北师大版2016八年级下数学期末试题及答案

北师大版2016八年级下数学期末试题及答案

北师大版2016年八年级下数学期末试题及答案第Ⅰ卷选择题一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上。）1.不等式2x+1>x+2的解集是A.x>1B.x<1C.x≥1D.x≤12.多项式2x^2-2y^2分解因式的结果是A.2(x+y)^2B.2(x-y)^2C.2(x+y)(x-y)D.2(y+x)(y-x)3.下列图案中，不是中心对称图形的是A.B.C.D.4.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5.要使分式(x-3)/(x^2+6x+9)有意义，那么x的取值范围是A.x≠3B.x≠3且x≠-3C.x≠-3D.x≠06.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1，则a的取值范围是A.a<0B.a<-1C.a>1D.a>-17.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD，交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为A.4B.3C.5D.28.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上。另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为A.3cmB.6cmC.cmD.cm9.如图，在□ABCD中，⊥EF，且□EF=4cm，⊥GH，且□GH=3cm，则□ABCD的面积为A.24B.36C.40D.4810.已知函数$y=2x$和$y=ax+4$的图像交于点$A(m,3)$，则不等式$2x<ax+4$的解集为$\boxed{\textbf{(C)}\x>m}$。解释：将不等式化简得$x>m-\frac{4}{a-2}$，由于$y=ax+4$与$y=2x$相交于点$A(m,3)$，所以$a=\frac{3}{m}$，代入化简后得到的不等式中可得$x>m$。11.已知$a^2+b^2=6ab$，则$\boxed{\textbf{(B)}\\pm2}$。解释：将等式化简得$(a-b)^2=2ab$，两边开根号得$a-b=\pm\sqrt{2ab}$，再平方得$(a-b)^2=2ab$，即$a^2-2ab+b^2=0$，解得$a=\frac{2}{3}b$或$a=2b$，代入$a-b=\pm\sqrt{2ab}$中可得答案。12.$\triangleABC$是等腰直角三角形，$\angleACB=90^\circ$，$AC=BC=2$，$P$是线段$AB$上一动点，$D$是$BC$上的中点，则$PC+PD$的最小值为$\boxed{\textbf{(A)}\3}$。解释：连接$PD$，则$\trianglePCD$是等腰直角三角形，$PC=PD$，所以$PC+PD=2PC$，由勾股定理可得$PC=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，所以$PC+PD=2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，故最小值为$3$。13.分解因式$2x^2-4x+2=2(x-1)^2$。14.设多边形有$n$条边，则内角和为$180(n-2)$度，外角和为$360$度，由题意得$\frac{180(n-2)}{360}=\frac{4}{1}$，解得$n=\boxed{\textbf{(E)}\10}$。15.如图，$\angleAOP=\angleBOP=15^\circ$，$PC\parallelOA$，$PD\perpOA$，若$PC=4$，则$PD$的长为$\boxed{\textbf{(D)}\2\sqrt{3}-2}$。解释：连接$PD$，则$\trianglePDC$是$30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$三角形，$PC=4$，$PD=PC\sqrt{3}-CD=4\sqrt{3}-2$，故$PD$的长为$2\sqrt{3}-2$。16.如图，在$\triangleABC$中，$\angleABC=90^\circ$，$AB=BC=22$，将$\triangleABC$绕点$A$逆时针旋转$60^\circ$，得到$\triangleADE$，连接$BE$，则$BE$的长是$\boxed{\textbf{(C)}\22\sqrt{3}-22}$。解释：设$BE=x$，则$\triangleABE$是$30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$三角形，$AE=2x$，$DE=AB=22$，所以$AD=DE-AE=22-2x$，由勾股定理可得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=2\sqrt{3}x$，又由勾股定理可得$BE^2=BD^2+DE^2-2BD\cdotDE\cos\angleBDE=3x^2+22^2-44x$，解得$x=22\sqrt{3}-22$。17.解分式方程$\frac{x-2}{16}-\frac{1}{2x-4}=-1$。化简得$2(x-2)-(2x-4)(x-2)^2=16(2x-4)$，整理得$x^3-6x^2+8x=0$，解得$x=0$或$x=4$。但是$x=0$不是原方程的解，所以$x=4$。18.解不等式组$\begin{cases}3x-5<2(x+3)\\4(x-1)<5x-1\end{cases}$。化简得$\begin{cases}x>-7\\x>0\end{cases}$，综合得$x>0$。19.先化简，再求值：$\frac{a+2}{8a^2-4}+\frac{2a-1}{a+4}$，化简得$\frac{3a^2+8a-9}{(a+4)(8a^2-4)}$，代入$a^2+4a+1=0$，得到$\frac{-1}{28}$。20.如图，在边长为$1$个单位长度的小正方形组成的网格中，$\triangleABC$的顶点$A$、$B$、$C$在小正方形的顶点上，将$\triangleABC$向下平移$4$个单位、再向右平移$3$个单位得到$\triangleA_1B_1C_1$，然后将$\triangleA_1B_1C_1$绕点$A_1$顺时针旋转$90^\circ$得到$\triangleA_1B_2C_2$。（1）如图，在网格中画出$\triangleA_1B_1C_1$和$\triangleA_1B_2C_2$。（2）计算线段$AC$从开始变换到$A_1C_2$的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）。解释：（1）如图所示。（2）如图所示，设$O$是小正方形的顶点，$S$是扫过的区域，$S_1$是$\triangleA_1C_2O$，$S_2$是$\triangleA_1OC$，则$S=S_1+S_2$。由于$\triangleA_1C_2O$和$\triangleAOC$相似，且比例系数为$\frac{AC}{A_1C_2}=2$，所以$S_1=4S_2$。又因为$\triangleAOC$是$45^\circ$的等腰直角三角形，所以$S_2=\frac{1}{2}\cdotAC^2=\frac{1}{2}$，故$S=\frac{9}{2}$。答案为$\boxed{\frac{9}{2}}$。21.如图，在$\triangleABC$中，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点，$F$是$DE$延长线上的点，且$EF=DE$。（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由。（2）连接$CF$，交$AB$于$G$，若$AG=3$，$GB=1$，则$CG$的长为多少？解释：（1）如图所示，$AFDC$和$BFEC$都是平行四边形，因为$AF\parallelDC$，$AF=DC$，$AD\parallelFC$，$AD=FC$，同理可得$BE\parallelFC$，$BE=FC$，故$BFEC$也是平行四边形。（2）如图所示，由面积比可得$CG:GB=2:1$，又由于$AG+GB=4$，故$AG=3$，$GB=1$，解得$CG=2$。答案为$\boxed{2}$。22.如图，在$\triangleABC$中，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点，$F$是$DE$上的一点，$BF$交$AC$于$G$，$CE$交$AB$于$H$。（1）若$BF:FG=2:1$，$CE:EH=2:1$，则$FG:GH$的长为多少？（2）若$FG:GH=2:1$，则$BF:FG$的长为多少？解释：（1）如图所示，$AFDC$和$BFEC$都是平行四边形，因为$AF\parallelDC$，$AF=DC$，$AD\parallelFC$，$AD=FC$，同理可得$BE\parallelFC$，$BE=FC$，故$BFEC$也是平行四边形。由面积比可得$FG:GH=2:1$，$CE:EH=2:1$，故$BG:GC=4:1$，$AH:HB=4:1$，又由面积比可得$BF:FG=2:1$，故$FG:GH=4:2=2:1$。（2）如图所示，由面积比可得$FG:GH=2:1$，$CE:EH=2:1$，故$BG:GC=4:1$，$AH:HB=4:1$，又由面积比可得$[ABC]:[ADE]=2:1$，即$BC:DE=2:1$，故$BF:FG=2:1$。答案为$\boxed{2:1}$。23.如图，在$\triangleABC$中，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点，$F$是$DE$上的一点，$BF$交$AC$于$G$，$CE$交$AB$于$H$。（1）若$BF:FG=2:1$，$CE:EH=2:1$，则$\triangleABC$的面积与$\triangleFGH$的面积的比是多少？（2）若$\triangleABC$的面积与$\triangleFGH$的面积的比为$3:2$，则$BF:FG$的长为多少？解释：（1）如图所示，$AFDC$和$BFEC$都是平行四边形，因为$AF\parallelDC$，$AF=DC$，$AD\parallelFC$，$AD=FC$，同理可得$BE\parallelFC$，$BE=FC$，故$BFEC$也是平行四边形。由面积比可得$FG:GH=2:1$，$CE:EH=2:1$，故$BG:GC=4:1$，$AH:HB=4:1$，又由面积比可得$[ABC]:[ADE]=2:1$，即$BC:DE=2:1$，故$BF:FG=2:1$，$\triangleABC$的面积与$\triangleFGH$的面积的比为$4:1$。（2）如图所示，设$BF=2x$，$FG=x$，则$BG=4x$，$CG=3x$，$AH=4x$，$BH=2x$，$CH=2x$，$AE=EC=2x$，$DE=3x$，$DC=4x$，$[ABC]=\frac{1}{2}\cdotBC\cdotAC=2x^2$，$[ADE]=\frac{1}{2}\cdotDE\cdotAE=\frac{3}{2}x^2$，由题意得$\frac{[ABC]}{[ADE]}=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{1}{2}$，故$BF:FG=2:1$。答案为$\boxed{2:1}$。22．（9分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降。今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元。（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？解：设去年每辆售价为x万元，则今年每辆售价为x-1万元。因为卖出相同数量的A款汽车，所以销售额与售价成正比，设今年售价为y万元，则有：$\frac{y}{x-1}=\frac{90}{100}$解得y=9.9万元。因此，今年5月份A款汽车每辆售价为9.9万元。（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？解：设进购A款汽车x辆，B款汽车y辆，则有：$\begin{cases}x+y=15\\7.5x+6y\leq105\\7.5x+6y\geq99\end{cases}$化简可得：$-5x+2y\leq21$，$5x-2y\leq-3$。解不等式组得$-3\leq5x-2y\leq21$，因此$5x-2y$的取值只有$-3,2,7,12,17$。根据$x+y=15$，可列出以下5种进货方案：（1）$x=3,y=12$；（2）$x=4,y=11$；（3）$x=5,y=10$；（4）$x=6,y=9$；（5）$x=7,y=8$。因此，汽车销售公司有5种进货方案。（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？解：根据（2）中的进货方案，可以计算出每种方案的进价、售价、利润如下表所示：|进货方案|进价（万元）|售价（万元）|利润（万元）||--------|------------|------------|------------||1|123|156|33||2|150|176|26||3|177|196|19||4|204|216|12||5|231|236|5|由于要使所有方案获利相同，因此每售出一辆B款汽车返还顾客的现金a万元，使得每辆B款汽车的利润都减少a万元。设每辆B款汽车的进价为b万元，则售价为8万元，有：$7.5x+6y+15b=15\times8$代入（2）中的不等式组可得：$b=7$。因此，每售出一辆B款汽车返还顾客的现金应为1万元。(a-2)²=4(a-2)²/(a+2)(a-2)=4(a-2)/(a+2)=4-8/(a+2)=4-8/(a+2)+2-2=6-8/(a+2)=6-8/((-1)+4a+1)=6-2/(2a+1)Therefore,thesimplifiedexpressionis6-2/(2a+1).Infigure20,theareasweptduringthetransformationoflinesegmentACtoA1C2consistsoftwoparallelogramsandasectorwithacentralangleof45degrees.Therefore,theareasweptisequalto4x2+3x2+45π/360=14+π.(1)TheparallelogramsinthefigureareADCFandBDFC.ThereasonisthatEisthemidpointofAC,soAE=CE,DE=EF,andtherefore,quadrilateralADCFisaparallelogram,withADparalleltoCFandAD=CF.Also,DisthemidpointofAB,soAD=BD,andtherefore,BD=CFandBDisparalleltoCF,makingquadrilateralBDFCaparallelogram.(2)SinceADCFandBDFCareparallelograms,theareaoftriangleCEFandtriangleCEDarebothequaltotheareaoftriangleAEF,whichis3.Therefore,theareaofparallelogramBCFDis12.(1)AssumingthatthesellingpriceofeachAcarinMaythisyearismmillionyuan,wehave7.5m+6(15-m)≥99,whichimpliesm≥9.Solvingtheequation7.5m+6(15-m)≤105,wegetm≤9.Therefore,thesellingpriceofeachAcarinMaythisyearis9millionyuan.(2)LetxbethenumberofAcarspurchased.Then,99≤7.5x+6(15-x)≤105,whichimplies3≤x≤10.Thereare8possiblepurchasingplans.(3)LetWbethetotalprofit.Then,W=(a-0.5)x+30-15a.Whena=0.5,allplanshavethesameprofit.ToprovethatBMisparalleltoCFinfigure1,wecanusetwomethods:Method1:ExtendABtointersectCFatD.Then,itiseasytoseethattrianglesABCandBCDarebothisoscelesrighttriangles,soAB=BC=BD.Therefore,BisthemidpointofAD.Also,sinceMisthemidpointofAF,BMisthemedianoftriangleADF,whichmeansBMisparalleltoCF.Method2:ExtendBMtointersectEFatD.SinceanglesABCandCEFareboth90degrees,ABisperpendiculartoCEandEFisperpendiculartoCE,whichmeansABisparalleltoEF.Also,sinceMisthemidpointofAF,AM=MF.ByapplyingtheASAcongruenceruletotrianglesABMandFDM,wegetAB=DF.Therefore,BE=CE-BCandDE=EF-DF,whichimpliesBE=DE.Therefore,triangleBDEisanisoscelesrighttriangle,whichmeansBMisperpendiculartoDE.SinceDEisparalleltoCF,BMisparalleltoCF.根据题意，我们需要剔除格式错误和明显有问题的段落，并对每段话进行小幅度改写。∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；解法一：如右图，∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE-CB=2a-a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；解法二：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，∴AG=DF=a，CA=CD=a，∴BM=ME=a/2；证法一：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°，∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∴M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，∵在△BCE和△DFE中，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．证法二：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中