广东省湛江市廉江龙湾中学2021年高三数学理期末试题含解析

广东省湛江市廉江龙湾中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某厂的某种产品的产量去年相对于前年的增长率为，今年相对于去年的增长率为，且．如果这种产品的产量在这两年中的平均增长率为x，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

设这种产品前年的产量为a，则今年的产量为，得，∴，∴．2.已知函数f(x)＝|x|＋，则函数y＝f(x)的大致图像为

()参考答案：B略3.已知向量的夹角为时取得最小值，当时，夹角的取值范围为

（

）A.

B.

C. D.参考答案：C4.若是偶函数，且当x∈时，，则的解集是（

）

A．{|－1<<0} B．{|<0或1<<2}C．{|0<<2} D．{|1<<2}参考答案：C略5.已知函数，则=(

）、

、

、

、参考答案：B6.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.已知函数的图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆上，则f(x)的最小正周期为A．3 B．4 C．2 D．1参考答案：B8.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（

）

A．16

B．4

C．8

D．2参考答案：B由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积，选B.9.若抛物线y=4x的焦点是F准线是l,则过点F和点M(4,4)且与准线l相切的圆有（

）A

0个

B

1个

C

2个

D

4个

参考答案：C略10.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于A.

B.或2

C.2

D.参考答案：A

本题主要考查了圆锥曲线的第一定义，同时考查了学生的应变能力。属中等题

因为

当为椭圆时=(4+2):3=2：1即2a:2c=2：1

所以e=

当为双曲线时(4-2):3=2:3即2a:2c=2:3所以e==二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“若实数满足，则”的否命题是

▲

命题（填“真”、“假”之一）．

参考答案：真12.在等比数列中，若，，则

▲

参考答案：813.函数的单调增区间是__________参考答案：14.下列命题：①函数y=sin（2x+）的单调减区间为，k∈Z；②函数y=cos2x﹣sin2x图象的一个对称中心为（，0）；③函数y=sin（x﹣）在区间上的值域为；④函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位得到；⑤若方程sin（2x+）﹣a=0在区间上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=．其中正确命题的序号为

．参考答案：①②⑤考点：正弦函数的单调性；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：①令+2kπ可求②利用两角和的余弦公式化简可得y=，令2x+，求出函数的对称中心③由可得，结合正弦函数的图象可求函数的值域④根据函数的图象平移法则：左加右减的平移法则可得⑤根据正弦函数的图象结合函数的对称性可得．解答： 解：①令+2kπ，解得+kπ，k∈Z，，故①正确②y=，令2x+，解得x=+kπ，k=0时函数的一个对称中心（，0）②正确③y=，当﹣，结合正弦函数的图象可得﹣≤y≤1，③错误④由函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位得到y=sinx的图象，故④错误⑤令y=sin（2x+），当x时，2x+，若使方程有两解，则两解关于x=对称，则x1+x2=，故⑤正确故答案为：①②⑤点评：本题综合考查了三角函数y=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）的性质：函数的单调区间的求解，函数的对称中心的求解，函数在闭区间上的最值的求解及函数图象的平移，还用到了两角和的余弦公式，而解决本题的关键是要熟练掌握并能灵活运用三角函数的图象．15.已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______，的概率为_______.参考答案：；略16.变量x、y满足，设，则z的最大值为__________．参考答案：14【分析】作出约束条件对应的可行域，变动目标函数对应的直线，确定经过可行域上点时z取得最大值.【详解】由约束条件，作出的可行域如图所示，由，得.当直线过点时，最小，最大.由，解得，∴.故答案为14.【点睛】线性规划问题一般用图解法：作出约束条件对应的可行域，找到目标函数的几何意义，判断目标函数对应的图形经过可行域上哪一点时z取得最大（小）值，求出最优解，得目标函数的最大（小）值.17.已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．圆的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：．参考答案：试题解析：（1）设的坐标分别为

因为点在双曲线上，所以，即，所以在中，，，所以

……2分由双曲线的定义可知：

故双曲线的方程为：

……4分考点：(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．19.（12分）（2013春?潮阳区校级期中）已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q=﹣1．参考答案：考点：等比数列的前n项和；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：充分性：当q=﹣1时，a1=S1=p+q=p﹣1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=pn﹣1（p﹣1）．当n=1时也成立．于是数列{an}为等比数列；必要性：当n=1时，a1=S1=p+q．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=pn﹣1（p﹣1）．由p≠0，p≠1．知==p．故q=﹣1．由此得到q=﹣1是数列{an}为等比数列的充要条件．解答：证明：充分性：当q=﹣1时，a1=S1=p+q=p﹣1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=pn﹣1（p﹣1）．当n=1时也成立．于是==p（n∈N+），即数列{an}为等比数列．必要性：当n=1时，a1=S1=p+q．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=pn﹣1（p﹣1）．∵p≠0，p≠1．∴==p．∵{an}为等比数列，∴==p，=p，即p﹣1=p+q．∴q=﹣1．综上所述，q=﹣1是数列{an}为等比数列的充要条件．点评：本题考查等比数列的性质和应用，考查充要条件的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.已知函数。（1）当时，证明函数只有一个零点；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围。参考答案：（2）21.已知函数f(x)＝lnx－mx（mR）．（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．参考答案：

函数的最小值大于零，即可得证．（3）不妨设．因为，所以，22.PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示．现将PM2.5的值划分为如下等级PM2.5[0，100）[100，150）[150，200）[200，250]等级一级二级三级四级用频率估计概率．（1）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；（2）在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值的数据，再从这8个数据中随机抽取5个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；（3）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天PM2.5值X近似满足X～N，则治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了多少？参考答案：【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．【分析】（1）该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的概率为0.125+0.125=0.25，即可估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；（2）按照分层抽样的方法从一级、二级、三级、四级的PM2.5值的数据的比值为：10：10：15：5=2：2：3：1，确定基本事件的个数，即可得出结论；（3）求出该市维持现状不变，该市PM2.5值，治理后的PM2.5值的均值即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的概率为0.125+0.125=0.25，天数为90天；（2）按照分层抽样的方法从一级、二级、三级、四级的PM2.5值的数据的比值为：10：10：15：5=2：2：3：1，从这8个数据中随机抽取5个，共有=56种，一级、二级、三级、四级天气都有，有3种情况，