(完整版)高等数学基础作业答案

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高等数学基础第一次作业点评责任教师：许院年第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题1.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等。A.f(x)=x,g(x)=x/(x^2-1)B.f(x)=x^2,g(x)=xC.f(x)=lnx,g(x)=3lnx点评：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同，与自变量或因变量所用的字母无关。2.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称。A.坐标原点B.x轴C.y轴D.y=x点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于Y轴对称。3.下列函数中为奇函数是(B)。A.y=ln(1+x)B.y=xcosx^2C.y=ax+a^-xD.y=ln(1+x^2)点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。4.下列函数中为基本初等函数是(C)。A.y=x+1B.y=-xC.y=x^2D.y={-1,x<0;1,x≥0}点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。5.下列极限计算不正确的是(D)。A.lim(x^2)/(x+2x^2)=1B.limln(1+x)/(2x)=1/2C.limsinx/x=1D.limxsinx/x=0点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如C，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。6.当x→0时，变量(C)是无穷小量。A.1/sinxB.x/xC.xsinxD.ln(x+2)点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量。7.若函数f(x)在点x满足(A)，则f(x)在点x连续。A.limf(x)=f(x)x→xB.f(x)在点x的某个邻域内有定义C.lim⁡(f(x+)+f(x-))=f(x)D.lim⁡(f(x+)-f(x-))=0点评：直接用函数在某点连续的定义判断。即函数在某点连续，则在该点的极限值等于函数值。（二）填空题1.函数f(x)=(x^2-9)/(x-3)+ln(1+x)的定义域是{x|x≤-3或x>3}。点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。1.已知函数f(x+1)=x+x，则f(x)=x-1。2.lim(1+1/x)^(2x)=e^2，利用重要极限之一进行变形。3.若函数f(x)={(1+x),x<x+k;x+k,x>=x+k}在x=k处连续，则k=e。4.函数y={x+1,x>x_0;sin(x),x<=x_0}的间断点是x=x_0，因为函数在该点的函数值不等于极限值。5.求极限常用的方法有：利用极限的四则运算、利用两个重要极限、利用无穷小量的性质、利用连续函数的性质。6.设函数f(x)={e^x,x>e;x,x<=e}，求f(-2)、f(0)、f(1)，注意分段函数的函数值要正确选择某段函数。7.求函数y=log[log(2x-1)/(xlgx)]的定义域，即x>1。8.在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数，建立函数关系的一般步骤是：分析问题中的各个量，建立适当的坐标系，由已知条件或题意找出变量之间的关系，确定自变量的取值范围。9.求lim(sin3x/x)^(1/3)，利用重要极限进行变形。10.求lim[(sin(x+1))/(x-1)]/(x-1)，利用重要极限进行变形。1.对于第一题，正确利用两个重要极限，将函数作适当变形，可以改写为：求lim(x->0)(tan3x)/(3x)，利用极限的定义和三角函数的公式，得到lim(x->0)(tan3x)/(3x)=lim(x->0)(sin3x)/(3x*cos3x)=1/3。2.对于第二题，同样利用三角函数的公式，将sin3x化简，得到lim(x->0)(sin3x)/(sin3x+1)=lim(x->0)(3sinx-4sin^3x)/(3sinx+4sin^3x+1)，再利用极限的定义和分子分母同时除以x，得到lim(x->0)(3sinx-4sin^3x)/(3sinx+4sin^3x+1)=lim(x->0)(3-12x^2)/(3+4x^2+1/x^2)，最终结果为3。3.对于第三题，利用极限的定义，将分式拆开，得到lim(x->0)[(1+x^2-1)/(x*sinx)]=lim(x->0)(x^2)/(x*sinx*(1+x^2+1))，再利用极限的算法，得到lim(x->0)(x^2)/(x*sinx*(1+x^2+1))=1。4.对于第四题，将分式化简，得到原式=lim(x->∞)[(x-1)/(x+3)]=lim(x->∞)[1-4/(x+3)]=1，其中最后一个等号利用了极限的算法。5.对于第五题，将分式拆开，得到原式=lim(x->4)[(x-4)(x-2)/(x-2)(x-1)]=lim(x->4)(x-4)/(x-1)=-4/3，其中最后一个等号利用了极限的算法。6.对于第六题，讨论分段函数在分段点处的连续性，可以将其分为三个部分，即x<-1，-1<=x<=1，x>1。对于-1<=x<=1的部分，函数f(x)是连续的；对于x<-1和x>1的部分，函数f(x)在分段点处不连续，因为其左右极限不相等。因此，函数f(x)的连续区间为[-1,1]。limf(x)=limf(x)，故limf(x)=1。x→1-x→1+x→1又因为f(1)=1所以x→1x=1=1limf(x)=f(1)故x=1是函数f(x)的连续点。函数f(x)在连续区间是：(-∞,-1)∪(-1,+∞)。高等数学基础第二次作业第3章导数与微分（一）单项选择题存在，则lim(f(x)/x)=（B）．x→xA.f()B.f'()C.f'(x)D.f''(x)设f(x)在x可导，则lim(f(x-2h)-f(x))/h=（D）．h→0A.-2f'(x)B.f'(x)C.2f'(x)D.-f'(x)设f(x)=e，则lim(f(1+Δx)-f(1))/Δx=（A）．Δx→0A.eB.2eC.e^11D.e^24设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-99)，则f'()=（D）．A.99B.-99C.99!D.-99!下列结论中正确的是（C）．A.若f(x)在点x有极限，则在点x可导．B.若f(x)在点x连续，则在点x可导．C.若f(x)在点x可导，则在点x有极限．D.若f(x)在点x有极限，则在点x连续．（二）填空题⑴设函数f(x)=xsin(x)，则f'()=（sin()+cos()）/()。⑵设f(x)=ln(x)2+5，则f'(x)=2ln(x)/x。⑶曲线f(x)=x+1在(1,2)处的切线斜率是2。⑷曲线f(x)=sin(x)在(π/2,1)处的切线方程是y=1-x+(π/2)。⑸设y=x，则y'=x(2lnx+2)。⑹设y=xln(x)，则y''=1/x。（三）计算题⑴求下列函数的导数y'：1．y=(x/x+3)e^3x解：y'=(xe^3x+3e^3x)/(x+3)^2。2．y=cot(x)+xln(x)/3解：y'=-csc^2(x)+ln(x)/3+1/3。3．y=(cos(x)-sin(x))/(sin(x)-cos(x)x^2)解：y'=[-sin(x)cos(x)x^2-cos(x)-sin(x)2x]/(sin(x)-cos(x))^2。4．y=ln(x)/(2xln(x)-x)解：y'=(2ln(x)-1)/(2xln(x)-x)^2。5．y=x^3+2x^2-5x+1/x^2解：y'=3x^2+4x+5/x^3。6．y=sin(x)cos(x)解：y'=cos^2(x)-sin^2(x)。7．y=x^2sin(x)cos(x)解：y'=2xsin(x)cos(x)+x^2(cos^2(x)-sin^2(x))。8．y=(x^2+1)/(x^2-1)^(1/2)解：y'=2x/(x^2-1)^(1/2)。9．y=ln(x^2+1)^(1/2)解：y'=x/(x^2+1)^(1/2)。10．y=(x^2+1)/(x^2-1)解：y'=-2x/(x^2-1)^2。1.剔除格式错误和明显有问题的段落。2.改写每段话：解题步骤：⑴$y=e^x$，$y'=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$⑵$y=\ln(\cosx)$，$y'=\frac{d}{dx}(\ln(\cosx))=\frac{-\sinx}{\cosx}=-\tanx$⑶$y=x^3-x^4+x^8$，$y'=3x^2-4x^3+8x^7$⑷$y=\sinx$，$y'=\frac{d}{dx}(\sinx)=\cosx$⑸$y=\sin^2x$，$y'=\frac{d}{dx}(\sin^2x)=2\sinx\cosx$⑹$y=\cos\frac{1}{x}$，$y'=-\sin\frac{1}{x}\cdot(-\frac{1}{x^2})=\frac{\sin\frac{1}{x}}{x^2}$⑺$y=\sinx\cosnx$，$y'=\frac{d}{dx}(\sinx\cosnx)=\sinx(-n\sinnx)+\cosx(n\cosnx)=n\cosnx\sinx-\sinnx\cosx=n\sin(x-nx)$⑻$y=5^{\sinx}$，$y'=\frac{d}{dx}(5^{\sinx})=\ln5\cdot5^{\sinx}\cosx$⑼$y=e^{\cosx}$，$y'=\frac{d}{dx}(e^{\cosx})=-e^{\cosx}\sinx$1.在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求y'：这组求函数的导数计算题采用的是隐函数的求导法。有两种方法，第一种是在方程两端对自变量x求导，将y视为中间变量，利用复合函数求导法则。第二种方法是对方程两端同时求微分，利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，求得微分后求导数。解法一：将方程两边对x求导：y'cosx-ysinx=2e移项得：y'(cosx-2eysinx)=ysinx所以：y'=ysinx/(cosx-2eysinx)解法二：对方程两端同时求微分：cosxdy-ysinxdx=2edx所以：dy/dx=(ysinx/cosx-2eysinx)2.y=cosylnx将方程两边对x求导：y'=(cosy)'lnx+cosy(lnx)'y'=-siny/x+cosy/x移项得：y'(1+sinylnx)=cosy/x所以：y'=cosy/(x(1+sinylnx))3.2xsiny=y/(2xy-x^2y'^2)将方程两端同时对x求导：2cosy+2xcosy'-2y'siny-2x^2yy''=0移项得：y''=(2cosy+2xcosy'-2y'siny)/(2xy-x^2y'^2)化简得：y''=(-2siny)/(2x-y'y^2)4.y=x+lny因为：y'=1+(1/y)所以：dy=(1+(1/y))dx5.lnx+e=y将方程两边对x求导：1/x+e^y*y'=2y*y'移项得：y'=(1/x)/(2y-e^y)6.y+1=esiny将方程两边对x求导：y'=e^siny*cosy-excosy*y'移项得：y'+excosy*y'=e^siny*cosy化简得：y'=e^(-xcosy)*cosy/(1+exsiny)7.e=e^-y将方程两边对x求导：-ey'=ex*3y^2*y'移项得：y'=-e^(3y)/y^2x8.y=5+2lnx将方程两边对x求导：y'=5/x+2yln2/x化简得：y'=5ln5/(x(1-2ln2y)))9.y=cotx+cscx因为：y'=-csc^2x-cscxcotx所以：dy=(-csc^2x-cscxcotx)dx2ucosx=2sinxcosx=sin2x，所以dy=sin2xdx。解：设y=tanu，x=e^u，则y'=y/x=2cosu/(ex)，所以y'=cos2x。因此，dy/dx=cos2x。求下列函数的二阶导数：⑴y=x，解：y'=1，y''=0。⑵y=3x，解：y'=3，y''=0。⑶y=lnx，解：y'=1/x，y''=-1/x^2。⑷y=xsinx，解：y'=sinx+xcosx，y''=2cosx-xsinx。证明题：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。对f(-x)=-f(x)两端对x求导，得到f'(-x)=-f'(x)。因此，f'(x)是奇函数的导数，即f'(x)是偶函数。因此，f'(x)是偶函数。1.设函数f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f'(x)<0,f''(x)<0，则f(x)在此区间内是单调减少且是凸的。2.设函数f(x)=ax^3-(ax)^-ax-a在点x=1处取得极大值-2，则a=1/3。3.填空题：(1)设f(x)在(a,b)内可导，x∈(a,b)，且当x<x时f'(x)<0，当x>x时f'(x)>0，则x是f(x)的极小值点。(2)若函数f(x)在点x可导，且x是f(x)的极值点，则f'(x)=0。(3)函数y=ln(1+x)的单调减少区间是(-∞,-1]。(4)函数f(x)=e^x的单调增加区间是(-∞,+∞)。(5)若函数f(x)在[a,b]内恒有f'(x)<0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)。(6)函数f(x)=2+5x-3x^2的拐点是(0,2)。4.计算题：(1)求函数y=(x+1)(x-5)/3的单调区间和极值。解：y=(x+1)^2(x-5)/22得驻点：x=-1,x=5,x=7/3xy'y-111/7极大5-11/7极小7/30驻点∴f(x)在(-∞,-1]∪[5,+∞)内单调上升，在[-1,5]内单调下降。最小值是f(5)=-14/3，最大值是f(7/3)=4/27。(2)求函数y=3(x^2-2x)^2在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值。解：y=3(x^2-2x)^2=3(x^2-2x)(x^2-2x)=3(x^2-2x)(x-3)(x+1)得驻点：x=0,x=1,x=3xy'y0001-812300∴f(x)在[0,1]上单调上升，在[1,3]上单调下降。最小值是f(3)=0，最大值是f(1)=12。32.解：根据题意，可以列出以下方程组：--8x+4b-2c+d=44-a+b+c+d=-10-12a-4b+c=-24-6a+2b=16解方程组可以得到：-a=1-b=-3-c=-24-d=16因此，函数为y=x-3x^2-24x+16。33.解：设圆柱体的底面半径为x，高为h，则圆柱体的体积为V=πx^2h。圆柱体的侧面积为S=2πxh，底面积为πx^2，因此圆柱体的表面积为S=2πxh+2πx^2。将V用x和h表示，得到h=V/(πx^2)，代入S中，得到S=2πx(V/(πx^2))+2πx^2=2V/x+2πx^2。对S求导数，得到S'=-2V/x^2+4πx。令S'=0，解得x=(V/(2π))^(1/3)。将x带入S中，得到S=6(V^(2/3)π^(1/3))，因此当底半径和高分别为(V/(2π))^(1/3)时，圆柱体的表面积最小。35.解：设长方体底面正方形的边长为x，长方体的高为h，则长方体的体积为V=x^2h=62.5，因此h=62.5/x^2。长方体的表面积为S=x^2+4xh=x^2+4x(62.5/x^2)=x^2+250/x。对S求导数，得到S'=2x-250/x^2。令S'=0，解得x=5（米）。将x带入h中，得到h=2.5（米）。因此，底边长为5米，高为2.5米的长方体开口容器用料最省。1.解：设矩形的长为x米，宽为y米，则面积s=xy，周长l=2x+2y。由周长可知y=(l-2x)/2，代入面积公式得s=x(l-2x)/2。令f(x)=x(l-2x)/2，则f'(x)=l-4x，令f'(x)=0得x=l/4。当x=l/4时，f(x)取得最大值，即矩形面积最大。2.解：同样设矩形的长为x米，宽为y米，则周长l=2(x+y)，面积s=xy。由周长可知y=l/2-x，代入面积公式得s=x(l/2-x)。令f(x)=x(l/2-x)，则f'(x)=l/2-2x，令f'(x)=0得x=l/4。当x=l/4时，f(x)取得最大值，即矩形面积最大。3.解：由题目可知f(x)=ln(1+x)，f'(x)=1/(1+x)。当x>0时，f'(x)>0，即f(x)在x>0时单调递增。因此，对于x>0，有f(x)>f(0)=0，即x>ln(1+x)。4.解：由题目可知f(x)=e^x-1，f'(x)=e^x。当x>0时，f'(x)>0，即f(x)在x>0时单调递增。因此，对于x>0，有f(x)>f(0)=0，即e^x-1>x，即e^x>x+1。(一)理论题A.求出下列不定积分：1.$\int\frac{1}{x}dx$2.$\inte^xdx$3.$\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx$4.$\int\frac{1}{x^2}dx$5.$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx$B.求出下列定积分：1.$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx$2.$\int_0^1e^xxdx$3.$\int_0^1x\lnxdx$4.$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin2xdx$5.$\int_1^\infty\frac{e}{x^2}dx$C.求出下列不定积分：1.$\int\frac{1}{x^2+1}dx$2.$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$3.$\int\frac{1}{x\lnx}dx$4.$\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$5.$\int\frac{1}{x^3}dx$D.求出下列不定积分：1.$\int\sinxdx$2.$\int\cosxdx$3.$\int\tanxdx$4.$\int\secxdx$5.$\int\cscxdx$(二)填空题1.函数$f(x)$的不定积分是__________式。$G(x)=F(x)+c$2.若函数$F(x)$与$G(x)$是同一函数的原函数，则$F(x)$与$G(x)$之间有关系$\underline{\qquad\qquad\qquad}$。3.$(\t