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文档简介
第四节有理函数的积分1一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分m
0
1
m
-1
mQ
(
x)
b
xm
+
b
xm
-1
++
b x
+
bP
(
x)
a
xn
+
a
xn-1
++
a x
+
aR(
x)
=
n
=
0
1
n-1
n
其中m
、n都是非负整数；a0
,a1
,,an
及b0
,
b1
,,
bm
都是实数，并且a0
„
0，b0
„
0.一、有理函数的积分有理函数：有理函数的积分：
Pn
(x)dxdx,x
3
+
x
-
7x
+
1如dx,x
+
5x
+
x
-
3Qm
(
x)4x
dx2
x
+3x
2
+1不是求积步骤：
Pn
(
x)
dxQm
(
x)1、如果是假分式，则利用多项式除法化成一个多项式与真分式之和，Q
(
x)Q
(
x)P
(
x)mmn(l
<
m)(
x)
+
Pl
(
x)=
Rn-m即多项式
Qm
(
x)化为部分分式。32、对真分式Pl
(x)用待定系数法（1）分母中若有因式(x
-a)k
，则分解后为,A1
A2Akx
-
a(
x
-
a)k
(
x
-
a)k
-1+
+
+真分式化为部分分式之和的一般规律：其中A1,A2,,Ak
都是常数.特殊地：k
=1,分解后为;Ax
-
aQm
(
x)4Pl
(
x)对于真分式：（2）分母中若有因式(x2
+px
+q)k
，其中则分解后为p2
-
4q
<
0+x2
+
px
+
qM2
x
+
N
2M1
x
+
N1(
x2
+
px
+
q)k
(
x2
+
px
+
q)k
-1+
+
Mk
x
+
Nk其中M
i
,Ni
都是常数(i
=1,2,,k
).特殊地：k
=
1,
分解后为;5x2
+
px
+
qMx
+
N这样任一真分式都可化为下列四个类型之和：,
,x
-
a
(
x
-
a)n
x2
+
px
+
q
(
x2
+
px
+
q)nA
B
,
M1
x
+
N1
M
2
x
+
N
2前三种类型可直接积分，而第四种类型可用递推公式求出（.
P209例9）结论：任一有理函数的积分总能积出来。即有理函数的原函数一定是初等函数.6例1化为多项式及真分式之和。将x2
-
x
-
2x3
-
2
x2
+
5x
2
-
x
-
2xx3
-
2
x
2
+
5x3
-
x2-
2
x-
x
2+
2
x
+
5-1-
x
2+
x
+
2x
+
3\x2
-
x
-
2x3
-
2
x2
+
5=
x
-1
+
x2
-
x
-
27x
+
3x
+
3x
+
3,+=
=Bx2
-
5
x
+
6 (
x
-
2)(
x
-
3)
x
-
2
x
-
3A
x
+
3
=
A(
x
-
3)
+
B(
x
-
2),\
x
+
3
=
(
A
+
B)
x
-
(3
A
+
2B),
A
+
B
=
1,
A
=
-5,-
(3
A
+
2B)
=
3,
B
=
6
\x2
-
5
x
+
6x
+
3.8=-
5
+
6x
-
2
x
-
3例21x
(
x-1),CBx
(
x
-
1)2
x
-
1A2
=
+
+(1)1
=
A(
x
-
1)2
+
Bx
+
Cx(
x
-
1)代入特殊值来确定系数A,B,C取
x
=
0,
A
=
1取x
=1,
B
=1取x
=2,并将A,B
值代入(1)
C
=
-11
1-
.=
1
+19\x(
x
-
1)2
x
(
x
-
1)2
x
-
1例3例4.2
151
+
x2-
5
x
+
51(1
+
2
x)(1
+
x2
)
A
+
C
=
1,5
5
54B
+
2C
=
0,
A
=
4
,
B=
-
2
,
C
=
1
,A
+
Bx
+
C
,1
+
2
x
1
+
x2=110\
(1
+
2
x)(1
+
x2
)
=
1
+
2
x
+1
=
A(1
+
x2
)
+
(Bx
+
C
)(1
+
2
x),整理得1
=(A
+2B)x2
+(B
+2C
)x
+C
+A,
A
+
2B
=
0,例5x
2
(
x
+
3)(
x2
+1)2x
4
+1xx
2=
A
+
B
+x
+
3C+
Dx
+
E
+
Fx
+
Gx
2
+1
(
x
2
+1)211例6
求积分1dx.
x(
x
-
1)2x(
x
-
1)21-
dxdx
=x
-
11
1
+
1(
x
-
1)2xdx
-
dx1
x1=
1dx
+
(
x
-
1)2
x
-
1112-
ln(
x
-
1)
+
C
.x
-
1=
ln
x
-解例7
求积分解dx.
(1+
2
x)(1+
x
2
)11+
x5dx25-
2
x
+
11+
2
x4dx
=
5
dx
+
2
(1+
2
x)(1+
x
)1dx2215
1+
xdx
+
12
x5
5
1+
x=
2
ln(1+
2
x)
-
1=
2
ln(1+
2
x)
-
1
ln(1+
x2
)
+
1
arctan
x
+
C
.5
5
513例8
求积分解dx.x
x
x1+
e
2
+
e
3
+
e
61tdx
=
6
dt,dxx
x
x1+
e
2
+
e
3
+
e
6x令
t
=
e
6
x
=
6
ln
t,11=61+
t
3
+
t
2
+
t t
dt
t(1+
t
)(1+
t
2
)1=
614
tdt
=21+
t
1+
t
6
-
3
-
3t
+
3
dt2=
6
ln
t
-
3ln(1+
t
)
-
3
ln(1+
t
2
)
-
3arctan
t
+
Cdt
-=2
6
-
3
3t
+
3t
1+
t
1+
tx
xln(1+
e
3
)
-
3arctan(e
6
)
+
C
.32
x=
x
-
3ln(1+
e
6
)
-=
6
ln
t
-
3ln(1+
t
)
-
32
151-
31+
t
2
dt1+
t
2d
(1+
t
2
)例9.求dx解:
原式=
221
(2x
+
2)
-3=
2x2
+
2x
+
3x
+
2x
+
31
d
(x2
+
2x
+
3)2-3
(x
+1)2
+(
2)2d
(x
+1)2
216=
1
ln
x2
+
2x
+
3
-
3
arctan
x
+1
+
C注：尽量用简单的方法积分例9x
+1
x
+142dx
=x
2x
2
+x
21
dx11+112x(
x
-
)
+
2=
x
d
(
x
-
)x
+
C172x
-
12=
1
arctanx2例10.求
(x2
+
2x
+
2)2
dx解:
原式
=
dx(x2
+
2x
+
2)2(x2
+
2x
+
2)
-(2x
+
2)dx=
(x
+1)2
+1
-
(x2
+
2x
+
2)2d
(x2
+
2x
+
2)118=
arctan(
x
+1)
+x2
+
2x
+
2+
C二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为
R(sin
x,
cos
x)cos
x
+1如
,sin2
x
-
525tan3
x+
cos
x,sin
x
+
sec
xsin
x不是cos
x
+
3x
sin
x也不是tan
x
+
cos
x19sin
x
=2sec2
x2tan
x2sin
x
cos
x
=2
2,22
x2tan
x1
+
tan
22
=22x
-
sin
2cos
x
=
cos2万能代换对于
R(sin
x,cos
x)dx22sec2xx1
-
tan2x
=2202
,1
+
tan2
x1
-
tan2
x=2xx1
+
tan21
-
tan2cosx
=
2
,2令u
=tan
x,2u1
+
u2sin
x
=,1
-
u21
+
u2cos
x
=du21
+
u2dx
=R(sin
x,cos
x)dx
=2
,
2
2
du.R
2u
1
-
u2
21
+
u
1
+
u
1
+
ux
=2arctan
u
（万能置换公式）221x2
tan
x1
+
tan2sinx
=
2
,例1
求积分dx.1
+
sin
x
+
cos
xsin
x解,2u1
+
u2sin
x
=1
-
u22dx
=
1
+
u2
du,1
+
sin
x
+
cos
xsin
xdudx
=
2u(1
+
u)(1
+
u2
)du=
(1
+
u)(1
+
u2
)2u
+
1
+
u2
-
1
-
u22cos
x
=
1
+
u222令u
=tan
x=
(1
+
u)2
-
(1
+
u2
)duu(1
+
u)(1
+
u2
)
du
=
1
+
u2
du
-
1
+1
+
u
12=
arctan
u
+
1
ln(1
+
u2
)-
ln
|
1
+
u
|
+C2
u
=
tan
x2x=
x
+x23ln
|
sec
|-
ln
|
1
+
tan |
+C
.2
21例2
求积分
dx.sin4
x解（一）x
2u
2u
=
tan
2
, sin
x
=
1
+
u2
,
dx
=
1
+
u2
du,dx
sin4
x1du=
8u41
+
3u2
+
3u4
+
u61
1
3u3=
8[-
3u3
-
u
+
3u
+
3
]
+
C2248tan1
3
+
C
.x
32 24
2
3
x
1
+
tanx
+
8
tan
2
24
tan
x
=
-
3
-解（二）
可以不用万能置换公式.sin4
x1dx
=
csc2
x(1
+
cot2
x)dxcsc2
xdx=
csc2
xdx
+
cot2
x=
d
(cot
x)325=
-cot
x
-
1
cot3
x
+
C
.26t
=
sin
x
,1+
sin
2
x
+
sin
4
x1
+
sin
2
x
+
sin
4
x21+
t
2
+
t
4dt=
-
(t
+1)
dt
=
-t
21t
22t
+1+1+
1=
-t
t
(t
-
1)2
+
3d
(t
-
1
)+
C=
-
t3
1
3t
-1arctan+
C3
sin
x3cos2
x=
-
1
arctan3例3.求
cos
x
-
2
cos
x
dx
.1+
sin
2
x
+
sin
4
x解:2
2原式
=
(cos
x
-
2)
cos
xdx=
-
(sin
x
+1)
d
sin
x27例4.求(ab
„
0)
.a2
sin
2
x
+
b2
cos2
x
dx
解:原式=cos
2
x
1
dxa2
tan
2
x
+
b2atan
2
x
+(
b
)2=
1
d
tan
x
a2=
1
arctan(
a
tan
x
)
+
Cab
b28例5cos
x
dx1+
sin
x=
d
(1+
sin
x)1+
sin
x=
ln(1+
sin
x)
+
C例6sin
x
+
cos
x
sin
x
cos
x
dxdx=2
sin
x
cos
x
+1-1sin
x
+
cos
xdx
-
1
1
dx2
sin
x
+
cos
x1
(sin
x
+
cos
x)2=
2
sin
x
+
cos
x=4
4
2
2112sin(
x
+
p
)d
(
x
+
p
)(sin
x
-
cos
x)
-2
212=
1
(sin
x
-
cos
x)
-ln
tan(
x
+
p
)
+
C2
8讨论类型nR(
x,
ax
+
b),
R(
x,
n),cx
+
eax
+
b解决方法作代换去掉根号.例7
求积分x
x
1 1
+
xdx解令1
+x
=t
1
+x
=t
2
,x
x29三、简单无理函数的积分,1t
2
-
1x
=,2tdt(t
2
-
1)2dx
=
-x
x1 1
+
x(
)dtdx
=
-222(t
-
1)2tt
-
1
t=
-22t
-
1t
2dt
t
-
11=
-2
1
+2t
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