱态改溉变弹性塑性由中滋性状散态改鸟变到考塑性20忧00收.423哈尔配滨建卖筑大端学插王船焕定顽教授比制作解决泻了由算应变这求应擦力的液计算趁，下吊面再袜解决橡弹塑骨性问抹题非铁线性贱方程路组求胞解问凤题。将其争代入砖单元泳刚度拔方程恒，可脆得首先，以下的弹塑性矩阵代替增量应力应变关系中的，也即有“线性关系”进行整体集成，可得（认为）集成20写00毯.424哈尔的滨建遮筑大盲学紧王应焕定访教授膜制作由此容，