浙江省衢州市双溪口中学2021年高三数学理月考试卷含解析

浙江省衢州市双溪口中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是正数，且满足．那么的取值范围是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：B原不等式组等价为，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，，表示区域内的动点到原点距离的平方，由图象可知当在D点时，最大，此时，原点到直线的距离最小，即，所以，即的取值范围是，选B.2.（x2﹣3x+2）5的展开式中，含x项的系数为（）A．﹣240 B．﹣120 C．0 D．120参考答案：A【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】根据（x2﹣3x+2）5=（x﹣1）5?（x﹣2）5，利用二项式定理展开，可得含x项的系数．【解答】解：由于（x2﹣3x+2）5=（x﹣1）5?（x﹣2）5=[?x5﹣?x4+?x3﹣?x2+?x﹣1]?[?x5﹣2?x4+4?x3﹣8?x2+16?x﹣32]，故展开式中，含x项的系数为﹣32?﹣16?=﹣240，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．3.设F1、F2分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D设，，，由线段的中垂线过点得，即，得，即，得，解得，故，故选D.利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.4.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲

7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙

9

5

7

8

7

6

8

6

7

7则下列判断正确的是

（A）甲射击的平均成绩比乙好

（B）乙射击的平均成绩比甲好

（C）甲比乙的射击成绩稳定

（D）乙比甲的射击成绩稳定参考答案：D平均成绩是算平均数，甲和乙都相等

稳定性可用方差来衡量，方差越小则越稳定，考点：平均数，方差，标准差5.将函数的图象向右平移个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A.函数g(x)在区间上单调递增B.g(x)图象关于直线对称C.函数g(x)在区间上单调递减D.g(x)图象关于点对称参考答案：C【分析】由三角函数的图象变换，得到的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案。【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于A中，由，则，则函数在区间上单调递增是正确的；对于B中，令，则，所以函数图像关于直线对称是正确的；对于C中，，则则，则函数在区间上先减后增，所以不正确；对于D中，令，则，所以图像关于点对称示正确的，故选C。【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。6.四个命题：①若x2=1则x=1的否命题是若x2≠1则x≠±1；②x=﹣1是x2﹣5x﹣6=0的必要不充分条件；③存在x∈R，使x2+x+1＜0的否定是对任意x∈R，都有x2+x+1＞0；④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为真命题，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，由此判断正误；②判断充分性是否成立，再判定必要性是否成立，即得结论；③特称命题“存在x∈R，p（x）”的否定是“对任意x∈R，￢p（x）”，由此判断正误；④命题与它的逆否命题真假性相同，通过判定原命题的真假即可．【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：“若x2≠1，则x≠±1”，∴①正确；②∵当x=﹣1时，等式x2﹣5x﹣6=0成立，∴充分性成立，当x2﹣5x﹣6=0时，解得x=﹣1，或x=6，必要性不成立；∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0的充分不必要条件；∴②错误；③命题“存在x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，x2+x+1≥0”，∴③错误；④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是真命题；∴④正确．所以，正确的命题有2个；故选：c．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用问题，是基础题7.设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015ex+1的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．（0，+∞） C．（2015，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2015，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015?ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集．【解答】解：设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x，则g′（x）=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）+e﹣x=﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）﹣1]，∵f（x）﹣f′（x）＜1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵f（x）＞2015?ex+1，∴g（x）＞2015，∵g（0）=e﹣0f（0）﹣e﹣0=f（0）﹣1=2016﹣1=2015，∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，∴f（x）＞2015?ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．8.以下四个函数图像错误的是()参考答案：C9.若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是(

)A．27 B．26 C．9 D．8参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；新定义．【分析】根据拆分的定义，对A1分以下几种情况讨论：A1=?，A1={a1}，A1={a1，a2}，A1={a1，a2，a3}．【解答】解：∵A1∪A2=A，对A1分以下几种情况讨论：①若A1=?，必有A2={a1，a2，a3}，共1种拆分；②若A1={a1}，则A2={a2，a3}或{a1，a2，a3}，共2种拆分；同理A1={a2}，{a3}时，各有2种拆分；③若A1={a1，a2}，则A2={a3}、{a1，a3}、{a2，a3}或{a1，a2，a3}，共4种拆分；同理A1={a1，a3}、{a2，a3}时，各有4种拆分；④若A1={a1，a2，a3}，则A2=?、{a1}、{a2}、{a3}、{a1，a2}、{a1，a3}、{a2，a3}，{a1，a2，a3}．共8种拆分；∴共有1+2×3+4×3+8=27种不同的拆分．故选A【点评】本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．10.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥S－ABC中，SA⊥面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则此三棱锥外接球的体积为________．参考答案：略12.若实数满足则的最小值为

.参考答案：13.如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点.F为边AB上.

的，且，则x+y的值为＿＿＿＿参考答案：略14.在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为

；（2）过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为

．参考答案：12、315.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则________.参考答案：略16.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.参考答案：17.设变量x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，（）.（1）求函数的单调区间；（2）求证：当时，对于任意，总有成立.参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↘

↗

↘.……2分

当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↗

↘

↗

.……4分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.……5分

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且.

所以时，.因为，所以，令，得.…………7分①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因，对任意，总有.…10分②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，.所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有.

…14分19.公差不为零的等差数列成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设。参考答案：略20.已知函数f（x）=eax+b在（0，f（0））处的切线为y=x+1．（1）若对任意x∈R，有f（x）≥kx成立，求实数k的取值范围．（2）证明：对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求出k的具体范围即可；（2）法一：构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t≤2），根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证ex＞2+lnx，令h（x）=ex﹣lnx﹣2，h′（x）=ex﹣=（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由f′（x）=eax得k=f′（0）=a=1，由切点（0，f（0））在切线y=x+1上，得f（0）=1，所以切点为（0，1），由点（0，1）在f（x）=eax+b上，得b=0，所以f（x）=ex…当k＜0时，对于x∈R，ex≥kx显然不恒成立当k=0时，ex≥kx显然成立…当k＞0时，若要ex﹣kx≥0恒成立，必有（ex﹣kx）min≥0设t（x）=ex﹣kx，则t′（x）=ex﹣k易知t（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，则t（x）min=k（1﹣lnk）若ex﹣kx≥0恒成立，即t（x）min=k（1﹣lnk）≥0，得0＜k≤e综上得0≤k≤e…（2）证法1：由（1）知ex≥ex成立，构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t≤2）h′（x）=e﹣=所以（t≤2）有ex≥lnx+t成立（当时取等号）．由（1）知ex≥ex成立（当x=1时取等号），所以有ex＞t+lnx成立，即对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立…证法2，因为t≤2，所以要证ex＞t+lnx，只须证ex＞2+lnx令h（x）=ex﹣lnx﹣2，h′（x）=ex﹣=（x＞0），令t（x）=xex﹣1，t′（x）=ex+xex＞0，所以t（x）在（0，+∞）递增，t（x）＞t（0）=﹣1，由于t（0）=﹣1＜0，t（1）=e﹣1＞0所以存在x0∈（0，1），有，则，x0=﹣lnx0即h′（x）＞0得x＞x0，h′（x）＜0得0＜x＜x0所以所以ex﹣2﹣lnx＞0成立，即ex＞t+lnx成立即对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立…21.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为、，短轴长为，点在椭圆上，且满足的周长为6．（Ⅰ）求椭圆的方程；；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M使恒为定值？若存在求出该定值及点M的坐标，若不存在请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）

所以椭圆的方程为

4分（Ⅱ）假设存在这样的定点，设，直线方程为则=联立

消去得令即

，当轴时，令,仍有所以存在这样的定点，使得

13分

略22.已知数列{an}满足，，是数列{a